Este documento describe el filtro óptimo o adaptado para maximizar la relación señal a ruido en un sistema de comunicaciones. Explica que la respuesta al impulso del filtro óptimo es proporcional a una versión invertida y retardada de la señal de entrada, y maximiza la relación señal a ruido utilizando la desigualdad de Schwartz en el dominio de la frecuencia.

1. Espinoza Bautista José
Rodrigo
Filtro Óptimo y Desigualdad de
Schwartz
TeoríaEstadísticadelas
ComunicacionesI

2.  Introducción.
 Filtro Optimo.
 Desigualdad de Schwarz.
 Propiedades.

3. El Filtro Optimo o Adaptado es un Filtro lineal,
invariante en el tiempo, cuya respuesta al impulso está
adaptada a la señal que se debe transmitir.
Sea un sistema de comunicación como se
muestra en la siguiente figura:
Donde:
x(t) = Señal de
entrada al filtro
x(t) = g(t) + w(t)
h(t) = respuesta al
impulso de un filtro
lineal e invariante
en el tiempo.
g(t) = Señal de
pulsos
w(t) = ruido blanco
aditivo

4. Señal de entrada al filtro
Donde:
T = intervalo de observación arbitrario
g(t) = Representación de símbolos 0 y 1
w(t) = Ruido blanco, media cero y densidad
espectral de potencia N0/2
Se supone que el receptor tiene
conocimiento de la forma del pulso g(t).

5. Siendo la salida de este sistema y(t).
Donde:
g0(t) y n(t) son generadas a partir de la
señal y el ruido de entradas al filtro.
Se desea que la componente de señal g0(t)
sea considerablemente mayor que la componente
de ruido n(t) :
LA POTENCIA INSTANTÁNEA DE LA SEÑAL
g0 (T) MEDIDA EN t = T sea mayor en
comparación con la POTENCIA PROMEDIO DE
RUIDO DE SALIDA n(t)

6. Se busca maximizar:
Ig0(T)I2 = potencia instantánea de la señal de
salida
E[n2(t)] : potencia promedio de ruido de salida
Requerimiento: Especificar la respuesta
al impulso del filtro h(t) de manera que la
relación señal a ruido definida sea máxima.

7. Sea G(f) la transformada de Fourier de g(t)
Sea H(f) la transformada de Fourier de h(t)
La señal de salida del filtro g0(t) queda
definida por la transformada inversa de Fourier
(sin ruido)
En t=T

8. La densidad espectral de potencia SN(f)
del ruido n(t) a la salida del filtro viene dada
por
La potencia promedio o varianza de
ruido a la salida del filtro estaría dada por:

9. Con lo cual tendremos la siguiente expresión:
Para resolver la maximización de la
expresión utilizaremos la desigualdad de
Schwartz

10. Se le conoce como la Desigualdad de
Schwarz cuando se tiene dos funciones complejas
F1 y F2 de variable real x
Y es posible escribir
Entonces la igualdad de cumple si y sólo si
k: constante arbitraria y * indica conjugación
compleja

11. Si reescribimos el numerador de la
ecuación:
Tenemos que:
NO depende de la respuesta en frecuencia del
filtro H(f) sino de la energía de la señal y de N0/2

12. En resumen, la relación señal a ruido,
será máxima cuando se elija H(f) de manera
que se cumpla la igualdad:
En consecuencia el filtro H(f) toma su
valor óptimo:
Para una señal real g(t) resulta
G*(f) = G(-f)

13. Finalmente tenemos:
La respuesta al impulso del filtro óptimo
es una versión invertida y retardada en el
tiempo de la señal de entrada al filtro g(t),
salvo por un factor de escala k.

14. La respuesta al impulso del filtro óptimo es una versión
invertida y retardada en el tiempo de la señal de entrada al filtro
g(t), salvo por un factor de escala k.

15.  La respuesta al impulso de un filtro óptimo a
una señal pulsante g(t) con duración del
pulso t=T
 En el dominio de la frecuencia
 La relación señal a ruido de un filtro óptimo,
depende de la proporción de la energía de la
señal y la densidad espectral de potencia de
ruido a la entrada del mismo