Este documento define y explica las funciones cuadráticas. Primero define una función cuadrática como una función de la forma f(x) = ax^2 + bx + c, donde a, b y c son números reales y a ≠ 0. Luego, explica cómo encontrar el vértice, eje de simetría y dirección de apertura de una parábola dada por una función cuadrática. Por último, proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos.

1. Funciones
Cuadráticas
Décimo GradoPor:
Prof. Edison Burgos
Prof. José Torres

2. Objetivos:
2
1. Definir una función cuadrática.
2. Expresar una función cuadrática en su forma estándar o
canónica.
3. Encontrar el vértice de una parábola dada la ecuación.
4. Encontrar el eje de simetría de una parábola.
5. Encontrar la ecuación de una parábola usando la gráfica o
puntos.

3. 3
Definición:
Una función de la forma
donde a , b , c son números reales y
se llama función cuadrática.
cbxaxxf 2
)(
0a

4. Ejemplos de funciones
cuadráticas:
4
2
2
2
2
2
1. ( ) 4
2. ( ) 3 4 2
3. ( ) 4
4. ( ) 5
5. ( ) 2 4 6
f x x
g x x x
h x x x
j x x
k x x x

5. 5
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
Vértice
Eje de simetría
(h , k)
2
b
x
a

6. Observaciones:
6
1. La gráfica de una función cuadrática es una
parábola.
2. La parábola puede abrir hacia arriba o hacia
abajo dependiendo del signo del coeficiente
principal, a.
a. Si a es negativo abre hacia abajo.
b. Si a es positivo abre hacia arriba.
3. El vértice de la parábola está determinado por la
traslación horizontal y por la traslación vertical de
la función cuadrática básica.

7. 7
4. El dominio es en conjunto de todos los
números reales, R .
5. El alcance de la función depende del
vértice y del valor de a;
a. Si a es negativo abre hacia abajo y
a. Si a es positivo abre hacia arriba y
2
4
,
4
ac b
A
a
2
4
,
4
ac b
A
a

8. Ilustración:
8
La parábola abre hacia
arriba si , “es positivo’’.0a
cbxaxxf 2
)(
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4

9. 9
La parábola abrirá hacia abajo
si , “es negativo’’.0a
cbxaxxf 2
)(
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4

10. Ejemplos:
Determine hacia dónde abre la gráfica de cada
función.
10
2
1. ( ) 2 3f x x x
2aqueObserve
abreparábolaLa
arriba.hacia -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4

11. 11
2
2. ( ) 5 2f x x x
queObserve
abreparábolaLa
abajo.hacia
1a
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8

12. 12
21
3. ( ) 4
2
f x x
queObserve
2
1
a
abreparábolaLa
arriba.hacia
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8

13. 13
Expresa las siguientes funciones en forma estándar
o canónica , encuentra el vértice, el eje de simetría,
determina si el vértice es un máximo o un mínimo
y traza la gráfica.
Ejemplos:
Recordar: Para expresar una función
cuadrática en forma estándar usamos la
técnica de completar el cuadrado.

14. 14
1263 2
xxy
1263 2
xxy
1223 2
xxy
2
2 2 1
1 1
312123 2
xxy
9113 xxy
913
2
xy
1. Escribe la función en la forma estandar,
encuentra el vértice y traza la gráfica.

15. 1, 9
1x
15
-30 -20 -10 10 20 30
-30
-20
-10
10
20
30
-30 -20 -10 10 20 30
-30
-20
-10
10
20
30
(2,-12)(0,-12)
913
2
xy
Vértice
Eje de simetría
Dominio
D R
, 9A
Alcance

16. 16
2
2. 6 7y x x
2
26 9
9 9
23
2
xy
762
xxy

17. 17
Tenemos que 1.a
El vértice es 3, 2 y es un punto mínimo
absoluto.
23
2
xy
El eje de simetría es 3 .x

18. 18
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
23
2
xy
a. Traslación horizontal de tres unidades hacia la derecha.
b. Traslación vertical de dos unidades hacia la abajo.
Vértice
3, 2
Eje de simetría
Dominio
D R
2,A
3x
Alcance

19. 19
2
3. ( ) 2 3f x x x
2 1
2 3
2
f x x x
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
4
1
16
1
1 1
16 16
2 1 1 1
2 3
2 16 8
f x x x
2 1
( ) 2 3
2
f x x x

20. 20
2 1 1 1
2 3
2 16 8
f x x x
2
1 25
2
4 8
f x x
Tenemos que 2.a
1 25
El vértice es , y es un punto mínimo
4 8
absoluto.
1
El eje de simetría es .
4
x

21. 21
a. Estiramiento vertical de dos unidades.
b. Traslación horizontal de un cuarto de unidades hacia la derecha.
c. Traslación vertical de veinticinco octavos de unidades hacia la abajo.
2
1 25
2
4 8
f x x
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6Vértice
1 25
,
4 8
Eje de simetría
28
,
8
A
1
4
x
Alcance

22. 1. Encuentra la ecuación de la parábola que tiene
como vértice al punto (-2, 3) y pasa por el punto
(1,5).
22
Solución: khxay
2
:queTenemos 2h 3k
2
2 3y a x
Ejemplos:

23. 23
2
2 3y a x
porpasaparábolalaComo
el punto 1, 5 ,sustituyendo tenemos,
2
5 1 2 3a
2
5 3 3a
5 9 3a
2 9a

24. 24
32
2
xayComo
32
9
2 2
xy
2
9
a

25. 2. Encuentra la ecuación de la siguiente
parábola.
25
Forma estándar:
khxay
2
2
3 4y a x
2
1 0 3 4a
1 9 4a
3 9a
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
(0, -9)
4,3
0, 1

26. 26
3 1
9 3
a
3 9a
21
3 4
3
y x
43
2
xayComo

27. 27
3. Usa la forma alterna (dividiendo por a ) para
escribir la función en la forma estandar, encuentra
el vértice y traza la gráfica.
2
( ) 3 6 12f x x x
1263 2
xxy
3
12
3
6
3
3
3
2
xx
y
42
3
2
xx
y

28. 28
42
3
2
xx
y
2
2
2
1
xx
y
24
3
2
xx
y
24
3
2
1 1
113
3
xx
y

29. 29
113
3
xx
y
2
13
3
x
y
31
3
2
x
y

30. 30
31
3
2
x
y
3313
2
xy
913
2
xy
:queTenemos 3a
:esVértice 9,1
Punto Máximo
Absoluto
simetríadeejeeles1x

31. 31
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14-24
-22
-20
-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
12
14
(0, -9)
(0, -12) (1 -12)
913
2
xy

32. 4. Encuentra el vértice, los ceros, los interceptos,
el dominio y el campo de valores de la función.
32
6)( 2
xxxf
62
xxy
4
1
4
1
4
25
2
1
2
xy
Vértice
4
25
,
2
1
AbsolutoMínimo
Dominio R
Alcance ,
4
25

33. 33
:Ceros
6)( 2
xxxf
062
xx
023 xx
23 xyx
:enIntercepto y 600
2
y
6y
6,0
Intercepto en :x 0,2,0,3

34. 34
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
(-2, 0) (3, 0)
(0, -6)

35. 35
Ejercicios:
1. Encuentre el vértice, los ceros, el intercepto en y, el
dominio y el campo de valores de la función.
2
1. ( ) 6f x x x Solución
2
2. ( ) 2 15f x x x
2
3. ( ) 2 6 2f x x x
2
4. ( ) 6f x x x
Solución
Solución
Solución

36. 36
El vértice
4
25
,
2
1
Campo de Valores
25
,
4
6)( 2
xxxf
1 1
2 2 2
b
x
a
Dominio R
2
1 1 1
6
2 2 2
f
1 25
2 4
f
1. Encuentre el vértice, los ceros, el intercepto en y, el
dominio y el campo de valores de la función. Traza la
gráfica.
Ejercicios

37. 37
6)( 2
xxxf
062
xx
023 xx
23 xyx
:enIntercepto y
600
2
y
6y
6,0
Ejercicios
Ceros de la función

38. 38
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
Vértice
4
25
,
2
1
3, 2
Ceros
Intercepto en y
6,0
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
6)( 2
xxxf
Ejercicios

39. 39
El vértice :
1, 16
Campo de Valores
16,
2
1
2 2
b
x
a
Dominio R
2
1 1 2 1 15f
1 16f
2. Encuentre el vértice, los ceros, el intercepto en y, el
dominio y el campo de valores de la función.
2
( ) 2 15f x x x
Ejercicios

40. 40
2
( ) 2 15f x x x
2
2 15 0x x
5 3 0x x
5 3x y x
:enIntercepto y
2
0 2 0 15y
15y
0, 15 Ejercicios
Ceros de la función

41. 41
El vértice :
1, 16
5, 3
Ceros
Intercepto en y
0, 15
-30 -20 -10 10 20 30
-30
-20
-10
10
20
30
x
y
2
( ) 2 15f x x x
Ejercicios

42. 42
El vértice
3
, 6.5
2
Campo de Valores
,6.5
6 3
2 2 2 2
b
x
a
Dominio R
2
3 3 3
2 6 2
2 2 2
f
3 13
6.5
2 2
f
3. Encuentre el vértice, los ceros, el intercepto en y, el
dominio y el campo de valores de la función. Traza la
gráfica.
2
( ) 2 6 2f x x x

43. 43
2
2 6 2 0x x
2
2 3 1 0x x
3 13 3 13
2 2
x y x
:enIntercepto y
2
2 0 6 0 2y
2y
0, 2
Ejercicios
Ceros de la función
2
( ) 2 6 2f x x x

44. 44
El vértice :
3 13 3 13
,
2 2
Ceros
Intercepto en y
0, 2
3
, 6.5
2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
2
( ) 2 6 2f x x x
Ejercicios

45. 45
El vértice
1
, 5.75
2
Campo de Valores
, 5.75
1 1
2 2 1 2
b
x
a
Dominio R
2
1 1 1
6
2 2 2
f
1 23
5.75
2 4
f
4. Encuentre el vértice, los ceros, el intercepto en y, el
dominio y el campo de valores de la función. Traza la
gráfica.
2
( ) 6f x x x
Ejercicios

46. 46
2
6 0x x
2
6 0x x
1 23
2
i
x
:enIntercepto y
2
0 0 6y
6y
0, 6
Ejercicios
Ceros de la función
2
( ) 6f x x x

47. 47
El vértice :
No tiene ceros
reales
Ceros
Intercepto en y
1
, 5.75
2
0, 6
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
Ejercicios