Este documento explica varios factores que afectan el valor del dinero a través del tiempo, incluyendo factores de pago único, series uniformes, y tasas de interés. Define conceptos como valor presente, valor futuro, tasas de interés compuestas, e introduce fórmulas para calcular estas cantidades. También cubre interpolación en tablas de interés y cálculo de tasas desconocidas.

1. República Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del Poder Popular para la Educación.
Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño.
Ing. Mantenimiento Mecánico.
Bachiller:
Jose Nuñez. C.I: 28057447
Barcelona, Noviembre de 2019.

2. Introducción
El dinero es un medio de cambio y medida de importancia en el pago de
bienes y/o servicios, cuyo valor va cambiando con el paso del tiempo por
diversos factores que se irán explicando a medida que se avance en la
lectura del presente texto. El objetivo del presente, es señalar algunos y
explicar con ejemplos y/o ejercicios, algunos factores de suma importancia
que afectan el dinero y su manejo.

3. FACTORES DE PAGO UNICO (F/P y P/F)
El factor fundamental en ingeniería económica es el que determina la
cantidad de dinero F que se acumula después de n años (o periodos) a
partir de un valor único presente P con interés compuesto una vez por año
(o por periodo). Recuerde que el interés compuesto se refiere al interés
pagado sobre el interés. . Por consiguiente, si una cantidad P se invierte
en algún momento t = 0, la cantidad de dinero F1 acumulada en un año a
partir del momento de la inversión con una tasa de interés de i por ciento
anual será:
F1 = P + Pi = P(1 + i),
De acuerdo con los valores anteriores, por inducción matemática es
evidente que la fórmula puede generalizarse para n años. Para calcular
F, dado P:
F = P(1 + i)^n

4. El factor (1+i)^n se denomina factor de cantidad compuesta de
pago único (FCCPU), pero en general se le conoce como factor F/P.
Éste es el factor de conversión que, cuando se multiplica por P,
produce la cantidad futura F de una inversión inicial P después de n
años, con la tasa de interés i.
Invierta la situación para calcular el valor P para una cantidad
dada F que ocurre n periodos en el futuro. Tan sólo resuelva la
ecuación (2) para P:
La expresión (1 + i)^-n se conoce como el factor de valor
presente de pago único (FVPPU), o factor P/F. Tal expresión
determina el valor presente P de una cantidad futura dada F,
después de n años con una tasa de interés i.

5. A continuación se presentan los significados de los símbolos
a utilizaren las fórmulas financieras de pagos únicos:
1) P: Valor presente de algo que se recibe o que se paga en
el momento cero.
2)F: Valor futuro de algo que se recibirá o se pagará al final
del periodo evaluado.
3) n: Número de períodos (meses, trimestres, años, entre
otros) transcurridos entre lo que se recibe y lo que se paga, o lo
contrario; es decir, período de tiempo necesario para realizar
una transacción. Es de anotar, que n se puede o no presentar en
forma continua según la situación que se evaluando.
4) i: Tasa de interés reconocida por período, ya sea sobre la
inversión o la financiación obtenida; el interés que se considera
en las relaciones de pago único es compuesto.

6. Ejemplo: En la compra de su casa usted se comprometió, mediante una
letra, a pagar $400.000 dentro de 8 meses. Sí usted tiene la posibilidad
de invertir en algunos papeles comerciales que rinden 2% mensual, ¿cuál
será el valor tope que usted podría pagar por la letra hoy?
Solución:
F=400.000
i=2%
P= F(1+i)^-n
P=$400.000x(1+0,02)^-8= $341.396

7. FACTORES DE VALOR PRESENTE Y DE RECUPERACION DE
CAPITAL EN SERIES UNIFORME
El término entre corchetes de la siguiente ecuación es el factor de
conversión llamado factor de valor presente de serie uniforme (FVPSU). Se
trata del factor P/A con que se calcula el valor P equivalente en el año 0 para
una serie uniforme de final de periodo de valores A, que empiezan al final
del periodo 1 y se extienden durante n periodos.

8. El término entre corchetes se denomina factor de recuperación del
capital (FRC), o factor A/P. Con él se calcula el valor anual uniforme
equivalente A durante n años de una P dada en el año 0, cuando la tasa
de interés es i.
Los factores P/A y A/P se derivan con el valor presente P y la primera
cantidad anual uniforme A, con un año (periodo) de diferencia. Es decir, el
valor presente P siempre debe localizarse un periodo antes de la primera
A

9. Ejemplos: Sí el señor Mendoza solicitó un préstamo por $4.500 y
prometió pagarlos en 10 cuotas anuales iguales, comenzando dentro de un
año, ¿cuál será el monto de sus pagos si la tasa de interés es de 20%
anual?
Solución:
A= $4.500[0,2(1+0,2)^10/(1+0,2)^10-1]= $1073,34

10. INTERPOLACION EN LA TABLA DE INTERES
Algunas veces es necesario localizar el valor de un factor para una tasa
de interés i o número de que no está contemplado en las tablas de interés.
Cuando esto ocurre, el valor del factor deseado puede obtenerse
interpolando entre los valores tabulados.
En general, es más fácil y más rápido utilizar las fórmulas de una
calculadora u hoja de cálculo que ya las tiene pre-programadas. Además,
el valor obtenido a través de la interpolación no es con exactitud el valor
correcto, puesto que se está interpretando linealmente ecuaciones no
lineales. Sin embargo, la interpolación es aceptable y se considera
suficiente en la mayoría de los casos siempre y cuando que los valores de
i o no estén muy distantes entre sí.

11. El primer paso en la interpolación lineal es establecer los factores
conocidos (valores 1 y 2) y desconocidos, como se muestra en la tabla 2.5.
Se escribe entonces una ecuación de razones y se resuelve para c, de la
siguiente manera:
Donde a, b, c y d representan las diferencias entre los números que se
muestran en las tablas de interés. El valor de c de la ecuación anterior se
suma o se resta del valor 1, dependiendo de si el valor del factor está
aumentando o disminuyendo, respectivamente. Los siguientes ejemplos
ilustran el procedimiento recién descrito.

12. FACTORES DE GRADIENTE ARITMETICO
Un gradiente aritmético es una serie de flujos de efectivo que aumenta
o disminuye en una cantidad constante en cada periodo. La cantidad del
cambio se llama gradiente. Las fórmulas desarrolladas antes para una
serie A tienen cantidades de final de año de igual valor. En el caso de un
gradiente, el flujo de efectivo de cada final de año es diferente, de manera
que es preciso derivar nuevas fórmulas.
Primero suponga que el flujo de efectivo al final del año 1 es una
cantidad base de la serie de flujo de efectivo, por lo que no forma parte de
la serie del gradiente. Esto es conveniente porque en las aplicaciones
reales la cantidad base suele ser mayor o menor que el aumento o la
disminución del gradiente. Por ejemplo, si una persona compra un
automóvil usado con garantía de un año, se esperaría que durante el
primer año de operación tuviera que pagar tan sólo la gasolina y el seguro.

13. Suponga que dicho costo es $2500; es decir, $2500 es la cantidad
base. Después del primer año, la persona debe solventar el costo de las
reparaciones, y razonablemente se esperaría que tales costos aumentaran
cada año. Si se estima que los costos totales aumentarán $200 cada año,
la cantidad al segundo año sería $2700, al tercero, $2 900, y así
sucesivamente hasta el año n, cuando el costo total sería $2500+(n−1)200.
En la siguiete figura se muestra el diagrama de flujo de efectivo de esta
operación. Observe que el gradiente ($200) aparece por primera vez entre
los años 1 y 2, y la cantidad base ($2500 en el año 1) no es igual al
gradiente.

14. Defina los símbolos G de gradiente y CFn de flujo de efectivo en un
año n como sigue.
“G= cambio aritmético constante de los flujos de efectivo de un periodo
al siguiente; G puede ser positivo o negativo.”
CFn = cantidad base + (n – 1)G
Es importante darse cuenta de que la cantidad base define una serie
uniforme de flujo de efectivo de tamaño A que ocurre en cada periodo.
Con este dato se calculan cantidades equivalentes que implican
gradientes aritméticos. Si se ignora la cantidad base, el diagrama de
flujo de efectivo generalizado de gradiente aritmético (creciente) es
como el de la siguiente figura .

15. Observe que el gradiente empieza entre los años 1 y 2; se le
denomina gradiente convencional.

16. CALCULO DE LAS TASAS DE INTERES DESCONOCIDO
En algunos casos, se conoce la cantidad de dinero depositado y la
cantidad de dinero recibida luego de un número especificado de años
pero se desconoce la tasa de interés o tasa de retorno. Cuando hay
involucrados un pago único y un recibo único, una serie uniforme de
pagos o recibos, o un gradiente convencional uniforme de pagos o
recibos, la tasa desconocida puede determinarse para i por una solución
directa de la ecuación del valor del dinero en el tiempo. Sin embargo,
cuando hay pagos no uniformes o muchos factores, el problema debe
resolverse mediante un método de ensayo y error o numérico.
Las fórmulas de pago único pueden reordenarse con facilidad y
expresarse en términos de i, pero para las ecuaciones de serie uniforme y
de gradientes, comúnmente es necesario resolver para el valor del factor
y determinar la tasa de interés a partir de las tablas de factores de interés.

17. Ejercicio/ejemplo: Si Carol puede hacer una inversión de negocios que
requiere un gasto de $3000 ahora con el fin de recibir $5000 dentro de
cinco años, ¿cuál seria la tasa de retorno sobre la inversión?
Solución: El diagrama de flujo de efectivo se muestra en la figura 7.
Dado que hay fórmulas de pago único involucradas en este problema, la
i puede determinarse directamente de la formula:

18. CONCLUSION
Al finalizar el presente texto, se pude concluir que existen diversos
factores que modifican el valor del dinero a medida de que pasa el tiempo,
con respecto a una inversión o recuperación del dinero. También se puede
concluir que mediante el uso de la interpolación en las tablas de interés se
pueden realizar muchos cálculos de diversos factores que modifican al
dinero mas fácilmente.

19. Baca, G. (2007). Fundamentos de ingeniería económica. México, McGraw-
hill.
Blank l. y Tarquin A. (1999). Ingenieria economica. Cuarta edicion. Colombia,
McGraw-hill.
Blank l. y Tarquin A. (2012). Ingenieria economica. Septima edicion.
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