Este documento trata sobre factores financieros como valor presente, valor futuro, tasas de interés, entre otros. Explica fórmulas para calcular factores de pago único, serie uniforme, gradiente aritmético y tasas de interés desconocidas. También incluye ejemplos para ilustrar el cálculo y uso de estos factores en problemas financieros.

1. Republica bolivariana de Venezuela
ministerio del poder popular para la educación
instituto universitario politécnico Santiago Mariño
sede Barcelona – ingeniería Industrial
AUTOR: JESSICA CARABALLO
CEDULA DE IDENTIDAD:
26.958.968
DOCENTE: ING. EFRAÍN LÓPEZ
.

2.  INTRODUCCION
 FACTORES DE PAGO UNICO
 FACTORES DE VALOR PRESENTE Y DE RECUPERACIÓN DE CAPITAL (P/A Y A/P)
 INTERPOLACIÓN EN TABLAS DE INTERÉS.
 FACTORES DE GRADIENTE ARITMÉTICO
 CÁLCULO DE TASAS DE INTERÉS DESCONOCIDAS
 CONCLUSION
 BIBLIOGRAFIA
 ANEXOS

3. Con el paso del tiempo el valor de dinero va cambiando. Esto lo podemos comprobar observando el
precio de los bienes y servicios entre un año y otro o el salario que cobra una persona. Estas
cantidades van cambiando debido a dos factores fundamentales: la inflación y el tipo de interés.
Los dos factores que influyen en la variación de valor del dinero son el tipo de interés y la inflación.
El tipo de interés se define como el pago realizado por el alquiler del dinero recibido en préstamo. Es
el precio del dinero. En un sistema de libre mercado, el tipo de interés se fija por el equilibrio de la
oferta y la demanda en el mercado de capitales. En una economía dirigida el tipo de interés se fija por
las autoridades monetarias. Estas dos situaciones no son totalmente puras, puesto que, aunque sea el
mercado quien fija los tipos de interés, la autoridad monetaria interviene.
Debido a la inflación, se observa que casi todos los renglones de la economía van aumentando
de precios, por esta razón, es necesario elaborar modelos matemáticos que ajustándose a los índices
de inflación puedan compensar los efectos erosionantes en el dinero, a través del tiempo, entre los
modelos matemáticos que pueden suplir esta necesidad están los gradientes.

4. FACTORES DE PAGO UNICO
La relación de pago único se debe a que, dadas unas variables en el tiempo, específicamente interés (i) y número de
periodos (n), una persona recibe capital una sola vez, realizando un solo pago durante el periodo determinado
posteriormente. Para hallar estas relaciones únicas, sólo se toman los parámetros de valores presentes y valores
futuros, cuyos valores se descuentan en el tiempo mediante la tasa de interés.
Los significados de los símbolos de las fórmulas financieras de pagos únicos:
 P: Valor presente de algo que se recibe o que se paga en el momento cero.
 F: Valor futuro de algo que se recibirá o se pagará al final del periodo evaluado.
 n: Número de períodos (meses, trimestres, años, entre otros) transcurridos entre lo
que se recibe y lo que se paga, o lo contrario; es decir, período de tiempo necesario
para realizar una transacción. Es de anotar, que n se puede o no presentar en forma
continua según la situación que se evaluando.
 i: Tasa de interés reconocida por período, ya sea sobre la inversión o la financiación
obtenida; el interés que se considera en las relaciones de pago único es compuesto.

5. FACTORES DE VALOR PRESENTE Y RECUPERACIÓN DE CAPITAL
Capitalización es el valor de mercado de la empresa, esto es, la cotización de cada acción
multiplicada por el número de acciones. El aumento de la capitalización en un año es la
capitalización al final de dicho año menos la capitalización al final del año anterior.
Factor de fondo de amortización y cantidad compuesta.
 Factor de cantidad compuesta pago único (FCCPU) o factor F/P: F = P (1+i) n
 Factor de valor presente, pago único (FVPPU) o factor P/F: P = F [1 / (1+i) n]
 Factor del valor presente, serie uniforme (FVP-SU) o factor P/A: P = A [(1+i) n-1 / i(1+i) n]
 Factor de recuperación del capital (FRC) o factor A/P: A = P [i(1+i) n / (1+i) n-1]
 Factor del fondo de amortización (FA) o factor A/F: A = F [i / (1+i) n-1]
 Factor de cantidad compuesta, serie uniforme (FCCSU) o factor F/A: F = A [(1+i) n-1 / i]

6. Notación estándar de los factores:
FACTORES DE VALOR PRESENTE Y RECUPERACIÓN DE CAPITAL
Para identificar factores es más sencillo utilizar la notación estándar de los
nombres de los factores y ésta será utilizada en lo sucesivo:
Nombre del factor notación estándar:
 Valor presente, pago único (P/F, i, n)
 Cantidad compuesta, pago único (F/P, i, n)
 Valor presente, serie uniforme (P/A, i, n)
 Recuperación del capital (A/P, i, n)
 Fondo de amortización (A/F, i, n)
 Cantidad compuesta, serie uniforme (F/A, i, n)
La notación anterior es útil para buscar los valores de los factores involucrados los cuales se establecen en
las tablas correspondientes.

7. EJEMPLOS
(P/A,5%,10) es el factor utilizado en el cálculo de un valor presente, dado el valor de una anualidad,
con una tasa de interés del 5% y un valor de 10 periodos de capitalización. Este factor, en las tablas
correspondientes es igual a 7.7217
(P/A,5%,10) = [(1+i) n-1 / i(1+i) n]
(P/A,5%,10) = (1.05)10-1 / 0.05(1.05)10
(P/A,5%,10) = 7.7217
Si utilizamos la fórmula para calcular el valor de este factor (P/A), tenemos:

8. EJEMPLOS DE LA UTILIZACIÓN DE FACTORES:
1.- ¿Cuánto dinero estaría una persona dispuesta a pagar ahora por una inversión cuyo retorno
garantizado será de $600 anual durante 9 años empezando el año próximo a una tasa de interés del
16% anual?
P = A(P/A,16%,9) = 600(4.6065)
P = $2763.90

9. EJEMPLOS DE LA UTILIZACIÓN DE FACTORES:
2.- ¿Cuánto dinero debo depositar cada año empezando dentro de 1 año al 5?5% anual con el fin de
acumular $6000 dentro de 7 años?
A = F(F/A,5.5%,7)
A = 6000 (0.12096)
A = $725.76 anual.

10. FACTORES DE VALOR PRESENTE Y DE RECUPERACIÓN DE CAPITAL (P/A Y A/P)
Factor del valor presente P/A de una serie uniforme
El valor presente P equivalente de una serie uniforme A de flujo de efectivo al final del periodo se
muestra en la figura 2.a.
A = dado
a) ?
A = ?
b) ?
Figura 2.5: diagrama de flujo de efectivo para determinar a) P de una serie uniforme b) A para un valor presente.

11. FACTORES DE VALOR PRESENTE Y DE RECUPERACIÓN DE CAPITAL (P/A Y A/P)
Una expresión para el valor presente se determina considerando cada valor A como un valor futuro F,
calculando su valor presente con el factor P/F, para luego sumar los resultados:
Los términos entre corchetes representan los factores PIF durante los años 1 hasta n, respectivamente. Si se
factoriza A,
Para simplificar la ecuación [2.4] y obtener el factor PIA, multiplique esta ecuación por el factor (PIF, i%, l),
el cual es 1/ (1 + i). Esto da como resultado la ecuación [2.5] que se presenta más abajo. Luego reste la
ecuación [2.4] de la ecuación [2.5] y simplifique para obtener la expresión para P cuando i no es igual a cero
(ecuación [2.6]). Esta progresión es como sigue.

12. Se utiliza la siguiente formula:
Se trata del factor P/A utilizado para calcular el valor P
equivalente en el año 0 para una serie uniforme de final de
periodo de valores A
A Empieza al final del periodo 1 y se extienden durante n
periodos.
P/A es el factor de
conversión referido
como factor de valor
presente de serie
uniforme (FVPSU).

13. FACTORES DE RECUPERACIÓN DEL CAPITAL (A/P)
Si se conoce P, y se busca la cantidad equivalente A de serie uniforme (figura 2.4 b).
El primer valor A ocurre al final del período 1. Es decir, un periodo después de que P ocurre.
Factor de recuperación del capital A/P
La fórmula es la siguiente:
Se denomina como Factor de recuperación del
capital (FRC), o factor A/P.

14. FACTORES DE RECUPERACIÓN DEL CAPITAL (A/P)
Con el factor A/P se calcula el valor anual uniforme equivalente A durante n años de
una P dada en el año 0, cuando la tasa de interés es i
Los factores P/A y A/P se derivan con el valor presente P y la primera cantidad anual uniforme A con
un año (periodo) de diferencia. Es decir, el valor presente P siempre debe localizarse un período ante
de la primera A.

15. Las notaciones estándar para los dos factores: P/A, i%, n A/P, i%, n

16. EJEMPLOS
1.- ¿Cuánto dinero debería destinarse para pagar ahora por $600 garantizados cada año durante 9
años, comenzando el próximo año, a una tasa de rendimiento de 16% anual?
El diagrama de flujo de efectivo (figura 2.6) se ajusta al factor P/A . El valor presente es:
P = 600((P/A.16%,9) = 600(4.6065) = $2 763,90
La función VP (16%.9.600) ingresada en una celda de una hoja de cálculo desplegara la respuesta P = $2. 763.93.

17. EJEMPLOS
2.- Si i% = 15% y n = 25 años ¿ Cuál será el factor (P/A; i%, n) ?
El factor (P/A), 15%, 25), de la tabla 19, sugiere que
(P/A, 15%, 25) = 6 4641
SOLUCION

18. INTERPOLACIÓN EN TABLAS DE INTERÉS.
Interpolar es calcular el valor aproximado de una magnitud en un intervalo cuando conocemos
algunos de los valores que toma a uno y otro lado de dicho intervalo.
Arreglo para la interpolación lineal

19. Un gradiente aritmético es una serie de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en una cantidad constante. Es
decir, el flujo de efectivo, ya sea ingreso o desembolso, cambia por la misma cantidad aritmética cada periodo. La
cantidad del aumento o de la disminución es el gradiente.
En el gradiente aritmético cada pago es igual al anterior, más una constante L; si esta constante es positiva, el
gradiente será creciente; si la constante es negativa, el gradiente será decreciente. Obviamente, si L = 0 todos los
pagos son iguales y la serie se convierte en una anualidad.
Como en un gradiente todos los pagos son de diferente valor, será necesario distinguir un pago de otro y por eso al
primer pago lo representaremos por R1; el segundo pago por R2 y así sucesivamente, el último pago lo
representaremos por Rn.
FACTORES DE GRADIENTE ARITMÉTICO
De acuerdo a la definición de gradiente lineal se tendrá:
R2=R1+L
R3=R2+L = R1+2L
R4=R3+L = R1+3L
. . . .
Rn=Rn-1+L = R1+(n-1) L
De los anterior se deduce que la fórmula del último término
será:
Rn=R1+(n-1) L

20. EJEMPLOS
1.- Una compañía de ropa deportiva ha iniciado un programa para registrar su logo. Espera obtener
ingresos de $80 000 y el aumento total de ingreso es:
La cantidad base es $80 000 y el
aumento total de ingresos es:
Aumento en 9 años = 200 000 – 80 000 = 120 000
El diagrama de flujo de efectivo: G = $15 000

21. EJEMPLOS
2.- Hallar el valor presente con interés al 5% de la siguiente serie:
En la gráfica se observan varias cosas:
a) El gradiente tiene un crecimiento de $200; entonces L = 200
b) El primer pago es $800; entonces R = 800
c) El número de pagos es 6; entonces n=6
Reemplazando en la fórmula se tiene:

22. CÁLCULO DE TASAS DE INTERÉS DESCONOCIDAS
En algunos casos, se conoce la cantidad de dinero depositado y la cantidad de dinero recibida
luego de un número especificado de años, pero de desconocer la tasa de interés o tasa de retorno.
Cuando hay involucrados un pago único y un recibo único, una serie uniforme de pagos recibidos,
o un gradiente convencional uniforme de pagos recibido, la tasa desconocida puede determinarse
para “i” por una solución directa de la ecuación del valor del dinero en el tiempo. Sin embargo,
cuando hay pagos no uniformes, o muchos factores, el problema debe resolverse mediante un
método de ensayo y error, ó numérico.

23. EJEMPLOS
1.- Si Carolina puede hacer una inversión de negocios que requiere de un gasto de $3000
ahora con el fin de recibir $5000 dentro de 5 años, ¿Cuál sería la tasa de retorno sobre la
inversión?
P = F [1/(1+i) n]
3000 = 5000 [1 / (1+i)5]
0.600 = 1 / (1+i)5
i = (1/0.6)0.2-1 = 0.1076 = 10.76%
SOLUCION:

24. EJEMPLOS
2.-Unos padres desean ahorrar dinero para la educación de su hijo; compran entonces una póliza de
seguros que producirá $ 10 000 dentro de 15 años. Ellos deben pagar $ 500 por año durante 15 años
empezando dentro de un año. ¿Cuál sería la tasa de retorno sobre sus inversiones?
Se utiliza A/F
A = F (A/F, i, n)
500 = 10 000 (A/F, i, 15)
(A/F, i, 15) = 0.0500
Según las tablas de interés bajo la columna A/F para 15 años,
el valor 0.05000 se encuentra entre 3% y 4%. Por
interpolación
(P/F, 4%, 15) = 0.05377 (P/F, 3%, 15) = 0.04994
c = 0.05377 – 0.05000 (4 – 3) 0.05377 – 0.04994
= 0.00377 (1) 0.00383
= 0.9843
Dado que el factor aumenta en medida que i aumenta, c se suma del factor i = 3%i = 3 + 0.98 = 3.98%
SOLUCION:

25. El cambio del valor del dinero en el tiempo es el producto de la agregación o influencia de la tasa de
interés, la cual constituye el precio que una empresa o persona debe pagar por disponer de cierta suma
de dinero, en el presente, para devolver una suma mayor en el futuro, o la inversión en el presente que
compensará en el futuro una cantidad adicional en la invertida. Ese valor agregado del dinero en el
tiempo, involucra hablar detasas de interés anualizadas, nominales, reales y efectivas de periodos, de
las fechasen las que se dan los movimientos de dinero y de la naturaleza de estos movimientos
iniciándose siempre con un valor presente para llegar a un valor futuro

26.  https://issuu.com/williansbarrero/docs/ingenieria_economica
 https://www.coursehero.com/file/40305942/FACTORES-DE-VALOR-
PRESENTE-Y-RECUPERACION-DE-CAPITAL-EJERCICOS-2pdf/
 https://es.slideshare.net/tatyanasaltos/5-factores-series-uniformes-p-a-a-p-f-a-y-
af#:~:text=FACTORES%20DE%20VALOR%20PRESENTE%20Y,ante%20de%2
0la%20primera%20A.
 https://unimagingenieriaeconomica.wordpress.com/2014/04/20/6-2-gradiente-
lineal-o-aritmetico/
 https://prezi.com/b3_ih53rvonc/interpolacion-en-la-tabla-de-interes/