Este documento presenta información sobre factores de pago único y factores de serie uniforme. Explica cómo calcular valores presentes y futuros usando fórmulas que involucran tasas de interés compuestas, números de períodos y montos de inversión inicial o pagos. También cubre métodos de interpolación en tablas de interés y cálculos de tasas de rendimiento usando factores.

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINITERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
Bachiller:
Johana Bello 24.947.778
Barcelona, febrero del 2018

2. Factores de pago único
DERIVACIÓN DE FACTORES DE PAGO ÚNICO .
En esta sección, se desarrolla una fórmula que permite la determinación de cantidades futuras de
dinero F que se acumulan después de años (o periodos) a partir de una inversión única P con
interés compuesto una vez anualmente (o por periodo). Al igual que en el capítulo se supondrá un
periodo de interés de 1 año. Sin embargo, se debe reconocer que los símbolos y en las fórmulas
desarrolladas aquí se aplican a de interés, que no solamente son años, como se analizará en el
capítulo 3.
En el capítulo 1 se planteó que el interés compuesto se refiere al interés pagado sobre el interés.
Por consiguiente, si una suma de dinero P se invierte en algún momento = 0, la suma de dinero F,
que se habrá acumulado 1 año a partir del momento de la inversión a una tasa de interés de por
ciento anual será:
F, P = pi
= (1 + i)
Al final del segundo año, la suma de dinero acumulada es la cantidad acumulada después del
año 1 más el interés desde el final del año 1 hasta el final del año 2. Por tanto,
F = F + Fi
P(l + i) + P(l + i)i

3. La expresión en corchetes se conoce como de valor-presente, pago único (FVPPU), o Dicha
expresión determina el valor presente P de una cantidad futura dada, después de n años a una
tasa de interés i. El diagrama de flujo de efectivo para esta fórmula se muestra en la figura 2.1.
En forma opuesta, el diagrama para encontrar F, dado P, sería exactamente el mismo si se
intercambia la ? y el término dado y se utiliza la ecuación para calcular F. Es importante observar
que los dos factores y las fórmulas derivadas aquí de pago único; es decir, son utilizadas para
encontrar la cantidad presente o futura cuando solamente hay un pago o recibo involucrado. En
las próximas dos secciones, se desarrollan fórmulas para calcular el valor presente o futuro
cuando hay diversos pagos uniformes o recibo de dinero involucrado.
La relación de pago único se debe a que dadas unas variables en el tiempo, específicamente
interés (i) y número de periodos (n), una persona recibe capital una sola vez, realizando un
solo pago durante el periodo determinado.

4. Factores de valor presente y de recuperación de capital en series uniformes
Es una situación que involucra pagos anuales uniformes. Supóngase que se deposita una suma
dada P, en una cuenta de ahorros en la que gana interés a una tasa i anual capitalizada cada
año. Al final de cada año se retira una cantidad fija.
El factor de valor presente de una serie uniforme es el inverso del factor de recuperación de
capital Formula P= A x (P/A, i, n)P/A= 1-( 1 + i )-ni
El valor presente P de una serie uniforme, como la mostrada en la figura 2.2, puede ser
determinado considerando cada valor de A como un valor futuro F y utilizando la ecuación con
para luego sumar los valores del valor presente.
El término en corchetes se llama de valor serie uniforme (FVP-SU), o el factor Esta ecuación dará
el valor presente P de una serie anual uniforme equivalente A que empieza al final del año 1 y se
extiende durante años a una tasa de interés i. El factor en corchetes en la ecuación puede ser
determinado también considerando la ecuación como una progresión geométrica, cuya forma
general para su suma de extremo cerrado es: S=(último término)(razón común) primer término.
FACTORES DE PAGO UNICO Y FACTORES DE SERIE UNIFORME Factor: El uso de factores
es una forma muy sencilla de llevar a cabo los cálculos de intereses así como el resto de las
variables de la ingeniería económica utilizando herramientas como la pc o calculadora. Un factor
es una formula matemática que nos permite calcular una de las variables. Un factor queda
definido por cuatro variables. Dos montos los cuales son: (P) monto el en tiempo presente (F)
monto en el tiempo futuro esto es adelante de P (A) serie de pagos iguales, es decir, montos
consecutivos de la misma magnitud (G) incrementos sucesivos a una serie de pagos iguales.

5. FACTORES DE PAGO UNICO Factor valor presente y valor futuro: Este factor es utilizado en
situaciones en las que deseas convertir un monto en el futuro a presente; ejemplo de esta
situación puede ser ¿Cuánto debo de pagar hoy si el monto a pagar dentro de cinco años es de
$10,000.00 y la tasa de intereses es de 12%? La solución a esta situación se indica como 10,000
(P/F, 12%, 10) El factor se denomina factor de cantidad compuesta de pago único (FCCPU), pero
en general se hace referencia a este como el factor F/P.
Cuando el factor es multiplicado por P, este produce la suma futura de una inversión inicial P
después de n de años, a la tasa de intereses i. Al despejar P en la ecuación en términos de F
resulta: La expresión en corchetes se conocen como el factor de valor-presente, del factor único
(FVPPU) o el factor P/F. Dicha expresión determina el valor presente P de una cantidad futura
dada, F, después de n años a una tasa de interés i. El diagrama de flujo para esta formula se
muestra en la imagen anterior. En forma opuesta, el diagrama para encontrar F, dado P, seria
exactamente el mismo si se intercambia la ? Y le termino dado y se utiliza la ecuación para
calcular F. Es importante observar los dos factores y las formulas derivadas son de pago único,
es decir, son utilizadas para encontrar presente o futura cuando solamente hay un pago o recibo
involucrado. FACTOR SERIE UNIFORME El valor presente P de una serie uniforme, puede ser
determinado considerando cada valor A como un valor futuro F y utilizando la ecuación con el
factor P/F para luego sumar los valores del valor presente. La formula general es: Donde los
términos en corchetes representan los factores P/F durante los años 1 hasta n, respectivamente.
Si se factor-iza A: La ecuación puede simplificarse multiplicando ambos lados por 1/(1 + i) para
producir: Restar la ecuación de la ecuación, simplificar y luego dividir ambos lados de la relación
por –i/(1 + i) conduce a una expresión para P cuando i ≠ 0: El termino en corchetes se llama
factor de valor presente, serie uniforme (FVP-SU) o el factor P/A. Esta ecuación dará el valor
presente P de una serie anual uniforme equivalente A que empieza a final del año 1y se extiende
a una tasa de intereses i. El factor P/A en corchetes en la ecuación de arriba puede ser
determinado también considerando la ecuación como una progresión geográfica, cuya forma
general para su suma de extremo cerrado S es: La razón común entre los términos es 1/(1 + i).

6. Interpolación en tablas de interés
Según el diccionario de la RAE: Interpolar es calcular el valor aproximado de una magnitud en
un intervalo cuando conocemos algunos de los valores que toma a uno y otro lado de dicho
intervalo.
En la vida real, encontramos situaciones carentes de información que permiten determinar
valores dependientes (y), en función de una o más variables independientes. Es aquí cuando
utilizamos la interpolación. Los métodos más utilizados son: método lineal, logaritmo y el
exponencial.
Sólo aplicaremos la interpolación lineal, debido a su sencillez y gran utilidad. La interpolación
lineal implica la utilización de la ecuación de la recta.
y = Variable Dependiente
x = Variable Independiente
m = Pendiente de la recta
c = Coeficiente de posición
La manera de utilizar esta fórmula, es calculándola a partir de dos puntos. Para ello utilizamos
la ecuación de la pendiente. Graficando el método lineal, obtenemos:
Veamos lo expuesto con algunos ejemplos, en los cuales operamos aplicando las tablas
financieras T2 y T3; para ilustración del lector adjuntamos la tabla T1.
Efectuamos la solución de problemas de este grupo utilizando la respectiva fórmula de la tasa
de interés.

7. Tasa de rendimiento de una inversión
Existe la posibilidad de invertir, abonando ocho cuotas iguales de UM 5,000 cada una y, al
efectuar el último pago tendremos la posibilidad de obtener una suma de UM 48,600. ¿Cuál es la
tasa de interés de esta inversión?
Solución:
VF = 48,600; C = 5,000; n = 8; i = ?
Con la tabla , encontramos el factor:
Con n = 8 y el factor 9.72 en T3 ubicamos la fila 8 del n, nos desplazamos a la derecha y
encontramos los factores 9.5491 y 9.8975, debajo de las columnas del 5% y 6% respectivamente.
Para encontrar la tasa de interés (i) con mayor grado de precisión efectuaremos un conjunto de
operaciones para obtener a partir de las tablas financieras valores muy aproximados a la tasa de
interés buscada. Graficando, tenemos:
Determinamos el valor de i, por interpolación a través de la proporción entre la diferencia del valor
central (9.72) menos el valor inferior (9.5491), dividiendo el resultado entre la diferencia de los
factores extremos (9.8975 - 9.5491), finalmente con esta relación establecemos la igualdad con
los intereses:
despejando i obtenemos:
Graficando al factor 9.72 le corresponde la tasa de interés de 5.49%.

8. Necesitamos saber el rendimiento sobre la inversión de UM 228,000, considerando
rendimiento de esta inversión como UM 32,000 al final de cada año durante 10 años.
Solución:
VA = 228,000; C = 32,000; n = 10; i =?
1º Con la tabla, encontramos el factor:
Aplicando el procedimiento establecido, en la tabla T2, ubicamos los factores 7.3601 y 7.0236
debajo de las columnas del 6% y 7% respectivamente.
2º Graficamos el ejercicio:
3º Interpolando, en forma similar al ejercicio anterior, obtenemos:
despejando i tenemos:
Respuesta:
El rendimiento de la inversión de UM 228,000 es de 6.37% anual.

9. Factores de gradiente aritmético
Factores de gradiente aritmético (P/G Y A/G) es una serie de flujos de efectivo que aumenta
disminuye en una cantidad constante en cada periodo Es decir, el flujo de efectivo, ya sea ingreso
o desembolso, cambia por la misma cantidad aritmética cada periodo.
Un gradiente es una serie de pagos que cumple con las siguientes condiciones:
1. Todos los pagos cumplen con una ley de formación
2. Los pagos se efectúan a iguales intervalos de tiempo
3. Todos los pagos se trasladan al principio o al final a la misma tasa de interés.
4. El número de pagos es igual al número de períodos.
La ley de formación, de la que habla la primera condición, puede ser de varias clases, sin
embargo, las más utilizadas son: la que corresponde al gradiente lineal o aritmético y la que
corresponde al gradiente geométrico.
Las anualidades, vienen a ser un caso particular de los gradientes, en el cual, el crecimiento es
cero, lo que hace que todos los pagos sean de igual valor, por tal motivo el manejo de los
gradientes es similar al manejo de las anualidades.
Las otras tres leyes son las mismas de las anualidades.

10. En el gradiente aritmético cada pago es igual al anterior, más una constante L; si esta constante es
positiva, el gradiente será creciente; si la constante es negativa, el gradiente será decreciente.
Obviamente, si L = 0 todos los pagos son iguales y la serie se convierte en una anualidad.
Como en un gradiente todos los pagos son de diferente valor, será necesario distinguir un pago de
otro y por eso al primer pago lo representaremos por R1; el segundo pago por R2 y así
sucesivamente, el último pago lo representaremos por Rn.
De acuerdo a la definición de gradiente lineal se tendrá:
R2=R1+L
R3=R2+L = R1+2L
R4=R3+L = R1+3L
Rn=Rn-1+L = R1+(n-1)L
De los anterior se deduce que la fórmula del último término será:
Rn=R1+(n-1)L

11. Conclusicion
La relación de pago único se debe a que dadas unas variables en el tiempo, específicamente
interés y número de periodos, una persona recibe capital una sola vez, realizando un solo pago
durante el periodo determinado posteriormente Siempre lidiamos con la toma de decisiones, ya
que a veces no nos sentimos preparados para lo que viene ya que la competitividad entre
empresas es muy fuerte , pero la ingeniería económica nos prepara para que estemos listos,
lidiemos y salgamos adelante con una buena solución y mejoramiento de dicha empresa .
La ingeniería económica proporciona las herramientas analíticas para tomar mejores decisiones
económicas, esto se logra al comparar las cantidades de dinero que se tiene en diferentes
periodos de tiempo.

12. Bibliografía
• http://www.monografias.com/trabajos104/gradientes/.,.gradientes.shtml,.,-ñ{
• http://itvh-gabr-ingeieria-economia.blogspot.com/.,-{ñ