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Prof. Carlos Mario Calle
JUSTIFICACIÓN
Las funciones exponenciales son
una de las familias
 de funciones más importantes en
las matemáticas
por la gran cantidad de
aplicaciones que tienen..
Funciones Exponenciales
  Pre-prueba
  A. Traza la gráfica las    B. Resuelve las siguientes
  siguientes de funciones    de ecuaciones exponenciales
  exponenciales
    1. f ( x ) 2 x
                              1. 23 x    6
                                                  2x   3

                 x
    2. f ( x) 5
                 1
                         x     2. 34 x       2
                                                  3    x 4

    3. f ( x )
                 3
                               3. 9x         3x   1
    4. f ( x) 3x     1


    5. f ( x ) e x
Funciones Exponenciales
    Definición de una función exponencial
   •Sea b 0 y b 1 un número real. A una
   función de la forma f ( x) b x
                                 b.
  •La x puede asumir cualquier valor real por lo que
  el dominio de las funciones exponenciales es el
  conjunto de los números reales, R         , .
  •Como la b 0 y b 1 los resultados al evaluar
  las funciones exponenciales son números positivos
  por lo tanto el alcance será, A 0, .
  •Si b 1 la función será f ( x) 1 una función
  constante, que no es exponencial.
Funciones Exponenciales
  “Estas funciones se conocen como funciones
  exponenciales porque el exponente es variable.”

  Ejemplos de funciones exponenciales
  1. f ( x) 3x
  2. f ( x) 4 x
                       x
               2
   3. f ( x)
               3
   4. f ( x) 5 x
                   x
   5. f ( x) 10
Funciones Exponenciales
  Gráficas de funciones exponenciales

   Ejemplos:
  Traza la gráfica de las siguientes funciones
  exponenciales.

  1. f ( x) 3x        Solución
  2. f ( x) 2 x       Solución
                  x
              1
   3. f ( x)           Solución
              2
                  x
              2
   4. f ( x)           Solución
              3
   5. f ( x) 10 x      Solución
Funciones Exponenciales
  1. f ( x) 3x                                       9
                                                          y
                                                     8
                                                     7
                                                     6
    x    f(x)                                        5
                                                     4
                                                     3
     0     1                                         2
                                                     1
     1     3                                                                                      x
                        -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1        1   2   3   4   5   6   7   8   9 10 11
                                                     -1

     2     9                                        -2
                                                    -3

           1                                        -4
     1     3
                                                    -5
                                                    -6
           1
     2     9
                                                    -7
                                                    -8
                                                    -9
                                                   -10
Observe el dominio y el alcance en la gráfica. Observe también que si los
valores de x tienden a menos infinito, x        , los valores de la función
tienden a 0.                                                        Ejercicios
Funciones Exponenciales
                     x
 2. f ( x)       2
                                                           y
                                                      9
   x    f(x)                                          8
                                                      7
                                                      6
    0        1                                        5
                                                      4

    1        2                                        3
                                                      2
                                                      1
    2        4                                                                                     x
                         -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1        1   2   3   4   5   6   7   8   9 10 11
                                                      -1
    3     8                                          -2
                                                     -3
             1
    1                                                -4
                                                     -5
             2                                       -6
    2        1                                       -7
             4                                       -8
                                                     -9
   Ejercicios                                       -10
Funciones Exponenciales
                    x
                1
  3. f ( x)                                               y
                2                                    9
                                                     8
   x     f(x)                                        7
                                                     6
                                                     5
     0    1                                          4
                                                     3
          1
    1     2
                                                     2
                                                     1
                                                                                                  x
          1
     2    4
                        -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
                                                     -1
                                                              1   2   3   4   5   6   7   8   9 10 11

                                                    -2

    1     2                                         -3
                                                    -4
                                                    -5
    2     4                                         -6
                                                    -7
                                                    -8
                                                    -9
 Ejercicios                                        -10
Funciones Exponenciales
                    x
                2
4. f ( x)
                3
                                                     9

 x     f(x)                                          8
                                                     7
                                                     6

  0     1                                            5
                                                     4
            2                                        3
  1         3                                        2
                                                     1
            4
   2        9           -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1    1   2   3   4   5   6   7   8   9 10 11
                                                     -1

  1         3                                       -2
                                                    -3
            2                                       -4
  2     9                                           -5
                                                    -6
        4                                           -7
                                                    -8

 Ejercicios                                         -9
                                                   -10
Funciones Exponenciales
                 x
 5. f ( x) 10                                     9
                                                  8
                                                  7
  x       f(x)                                    6
                                                  5
                                                  4
   0       1                                      3
                                                  2
           1
   1                                              1
          10
                     -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1    1   2   3   4   5   6   7   8   9 10 11
           1                                      -1
   2      100
                                                 -2
                                                 -3
                                                 -4
      1   10                                     -5
                                                 -6

      2   100                                    -7
                                                 -8
                                                 -9
                                                -10

 Ejercicios
Funciones Exponenciales

  Resumen de las propiedades de las funciones
   exponenciales

  1. Las funciones exponenciales pasan por el punto
     (0,1).
  2. Si b > 0 la función es creciente.
  3. Si b < 0 la función es decreciente.
  4. El eje de x es una asíntota horizontal.
  5. El dominio es el conjunto de los números reales.
  6. El alcance es el conjunto de números reales
     positivos.
  7. Las funciones exponenciales son uno a uno.
Funciones Exponenciales

Transformaciones de las funciones exponenciales
 Al igual que las funciones estudiadas anteriormente
 podemos transformar las funciones exponenciales
 variando sus parámetros (números) para producir
 traslaciones,      reflexiones,    estiramientos    y
 contracciones. Las funciones que resultan de estas
 transformaciones se conocen como funciones de
 forma exponencial. Veremos algunos ejemplos a
 continuación.
Funciones Exponenciales

Transformaciones de las funciones exponenciales
Traza la gráfica de las siguientes funciones.
   1. f ( x) 3x 2            Solución
               x 1
   2. f ( x) 2               Solución
                      x
                 1
   3. f ( x) 2               Solución
                 2
                       x
                  2
   4. f ( x) .5              Solución
                  3
                   x 1
   5. f ( x) 2           2   Solución

   6. f ( x) 2 x 2           Solución
Funciones Exponenciales
1. f ( x)        3x   2
                                                       9
                                                       8            f ( x)       3x           2
   x    f(x)                                           7
                                                       6
                                                       5
                                                                    f ( x)       3x
    0       3                                          4
                                                       3

    1       5                                          2
                                                       1


    2       11            -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
                                                       -1
                                                            1   2    3   4   5   6   7   8    9 10 11

                                                      -2
          1
    1   2
          3
                                                      -3
                                                      -4
          1                                           -5
    2   2
          9                                           -6
                                                      -7
                                                      -8
                                                      -9
                                                     -10

                                                                                             Ejercicios
Funciones Exponenciales
                     x 1
 2. f ( x)       2                                      9
                                                        8
   x    f(x)                                            7
                                                        6
             1                                          5

    0        2
                                                        4
                                                        3
                                                        2
    1        1                                          1

                           -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1    1   2   3   4   5   6   7   8   9 10 11
    2    2                                              -1
                                                       -2
                                                       -3
    3    4                                             -4
                                                       -5
          1
    1                                                  -6

          4                                            -7


    2     1                                            -8
                                                       -9
          8                                           -10


                                                                                             Ejercicios
Funciones Exponenciales
                        x
                    1
  3. f ( x)       2                                   8
                                                           f(x)

                    2                                 7

    x     f(x)                                        6
                                                      5
                                                      4

      0   2                                           3
                                                      2

      1   1                                           1

                            -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1       1    2   3   4   5   6   7   8   9   x
                                                      -1
      2   1                                          -2
              2
                                                     -3

      3   1
              4
                                                     -4
                                                     -5
                                                     -6
      1   4                                          -7
                                                     -8

      2   8                                          -9

                                                                                      Ejercicios
Funciones Exponenciales
                            x
                        2
 4. f ( x)           .5                                   8
                                                          8
                                                               f(x)
                                                               f(x)

                        3                                 7
                                                          7

    x     f(x)                                            6
                                                          6
                                                          5

             1                                            4
      0          2                                        3
                                                          2

      1      1                                            1
            3
                                 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2
                                -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1       1    2   3   4   5
                                                                                  5   6
                                                                                      6   7
                                                                                          7   8
                                                                                              8   9
                                                                                                  9   xx
      2   2                                               -1
            9                                             -2

      1    3                                              -3

             4                                            -4
                                                          -5
      2   9
            8                                             -6
                                                          -6
                                                          -7
                                                          -7
      3   27                                              -8
                                                          -8
             16                                           -9
                                                          -9

                                                                                          Ejercicios
Funciones Exponenciales
                        x 1
5. f ( x)           2          2
                                                             f(x)
                                                         8
                                                         7
   x    f(x)                                             6
                                                         5

            5                                            4

    0           2                                        3
                                                         2
            9
    1           4
                                                         1

                              -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1       1    2   3   4   5   6   7   8   9   x
        17                                              -1
    2           8                                       -2
                                                        -3
    1       3                                           -4
                                                        -5
    2       4                                           -6

                                                        -7

    3       6                                           -8
                                                        -9
                                                                                            Ejercicios
Funciones Exponenciales
                   x 2
  6. f ( x)    2
                             2 2        4      1     1
   a. f ( 2)           2             2                   x   y
                                              24 16      -2 1/16
                           1 2          3    1 1
   b. f ( 1)        2                2        3          -1 1/8
                                             2     8
                                                         0   1/4
                                      2    1 1
   c. f (0)        20      2
                                   2                     1   1/2
                                          22 4
                                          1 1            2   1
                   1 2               1
   d . f (1)   2                   2       1             3   2
                                          2      2
                       2 2           0
   e. f (2)        2                2 1
                       3 2
   f . f (3)       2               21   2
                                                              Ejercicios
x 2
f ( x)         2                              4



 x       y                                    3


 -2 1/16                                      2


 -1 1/8                                       1

 0       1/4
                         -4   -3   -2   -1        1   2   3   4
 1       1/2
                                             -1
 2       1
                                             -2
 3       2
                                             -3
 4       3
                                             -4




                                                              Ejercicios
Funciones Exponenciales
 RESOLVER ECUACIONES EXPONENCIALES IGUALANDO LAS BASES.
 LAS FUNCIONES EXPONENCIALES SON FUNCIONES UNO A UNO, POR
              x      y
 LO TANTO a        a     SI Y SOLO SI X = Y .
 ESTA PROPIEDAD NOS PERMITE RESOLVER ECUACIONES
 EXPONENCIALES IGUALANDO LAS BASES. O SEA SI LAS BASES SON
 IGUALES ENTONCES LOS EXPONENTES SON IGUALES.
   Ejemplos:
   Resuelve las siguientes ecuaciones.
        3x 8              x 2   Solución
    1. 2              2
           4x 6            x
    2. 3              3         Solución


            x     x 1
    3. 27         3             Solución
Funciones Exponenciales
                   4x 2
          1
   4.                         2x   2           Solución
          2
                                   x
           x   2           2
   5. 16                                       Solución
                          64
                    6 x 10               x 1
           2                         3
   6.                                          Solución
           3                         2
                               x 2
          4x 2            1                    Solución
   7. e
                          e
          x2 2 x              x2 5             Solución
   8. 4                   2
Funciones Exponenciales
       3x 8           x 2
  1. 2            2         Verificación
                              33 8          3 2
    3x 8          x 2       2              2
                                    9 8     1
   3x x           2 8
                                2          2

       2x     6                     2 2
         x    3
      C.S     3


                                                  Ejercicios
Funciones Exponenciales
           4x 6           x
  2. 3                3       Verificación
                                      6               6
                                  4       6
     4x 6             x       3       5
                                                  3   5

     4x x         6               24 30               6
                                  5 5                 5
                              3                   3
      5x     6
                                      6           6
             6                    3   5
                                              3   5
       x
             5
                  6
      C.S
                  5
                                                          Ejercicios
Funciones Exponenciales
              x        x 1
   3. 27          3          Verificación
                                      1       1
        3 x           x 1                       1
      3           3           27      2
                                          3   2

                                  1           3
       3x         x 1           3 2           2
                              3           3
          2x 1                        3       3
                                      2       2
                  1               3       3
          x
                  2

                  1
     C.S
                  2
                                                    Ejercicios
Funciones Exponenciales
                 4x 2
            1                    x 2
   4.                        2
            2
            1 4x 2              x 2
        2                   2
            4x 2            x 2
        2               2
    4x 2               x 2
            5x         4
                                             4
                   4                   C.S
            x                                5
                   5
                                                 Ejercicios
Funciones Exponenciales
                                     x
                x2            2
  5. 16
                             64
       4   x2            5       x
   2                 2
                                                       5
           2
                                         C.S. =   0,
      4x             5x                                4

  4 x2          5x       0
  x 4x 5                     0
  x        0         4x 5            0
                                 5
                     x
                                 4                         Ejercicios
Funciones Exponenciales

                6 x 10                 x 1
            2                  3
   6.                                         7x      11
            3                  2
                                        x 1        11
            6 x 10                 1          x
        2                  2                        7
        3                  3
                                                           11
                                              C.S.=
        6x 10             x 1                              7

        6x x             1 10


                                                                Ejercicios
Funciones Exponenciales
                       x 2
          4x 2    1
   7. e
                  e
    4x 2         x 2
                              4x 2 x 2
    4x 2 x 2
                               4x 2 x 2
    4x x 2 2
                              4x   x   2 2
          3x 0
                               5x 4
           x 0                   4
                               x
                          4      5
                 C.S.= 0,
                          5
                                             Ejercicios
Funciones Exponenciales
             x2 2 x           x2 5
   8. 4                   2
        2 x2 2 x              x2 5
    2                     2
         2                    2
    2x          4x        x          5
         2            2
    2x x 4x 5 0
     2
    x 4x 5 0
     x 5 x 1                         0
    x 5 0 x 1 0                          C.S.   5, 1
     x 5 x 1
                                                       Ejercicios
Funciones ExponencialesLAS FUNCIONES EXPONENCIALES
  APLICACIONES DE
  LAS FUNCIONES EXPONENCIALES TIENEN MUCHAS
  APLICACIONES EN CIENCIAS, MATEMÁTICAS, COMERCIO Y
  EN OTRAS DISCIPLINAS. VEREMOS AQUÍ ALGUNAS DE
  ESAS APLICACIONES.

   1. Fórmula de interés compuesto
              r nt
      A   P 1
              m
      A es la cantidad acumulada o valor futuro
      P es el principal de la inversión
      r es la tasa de interés anual
      n es el número de periódos de tiempo por año
      t es el número años
Funciones Exponenciales
   2. Fórmula de interés continuo
     A   Pe it
     A es la cantidad acumulada o valor futuro
     P es el principal de la inversión
     i es el interés anual
     t es el número de años de la inversión

   3. Fórmula de crecimiento y decaimiento exponencial
     A t     A0e kt
     A es la cantidad acumulada luego de un tiempo t
     A0 es la cantidad inicial
     k es la constante de crecimiento o decaimiento,
     t es el tiempo
     Si k 0 hay crecimiento o aumento en el valor de A,
      si k 0 elvalor de A decae o decrece.
Funciones Exponenciales
   4. Fórmula de enfriamiento de Newton
       u t   T       u0 T e kt ,   k   0

      u es la temperatura del objeto en un tiempo t
      T es la temperatura del medioambiente
      u0 es la temperatura inicial del objeto
      t es el tiempo
      k es una constante negativa

   5. Fórmula de crecimiento logístico
                 c
     P t
             1 ae bt
     P es la población en un tiempo t
     a , b, c son constantes, c 0, b 0
     t es el tiempo en años
     c es la capacidad de crecimiento pues lim P t    c
                                             t
Funciones Exponenciales
 Resuelve el ejercicio.
 1) Una muestra de 700 gramos de plomo 210 decae a polonio 210 de acuerdo a la
 siguiente función, A(t) = 700e-0.032t, donde t es el tiempo en años. Encuentra la
 cantidad de plomo 210 en la muestra luego de 60 años. (redondea a gramos)
 A) 103g                 B) 64g             C) 4775g                   D) 75g

 2) Una muestra de 900 gramos de plomo 210 decae a polonio 210 de acuerdo a la
 siguiente función, A(t) = 900e-0.032t, donde t es el tiempo en años. Encuentra la
 cantidad de plomo 210 en la muestra luego de 100 años. (redondea a gramos)
 A) 37g                 B) 56g              C) 22,079 g                D) 27g

 3) Desde 1950, el crecimiento de la población mundial en millones de personas puede
 ser aproximada por la función exponencial A(t) = 2600e0.018t, donde t es el número de
 años desde 1950. Estima la población en el año 2003 al millón más cercano.
 A) 6,629 millones             B) 6,872 millones
 C) 6,750 millones             D) 36,152,864 millones

 4) Desde 1950, el crecimiento de la población mundial en millones de personas puede
 ser aproximada por la función exponencial A(t) = 2600e0.018t, donde t es el número de
 años desde 1950. Estima la población en el año 2015 al millón más cercano.
 A) 8,228 millones B) 8,529 millones C) 8,377 millones D) 313,486,458 millones
Funciones Exponenciales
 Encuentra el valor futuro de un principal P invertido durante m años a una tasa
 de interés nominal anual r y compuesto como se indica. Redondea a dos lugares
 decimales.
 5) P = $1,000, m = 10, r = 7% compuesto anual
 A) $1,967.15           B) $1,838.46            C) $2,104.85            D) $967.15

 6) P = $1,000, m = 4, r = 9% compuesto semianual
 A) $422.1              B) $1,411.58          C) $1,360.86              D) $1,422.10

 7) P = $480, m = 2, r = 17% compuesto trimestralmente
 A) $189.65             B) $642.35            C) $669.65                D) $657.07

 8) P = $12,000, m = 8, r = 8% compuesto trimestralmente
 A) $22,171.07          B) $22,211.16        C) $10,614.49              D) $22,614.49

 Encuentra el valor presente de una cantidad A compuesto a una tasa de interés r por t
 años. Redondea a centavos.
 9) A = $5,600, t = 3, r = 8% compuesto anual
 A) $7,938.32            B) $1,154.54         C) $4,445.46            D) $4,801.10

 10) A = $10,500, t = 3, r = 4% compuesto semianual
 A) $8,889.96            B) $9,707.84        C) $1,165.54              D) $9,334.46
11) A = $6,500, t = 8, r = 13% compuesto trimestral
A) $2,445.04            B) $2,411.69         C) $2,335.78           D) $4,164.22

12) A = $10,000, t = 4, r = 18% compuesto mensual
A) $4,893.62           B) $2,500.00         C) $8,363.87             D) $11,956.18

Resuelve el ejercicio.
13) La media vida del silicón-32 es 710 años. Si tenemos una muestra de 30 gramos. ¿Qué
cantidad habrá luego 300 años?
A) 22.383              B) 0                   C) 29.134              D) 1.604

14) La media vida del silicón-32 es 710 años. Si tenemos una muestra de 40 gramos. ¿ Qué
cantidad habrá luego 300 años?
A) 29.845            B)0                     C) 38.845               D)2.138

15) Un tronco fosilizado contiene un 28% de la cantidad normal de
carbono-14. ¿ Qué edad en años tiene el fósil? Use 5600 años como la media vida del
carbono 14.
A) 26,873             B)2649                 C) 34,489               D) 10,266

16) Un tronco fosilizado contiene un 30% de la cantidad normal de
carbono- 14. ¿ Qué edad en años tiene el fósil? Use 5600 años como la media vida del
carbono-14.
A) 27,429             B)2876                  C) 34,262              D)9709
17) Un tronco fosilizado contiene un 13% de la cantidad normal de
carbono-14. ¿ Qué edad en años tiene el fósil? Use 5600 años como la media vida del
carbono 14.
A) 20,685             B) 1123                 C) 36,015               D) 16,453

18) Un termómetro con una lectura de 11 C se ubica en un salón con una temperatura
constante de 20 C. Si el termómetro tiene una lectura de 17 C luego de 6 minutos,
encuentra la lectura del termómetro luego de estar en el salón durante 10 minutos.
A) 7.91 C             B) 18.56 C             C) 21.44 C                 D) 20 C

19) Un termómetro con una lectura de 13 C se ubica en un salón con una temperatura
constante de 20 C. Si el termómetro tiene una lectura de 18 C luego de 6 minutos,
encuentra la lectura del termómetro luego de estar en el salón durante 9 minutos.
A) 11.350C            B) 18.93 C             C) 21.07 C                 D) 20 C

20) Un carnicero guarda una carne cuya temperatura es de 98 F colocándola en una
nevera con una temperatura constante de 35 F. Si la temperatura de la carne bajó a 91 F
en 5 minutos, ¿ Cuánto tiempo le tomará a la carne alcanzar una temperatura de 52 F?
Ley de enfriamiento de Newton:
U = T + (U0 – T)ekt : T = Ta + (T0 - Ta)ekt.
A) 18 minutos          B) 56 minutos         C) 3 minutos           D) 16 minutos
930
21) La ecuación de crecimiento logístico P(t) =
                                                1 30e 0.348t
modela la población de cierto tipo de bacterias en un plato de cultivo luego de t horas.
¿Cuánto tardará en que el número de bacterias sea de 620?
A) 2.86 horas     B) 11.77 horas       C) 8.61 horas              D) 6.02 horas


                                                   240
22) La ecuación de crecimiento logístico P(t) =
                                                1 59e 0.189t
representa la población de una especie introducida en un nuevo territorio luego de t
años. Encuentra la población luego de 20 años de introducida la especie.
A) 178                B) 102              C) 240                   D) 113
Resuelve el ejercicio. Redondea a tres lugares.

23) Encuentra la tasa de interés anual que se requiere para duplicar una
inversión en 4 años.
A) 18.921%          B) 17.329%               C)9.46%               D)31.607%

24) Encuentra el tiempo que se requiere para duplicar una inversión si la tasa de
interés es de 5.25% compuesto continuo.
A) 14.114 años      B) 20.926 años         C) 6.601 años       D) 13.203 años

25) Encuentra el tiempo que se requiere para triplicar una inversión si la tasa de
interés es de 7.25% compuesto continuo.
A) 16.362 años      B) 9.561 años        C)7.577años            D) 15.153 años
Funciones Exponenciales

  Post-prueba
                            B. Resuelve las siguientes
  A. Traza la gráfica las
                            de ecuaciones exponenciales
  siguientes de funciones
  exponenciales              1. 23 x     6
                                                 2x   3


    1. f ( x ) 2 x                   4x 2             x 4
    2. f ( x) 5 x             2. 3               3
                       x
                 1                   x       x 1
    3. f ( x )                3. 9           3
                 3
                 x 1
    4. f ( x) 3
    5. f ( x ) e x
Funciones Exponenciales
 Respuestas de la pre y post- prueba
                   x
 A 1. f ( x)   2                                         y
                                                    9
   x    f(x)                                        8
                                                    7
                                                    6
    0    1                                          5
                                                    4

    1    2                                          3
                                                    2
                                                    1
    2    4                                                                                       x
                       -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1        1   2   3   4   5   6   7   8   9 10 11
                                                    -1
    3    8                                         -2
                                                   -3
         1
    1                                              -4
                                                   -5
         2                                         -6
    2    1                                         -7
         4                                         -8
                                                   -9
Funciones Exponenciales
A 2. f ( x) 5 x
                          y


 x    f(x)

  0    1

  1    5                      x


  2 25
       1
  1    5
      1
  2
      25
Funciones Exponenciales
               x
             1
 A 3. f ( x)
             3
                          y

   x    f(x)

    0    1
         1
    1    3
         1
    2    9
                              x


    1    3
    2    9
Funciones Exponenciales
A 4. f ( x) 3x 1

 x       f(x)
          1
     0    3

     1    1
     2    3
          1
     1    9
 3       9
Funciones Exponenciales
  A 5. f ( x) e x , e 2.71
                             y


  x    f(x)

   0    1

  1     e
                                 x
         2
   2 e
        1
   1    e
     1
   2 2
     e
Funciones Exponenciales

                                     3
B 1. 2   3x 6
                     2    x 3    x
                                     2


                                       2
 B 2. 3   4x 2
                      3    x 4   x
                                       5

          x         x 1
 B 3. 9         3                x 1
Funciones exponenciales
DEFINICIÓN
    La función f definida por:
               f x   bx , b 0 y b 1
    Se llama función exponencial con base b.
GRÁFICA
               x
     f x   2                     f(x)


x    2x                      8

                             7

-2   ¼                       6


-1   ½                       5

                             4
0    1                       3

1    2                       2

                             1
2    4                                              x
                   -2   -1              1   2   3

3    8
GRÁFICA
             x
         1                          f(x)
f x
         2
                                8

x     (½)x                      7

                                6
-3    8                         5

-2    4                         4


-1    2                         3

                                2

0     1                         1


1     ½          -3   -2   -1              1   2   3
                                                       x


2     ¼
EN GENERAL:


        Si b > 1                                   Si 0 < b < 1
    f(x)                                        f(x)
                    f x     bx




                                     x                               x


                       x1            x2
Si x1      x2      b             b             Si x1   x2    b x1   b x2

                   Dom f                  R
                   Ran f                  0,
FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL:

Es la función exponencial cuya base es igual a
“e”, donde e = 2.71828… f(x)
                               8

x    ex                        7


-2   0.14                      6

                               5
-1   0.37                      4

0    1                         3

                               2
1    2.72                      1

2    7.39            -2   -1       1   2   3
                                               x


3    20.01
Función Logarítmica: Introducción
    PREGUNTA DE REFLEXIÓN

   ¿A qué exponente debe elevarse 10 para
    producir los números:
    a. 1000 ?
    b. 0,001 ?
    c. -1000 ?
    d. 50 ?
LOGARITMO COMÚN (EN BASE 10)

    y = log x significa 10y = x

Ejemplos:
log 1= 0, Porque 100=1
log 0,01 = -2, Porque 10-2=0,01
log 10 = ½ , Porque 101/2 = 10
LOGARITMO NATURAL COMÚN (BASE E)


       y = ln x significa ey = x
 Ejemplos:
 ln 1= 0,         Porque e0=1
 ln 10 = 2,3025… Porque e2,3025…=10
 ln ek = k ,       Porque ek = k
LOGARITMO EN BASE “A”

      y = loga x significa ay = x

    donde   a: base
             y: exponente
FORMA
EXPONENCIAL      LOGARÍTMICA


 •32 = 9         •log3 9 = 2
 •4-3 = 1/64     •log4 (1/64) = -3
 •(1/5)-2 = 25   •log1/5 25 = -2
 •103 = 1000     •log 1000 = 3
 •e0 = 1         •ln 1 = 0
FUNCIÓN LOGARITMO
La función logaritmo de base a, donde      a>0y
a 1, se define como:

               f(x) = logax

 Observación:
 1. Si x1 x2 , entonces loga x1 loga x2
 2. Si loga x1= loga x2, entonces x1= x2
GRÁFICAS DE Y = 2X, Y = LOG2 X

 x   y                         y = 2x

1/4 -2
1/2 -1
                 2
                 1             . . y = log 2x
 1   0           1/2
                           .
 2
 4
     1
     2
                 -1    .
                 0 1/2 1       2        4

                 -2
GRÁFICAS DE Y = EX, Y = LNX
                 y




     y




             x




                              x
GRÁFICA DE Y = LOG1/2 X


x     y
1/4    2
           y = (1/2)x   2
1/2    1
                        1     .       y = log1/2x
1
2
       0
      -1
                        1/2
                                  .
4     -2
                        0 1/2 1
                        -1            . .
                                      2        4

                        -2
GRÁFICA DE Y = LOGAX PARA A >1


           y = bx           De la gráfica:
                            loga1 = 0
   b
                            logaa = 1
   1           y = log bx
                            loga0 no definido
       1   b                logax < 0 si x<1
                            logax > 0 si x>1
                            Es creciente
FUNCIÓN EXPONENCIAL
1.   Graficar: y = e-x
2.   Graficar: y = ex+2
3.   Graficar: y = ex + 3


4. La población proyectada P de una ciudad
                                         0.05t
     está dada por:         P 100,000e
     Donde t es el número de años después
     de 1990. Pronosticar la población para el
     año 2010.
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Graficar las siguientes funciones, indicando su
dominio y rango:
    1. y = ln(x-3)
    2. y = ln(-x)
    3. y = ln(x+1) – 2
    4. y = -ln(x+3) + 1

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Funciones exponenciales

  • 2. JUSTIFICACIÓN Las funciones exponenciales son una de las familias de funciones más importantes en las matemáticas por la gran cantidad de aplicaciones que tienen..
  • 3. Funciones Exponenciales Pre-prueba A. Traza la gráfica las B. Resuelve las siguientes siguientes de funciones de ecuaciones exponenciales exponenciales 1. f ( x ) 2 x 1. 23 x 6 2x 3 x 2. f ( x) 5 1 x 2. 34 x 2 3 x 4 3. f ( x ) 3 3. 9x 3x 1 4. f ( x) 3x 1 5. f ( x ) e x
  • 4. Funciones Exponenciales Definición de una función exponencial •Sea b 0 y b 1 un número real. A una función de la forma f ( x) b x b. •La x puede asumir cualquier valor real por lo que el dominio de las funciones exponenciales es el conjunto de los números reales, R , . •Como la b 0 y b 1 los resultados al evaluar las funciones exponenciales son números positivos por lo tanto el alcance será, A 0, . •Si b 1 la función será f ( x) 1 una función constante, que no es exponencial.
  • 5. Funciones Exponenciales “Estas funciones se conocen como funciones exponenciales porque el exponente es variable.” Ejemplos de funciones exponenciales 1. f ( x) 3x 2. f ( x) 4 x x 2 3. f ( x) 3 4. f ( x) 5 x x 5. f ( x) 10
  • 6. Funciones Exponenciales Gráficas de funciones exponenciales Ejemplos: Traza la gráfica de las siguientes funciones exponenciales. 1. f ( x) 3x Solución 2. f ( x) 2 x Solución x 1 3. f ( x) Solución 2 x 2 4. f ( x) Solución 3 5. f ( x) 10 x Solución
  • 7. Funciones Exponenciales 1. f ( x) 3x 9 y 8 7 6 x f(x) 5 4 3 0 1 2 1 1 3 x -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -1 2 9 -2 -3 1 -4 1 3 -5 -6 1 2 9 -7 -8 -9 -10 Observe el dominio y el alcance en la gráfica. Observe también que si los valores de x tienden a menos infinito, x , los valores de la función tienden a 0. Ejercicios
  • 8. Funciones Exponenciales x 2. f ( x) 2 y 9 x f(x) 8 7 6 0 1 5 4 1 2 3 2 1 2 4 x -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -1 3 8 -2 -3 1 1 -4 -5 2 -6 2 1 -7 4 -8 -9 Ejercicios -10
  • 9. Funciones Exponenciales x 1 3. f ( x) y 2 9 8 x f(x) 7 6 5 0 1 4 3 1 1 2 2 1 x 1 2 4 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -2 1 2 -3 -4 -5 2 4 -6 -7 -8 -9 Ejercicios -10
  • 10. Funciones Exponenciales x 2 4. f ( x) 3 9 x f(x) 8 7 6 0 1 5 4 2 3 1 3 2 1 4 2 9 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -1 1 3 -2 -3 2 -4 2 9 -5 -6 4 -7 -8 Ejercicios -9 -10
  • 11. Funciones Exponenciales x 5. f ( x) 10 9 8 7 x f(x) 6 5 4 0 1 3 2 1 1 1 10 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 -1 2 100 -2 -3 -4 1 10 -5 -6 2 100 -7 -8 -9 -10 Ejercicios
  • 12. Funciones Exponenciales Resumen de las propiedades de las funciones exponenciales 1. Las funciones exponenciales pasan por el punto (0,1). 2. Si b > 0 la función es creciente. 3. Si b < 0 la función es decreciente. 4. El eje de x es una asíntota horizontal. 5. El dominio es el conjunto de los números reales. 6. El alcance es el conjunto de números reales positivos. 7. Las funciones exponenciales son uno a uno.
  • 13. Funciones Exponenciales Transformaciones de las funciones exponenciales Al igual que las funciones estudiadas anteriormente podemos transformar las funciones exponenciales variando sus parámetros (números) para producir traslaciones, reflexiones, estiramientos y contracciones. Las funciones que resultan de estas transformaciones se conocen como funciones de forma exponencial. Veremos algunos ejemplos a continuación.
  • 14. Funciones Exponenciales Transformaciones de las funciones exponenciales Traza la gráfica de las siguientes funciones. 1. f ( x) 3x 2 Solución x 1 2. f ( x) 2 Solución x 1 3. f ( x) 2 Solución 2 x 2 4. f ( x) .5 Solución 3 x 1 5. f ( x) 2 2 Solución 6. f ( x) 2 x 2 Solución
  • 15. Funciones Exponenciales 1. f ( x) 3x 2 9 8 f ( x) 3x 2 x f(x) 7 6 5 f ( x) 3x 0 3 4 3 1 5 2 1 2 11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -2 1 1 2 3 -3 -4 1 -5 2 2 9 -6 -7 -8 -9 -10 Ejercicios
  • 16. Funciones Exponenciales x 1 2. f ( x) 2 9 8 x f(x) 7 6 1 5 0 2 4 3 2 1 1 1 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 2 -1 -2 -3 3 4 -4 -5 1 1 -6 4 -7 2 1 -8 -9 8 -10 Ejercicios
  • 17. Funciones Exponenciales x 1 3. f ( x) 2 8 f(x) 2 7 x f(x) 6 5 4 0 2 3 2 1 1 1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x -1 2 1 -2 2 -3 3 1 4 -4 -5 -6 1 4 -7 -8 2 8 -9 Ejercicios
  • 18. Funciones Exponenciales x 2 4. f ( x) .5 8 8 f(x) f(x) 3 7 7 x f(x) 6 6 5 1 4 0 2 3 2 1 1 1 3 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 xx 2 2 -1 9 -2 1 3 -3 4 -4 -5 2 9 8 -6 -6 -7 -7 3 27 -8 -8 16 -9 -9 Ejercicios
  • 19. Funciones Exponenciales x 1 5. f ( x) 2 2 f(x) 8 7 x f(x) 6 5 5 4 0 2 3 2 9 1 4 1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 17 -1 2 8 -2 -3 1 3 -4 -5 2 4 -6 -7 3 6 -8 -9 Ejercicios
  • 20. Funciones Exponenciales x 2 6. f ( x) 2 2 2 4 1 1 a. f ( 2) 2 2 x y 24 16 -2 1/16 1 2 3 1 1 b. f ( 1) 2 2 3 -1 1/8 2 8 0 1/4 2 1 1 c. f (0) 20 2 2 1 1/2 22 4 1 1 2 1 1 2 1 d . f (1) 2 2 1 3 2 2 2 2 2 0 e. f (2) 2 2 1 3 2 f . f (3) 2 21 2 Ejercicios
  • 21. x 2 f ( x) 2 4 x y 3 -2 1/16 2 -1 1/8 1 0 1/4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 1 1/2 -1 2 1 -2 3 2 -3 4 3 -4 Ejercicios
  • 22. Funciones Exponenciales RESOLVER ECUACIONES EXPONENCIALES IGUALANDO LAS BASES. LAS FUNCIONES EXPONENCIALES SON FUNCIONES UNO A UNO, POR x y LO TANTO a a SI Y SOLO SI X = Y . ESTA PROPIEDAD NOS PERMITE RESOLVER ECUACIONES EXPONENCIALES IGUALANDO LAS BASES. O SEA SI LAS BASES SON IGUALES ENTONCES LOS EXPONENTES SON IGUALES. Ejemplos: Resuelve las siguientes ecuaciones. 3x 8 x 2 Solución 1. 2 2 4x 6 x 2. 3 3 Solución x x 1 3. 27 3 Solución
  • 23. Funciones Exponenciales 4x 2 1 4. 2x 2 Solución 2 x x 2 2 5. 16 Solución 64 6 x 10 x 1 2 3 6. Solución 3 2 x 2 4x 2 1 Solución 7. e e x2 2 x x2 5 Solución 8. 4 2
  • 24. Funciones Exponenciales 3x 8 x 2 1. 2 2 Verificación 33 8 3 2 3x 8 x 2 2 2 9 8 1 3x x 2 8 2 2 2x 6 2 2 x 3 C.S 3 Ejercicios
  • 25. Funciones Exponenciales 4x 6 x 2. 3 3 Verificación 6 6 4 6 4x 6 x 3 5 3 5 4x x 6 24 30 6 5 5 5 3 3 5x 6 6 6 6 3 5 3 5 x 5 6 C.S 5 Ejercicios
  • 26. Funciones Exponenciales x x 1 3. 27 3 Verificación 1 1 3 x x 1 1 3 3 27 2 3 2 1 3 3x x 1 3 2 2 3 3 2x 1 3 3 2 2 1 3 3 x 2 1 C.S 2 Ejercicios
  • 27. Funciones Exponenciales 4x 2 1 x 2 4. 2 2 1 4x 2 x 2 2 2 4x 2 x 2 2 2 4x 2 x 2 5x 4 4 4 C.S x 5 5 Ejercicios
  • 28. Funciones Exponenciales x x2 2 5. 16 64 4 x2 5 x 2 2 5 2 C.S. = 0, 4x 5x 4 4 x2 5x 0 x 4x 5 0 x 0 4x 5 0 5 x 4 Ejercicios
  • 29. Funciones Exponenciales 6 x 10 x 1 2 3 6. 7x 11 3 2 x 1 11 6 x 10 1 x 2 2 7 3 3 11 C.S.= 6x 10 x 1 7 6x x 1 10 Ejercicios
  • 30. Funciones Exponenciales x 2 4x 2 1 7. e e 4x 2 x 2 4x 2 x 2 4x 2 x 2 4x 2 x 2 4x x 2 2 4x x 2 2 3x 0 5x 4 x 0 4 x 4 5 C.S.= 0, 5 Ejercicios
  • 31. Funciones Exponenciales x2 2 x x2 5 8. 4 2 2 x2 2 x x2 5 2 2 2 2 2x 4x x 5 2 2 2x x 4x 5 0 2 x 4x 5 0 x 5 x 1 0 x 5 0 x 1 0 C.S. 5, 1 x 5 x 1 Ejercicios
  • 32. Funciones ExponencialesLAS FUNCIONES EXPONENCIALES APLICACIONES DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES TIENEN MUCHAS APLICACIONES EN CIENCIAS, MATEMÁTICAS, COMERCIO Y EN OTRAS DISCIPLINAS. VEREMOS AQUÍ ALGUNAS DE ESAS APLICACIONES. 1. Fórmula de interés compuesto r nt A P 1 m A es la cantidad acumulada o valor futuro P es el principal de la inversión r es la tasa de interés anual n es el número de periódos de tiempo por año t es el número años
  • 33. Funciones Exponenciales 2. Fórmula de interés continuo A Pe it A es la cantidad acumulada o valor futuro P es el principal de la inversión i es el interés anual t es el número de años de la inversión 3. Fórmula de crecimiento y decaimiento exponencial A t A0e kt A es la cantidad acumulada luego de un tiempo t A0 es la cantidad inicial k es la constante de crecimiento o decaimiento, t es el tiempo Si k 0 hay crecimiento o aumento en el valor de A, si k 0 elvalor de A decae o decrece.
  • 34. Funciones Exponenciales 4. Fórmula de enfriamiento de Newton u t T u0 T e kt , k 0 u es la temperatura del objeto en un tiempo t T es la temperatura del medioambiente u0 es la temperatura inicial del objeto t es el tiempo k es una constante negativa 5. Fórmula de crecimiento logístico c P t 1 ae bt P es la población en un tiempo t a , b, c son constantes, c 0, b 0 t es el tiempo en años c es la capacidad de crecimiento pues lim P t c t
  • 35. Funciones Exponenciales Resuelve el ejercicio. 1) Una muestra de 700 gramos de plomo 210 decae a polonio 210 de acuerdo a la siguiente función, A(t) = 700e-0.032t, donde t es el tiempo en años. Encuentra la cantidad de plomo 210 en la muestra luego de 60 años. (redondea a gramos) A) 103g B) 64g C) 4775g D) 75g 2) Una muestra de 900 gramos de plomo 210 decae a polonio 210 de acuerdo a la siguiente función, A(t) = 900e-0.032t, donde t es el tiempo en años. Encuentra la cantidad de plomo 210 en la muestra luego de 100 años. (redondea a gramos) A) 37g B) 56g C) 22,079 g D) 27g 3) Desde 1950, el crecimiento de la población mundial en millones de personas puede ser aproximada por la función exponencial A(t) = 2600e0.018t, donde t es el número de años desde 1950. Estima la población en el año 2003 al millón más cercano. A) 6,629 millones B) 6,872 millones C) 6,750 millones D) 36,152,864 millones 4) Desde 1950, el crecimiento de la población mundial en millones de personas puede ser aproximada por la función exponencial A(t) = 2600e0.018t, donde t es el número de años desde 1950. Estima la población en el año 2015 al millón más cercano. A) 8,228 millones B) 8,529 millones C) 8,377 millones D) 313,486,458 millones
  • 36. Funciones Exponenciales Encuentra el valor futuro de un principal P invertido durante m años a una tasa de interés nominal anual r y compuesto como se indica. Redondea a dos lugares decimales. 5) P = $1,000, m = 10, r = 7% compuesto anual A) $1,967.15 B) $1,838.46 C) $2,104.85 D) $967.15 6) P = $1,000, m = 4, r = 9% compuesto semianual A) $422.1 B) $1,411.58 C) $1,360.86 D) $1,422.10 7) P = $480, m = 2, r = 17% compuesto trimestralmente A) $189.65 B) $642.35 C) $669.65 D) $657.07 8) P = $12,000, m = 8, r = 8% compuesto trimestralmente A) $22,171.07 B) $22,211.16 C) $10,614.49 D) $22,614.49 Encuentra el valor presente de una cantidad A compuesto a una tasa de interés r por t años. Redondea a centavos. 9) A = $5,600, t = 3, r = 8% compuesto anual A) $7,938.32 B) $1,154.54 C) $4,445.46 D) $4,801.10 10) A = $10,500, t = 3, r = 4% compuesto semianual A) $8,889.96 B) $9,707.84 C) $1,165.54 D) $9,334.46
  • 37. 11) A = $6,500, t = 8, r = 13% compuesto trimestral A) $2,445.04 B) $2,411.69 C) $2,335.78 D) $4,164.22 12) A = $10,000, t = 4, r = 18% compuesto mensual A) $4,893.62 B) $2,500.00 C) $8,363.87 D) $11,956.18 Resuelve el ejercicio. 13) La media vida del silicón-32 es 710 años. Si tenemos una muestra de 30 gramos. ¿Qué cantidad habrá luego 300 años? A) 22.383 B) 0 C) 29.134 D) 1.604 14) La media vida del silicón-32 es 710 años. Si tenemos una muestra de 40 gramos. ¿ Qué cantidad habrá luego 300 años? A) 29.845 B)0 C) 38.845 D)2.138 15) Un tronco fosilizado contiene un 28% de la cantidad normal de carbono-14. ¿ Qué edad en años tiene el fósil? Use 5600 años como la media vida del carbono 14. A) 26,873 B)2649 C) 34,489 D) 10,266 16) Un tronco fosilizado contiene un 30% de la cantidad normal de carbono- 14. ¿ Qué edad en años tiene el fósil? Use 5600 años como la media vida del carbono-14. A) 27,429 B)2876 C) 34,262 D)9709
  • 38. 17) Un tronco fosilizado contiene un 13% de la cantidad normal de carbono-14. ¿ Qué edad en años tiene el fósil? Use 5600 años como la media vida del carbono 14. A) 20,685 B) 1123 C) 36,015 D) 16,453 18) Un termómetro con una lectura de 11 C se ubica en un salón con una temperatura constante de 20 C. Si el termómetro tiene una lectura de 17 C luego de 6 minutos, encuentra la lectura del termómetro luego de estar en el salón durante 10 minutos. A) 7.91 C B) 18.56 C C) 21.44 C D) 20 C 19) Un termómetro con una lectura de 13 C se ubica en un salón con una temperatura constante de 20 C. Si el termómetro tiene una lectura de 18 C luego de 6 minutos, encuentra la lectura del termómetro luego de estar en el salón durante 9 minutos. A) 11.350C B) 18.93 C C) 21.07 C D) 20 C 20) Un carnicero guarda una carne cuya temperatura es de 98 F colocándola en una nevera con una temperatura constante de 35 F. Si la temperatura de la carne bajó a 91 F en 5 minutos, ¿ Cuánto tiempo le tomará a la carne alcanzar una temperatura de 52 F? Ley de enfriamiento de Newton: U = T + (U0 – T)ekt : T = Ta + (T0 - Ta)ekt. A) 18 minutos B) 56 minutos C) 3 minutos D) 16 minutos
  • 39. 930 21) La ecuación de crecimiento logístico P(t) = 1 30e 0.348t modela la población de cierto tipo de bacterias en un plato de cultivo luego de t horas. ¿Cuánto tardará en que el número de bacterias sea de 620? A) 2.86 horas B) 11.77 horas C) 8.61 horas D) 6.02 horas 240 22) La ecuación de crecimiento logístico P(t) = 1 59e 0.189t representa la población de una especie introducida en un nuevo territorio luego de t años. Encuentra la población luego de 20 años de introducida la especie. A) 178 B) 102 C) 240 D) 113
  • 40. Resuelve el ejercicio. Redondea a tres lugares. 23) Encuentra la tasa de interés anual que se requiere para duplicar una inversión en 4 años. A) 18.921% B) 17.329% C)9.46% D)31.607% 24) Encuentra el tiempo que se requiere para duplicar una inversión si la tasa de interés es de 5.25% compuesto continuo. A) 14.114 años B) 20.926 años C) 6.601 años D) 13.203 años 25) Encuentra el tiempo que se requiere para triplicar una inversión si la tasa de interés es de 7.25% compuesto continuo. A) 16.362 años B) 9.561 años C)7.577años D) 15.153 años
  • 41. Funciones Exponenciales Post-prueba B. Resuelve las siguientes A. Traza la gráfica las de ecuaciones exponenciales siguientes de funciones exponenciales 1. 23 x 6 2x 3 1. f ( x ) 2 x 4x 2 x 4 2. f ( x) 5 x 2. 3 3 x 1 x x 1 3. f ( x ) 3. 9 3 3 x 1 4. f ( x) 3 5. f ( x ) e x
  • 42. Funciones Exponenciales Respuestas de la pre y post- prueba x A 1. f ( x) 2 y 9 x f(x) 8 7 6 0 1 5 4 1 2 3 2 1 2 4 x -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -1 3 8 -2 -3 1 1 -4 -5 2 -6 2 1 -7 4 -8 -9
  • 43. Funciones Exponenciales A 2. f ( x) 5 x y x f(x) 0 1 1 5 x 2 25 1 1 5 1 2 25
  • 44. Funciones Exponenciales x 1 A 3. f ( x) 3 y x f(x) 0 1 1 1 3 1 2 9 x 1 3 2 9
  • 45. Funciones Exponenciales A 4. f ( x) 3x 1 x f(x) 1 0 3 1 1 2 3 1 1 9 3 9
  • 46. Funciones Exponenciales A 5. f ( x) e x , e 2.71 y x f(x) 0 1 1 e x 2 2 e 1 1 e 1 2 2 e
  • 47. Funciones Exponenciales 3 B 1. 2 3x 6 2 x 3 x 2 2 B 2. 3 4x 2 3 x 4 x 5 x x 1 B 3. 9 3 x 1
  • 49. DEFINICIÓN La función f definida por: f x bx , b 0 y b 1 Se llama función exponencial con base b.
  • 50. GRÁFICA x f x 2 f(x) x 2x 8 7 -2 ¼ 6 -1 ½ 5 4 0 1 3 1 2 2 1 2 4 x -2 -1 1 2 3 3 8
  • 51. GRÁFICA x 1 f(x) f x 2 8 x (½)x 7 6 -3 8 5 -2 4 4 -1 2 3 2 0 1 1 1 ½ -3 -2 -1 1 2 3 x 2 ¼
  • 52. EN GENERAL: Si b > 1 Si 0 < b < 1 f(x) f(x) f x bx x x x1 x2 Si x1 x2 b b Si x1 x2 b x1 b x2 Dom f R Ran f 0,
  • 53. FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL: Es la función exponencial cuya base es igual a “e”, donde e = 2.71828… f(x) 8 x ex 7 -2 0.14 6 5 -1 0.37 4 0 1 3 2 1 2.72 1 2 7.39 -2 -1 1 2 3 x 3 20.01
  • 54. Función Logarítmica: Introducción PREGUNTA DE REFLEXIÓN  ¿A qué exponente debe elevarse 10 para producir los números: a. 1000 ? b. 0,001 ? c. -1000 ? d. 50 ?
  • 55. LOGARITMO COMÚN (EN BASE 10) y = log x significa 10y = x Ejemplos: log 1= 0, Porque 100=1 log 0,01 = -2, Porque 10-2=0,01 log 10 = ½ , Porque 101/2 = 10
  • 56. LOGARITMO NATURAL COMÚN (BASE E) y = ln x significa ey = x Ejemplos: ln 1= 0, Porque e0=1 ln 10 = 2,3025… Porque e2,3025…=10 ln ek = k , Porque ek = k
  • 57. LOGARITMO EN BASE “A” y = loga x significa ay = x  donde a: base y: exponente
  • 58. FORMA EXPONENCIAL LOGARÍTMICA •32 = 9 •log3 9 = 2 •4-3 = 1/64 •log4 (1/64) = -3 •(1/5)-2 = 25 •log1/5 25 = -2 •103 = 1000 •log 1000 = 3 •e0 = 1 •ln 1 = 0
  • 59. FUNCIÓN LOGARITMO La función logaritmo de base a, donde a>0y a 1, se define como: f(x) = logax Observación: 1. Si x1 x2 , entonces loga x1 loga x2 2. Si loga x1= loga x2, entonces x1= x2
  • 60. GRÁFICAS DE Y = 2X, Y = LOG2 X x y y = 2x 1/4 -2 1/2 -1 2 1 . . y = log 2x 1 0 1/2 . 2 4 1 2 -1 . 0 1/2 1 2 4 -2
  • 61. GRÁFICAS DE Y = EX, Y = LNX y y x x
  • 62. GRÁFICA DE Y = LOG1/2 X x y 1/4 2 y = (1/2)x 2 1/2 1 1 . y = log1/2x 1 2 0 -1 1/2 . 4 -2 0 1/2 1 -1 . . 2 4 -2
  • 63. GRÁFICA DE Y = LOGAX PARA A >1 y = bx De la gráfica: loga1 = 0 b logaa = 1 1 y = log bx loga0 no definido 1 b logax < 0 si x<1 logax > 0 si x>1 Es creciente
  • 64. FUNCIÓN EXPONENCIAL 1. Graficar: y = e-x 2. Graficar: y = ex+2 3. Graficar: y = ex + 3 4. La población proyectada P de una ciudad 0.05t está dada por: P 100,000e Donde t es el número de años después de 1990. Pronosticar la población para el año 2010.
  • 65. FUNCIÓN LOGARÍTMICA Graficar las siguientes funciones, indicando su dominio y rango: 1. y = ln(x-3) 2. y = ln(-x) 3. y = ln(x+1) – 2 4. y = -ln(x+3) + 1