Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones y relaciones matemáticas. Explica que una función es una relación donde a cada valor del dominio le corresponde exactamente un valor del codominio. También define conceptos como dominio, recorrido, pendiente y representación gráfica de funciones lineales. Por último, introduce conceptos de análisis de regresión y correlación para analizar la relación entre variables.

1. Matemática Básica
UNIDAD 3
Funciones
Profesor Ociel López Jara

2. Matemática Básica
Relaciones
Uno de los aspectos más importantes en cualquier
ciencia es establecer correspondencias entre
diversos tipos de fenómenos.
Una vez que se conoce una correspondencia se
pueden calcular valores para una variable,
conocida la otra.
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3. Matemática Básica
Un investigador médico podría conocer la
correspondencia entre las enfermedades cardíacas y el
aumento del peso.
Un relación, en general, es cualquier conjunto de
pares ordenados de números reales.
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4. Matemática Básica
Se define así una Relación como una
correspondencia que asigna a cada elemento de un
conjunto de “partida” o Dominio, uno o más
elementos de un conjunto de llegada o Codominio.
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5. Matemática Básica
Función:
Una Función es una relación con la restricción de
que a cada valor del Dominio le corresponde
"uno y sólo un valor " del Codominio.
Las funciones generalmente se simbolizan por las
letras f, g ó h, designando por "x" a los elementos
de dominio o variable independiente y por "y" a los
elementos de codominio o variable dependiente y
la notación más común es
)(xfy 
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6. Matemática Básica
)(xfy 
En esta expresión f(x) es la formula
algebraica que relaciona x e y
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7. Matemática Básica
Dominio de una función.
El dominio de una función hace referencia al
conjunto de los posibles valores que puede tomar x,
la variable independiente, esto es:
Ejemplo: En la función f(x)= x + 2, no hay restricción
para los valores de x, luego el dominio es cualquier
número real.
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8. Matemática Básica
Recorrido de una Función
El Recorrido de una función hace referencia al
conjunto de todas las imágenes (resultados) que posee
una función. Es decir, los posibles valores que puede
tener la variable y (variable dependiente).
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9. Matemática Básica
Expresiones algebraicas.
Es un conjunto de números y letras que se relacionan
entre sí por una o más de las operaciones
fundamentales.
Ejemplo:
3 + a 5b – 4c
7x + y3 – 4ab 7a – (x + y)2
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10. Matemática Básica
Término algebraico: es toda cantidad formada por un
número o por una letra o por un conjunto de números y
letras, relacionados entre sí sólo por las operaciones de
multiplicación o división.
Lo anterior significa que cuando una expresión está
formada por dos o más términos son las operaciones de
suma (+) o de resta (-) las que separan un término de
otro.
Ejemplo:
3a expresión de un término o monomio
¾ a – 2b expresión de dos términos o binomio.
a + b – c expresión de tres términos o trinomio.
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11. Matemática Básica
Las expresiones de dos o más términos se llaman, en
general, polinomios.
Ejemplo de polinomio:
22
352 yxyx 
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12. Matemática Básica
Signo Puede ser positivo o negativo.
Coeficiente (o factor numérico) que es el número
que acompaña a una o más letras
Factor literal Es la letra o conjunto de letras que
forman el término
En un término podemos distinguir las siguientes partes:
cba 32
3
signo
coeficiente
Factor literal
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13. Matemática Básica
Funciones lineales.
Una función bien definida, es lineal cuando está
representada por una expresión de la forma ,
donde m y b, son constantes.
Ejemplo:
donde m=3 y b=5
)(xfy 
bmxy 
53)(  xyxf
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14. Matemática Básica
Representación gráfica de una
función lineal.
Para cualquier función definida en las variables x e y se
puede considerar un conjunto de puntos que satisfacen
la relación dada; estos puntos pueden ser
representados en el sistema de coordenadas
cartesianas; en donde el eje "x" es asignado a la
variable independiente y el eje "y" a la variable
dependiente. La gráfica de una función lineal es una
línea recta y para graficarla debemos conocer como
mínimo 2 puntos que la satisfagan (propiedad de la línea
recta: por dos puntos cualesquiera pasa una y sólo una línea
recta).
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15. Matemática Básica
Representación gráfica de una
función lineal.
En la expresión de un función lineal, el valor de m
corresponde a la pendiente de la recta que la representa
y b corresponde al coeficiente de posición (el punto
donde la recta corta el eje de las Y).
bmxy 
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16. Matemática Básica
Pendiente de una Línea Recta.
La pendiente de una línea recta mide el cambio en y
(y), también conocido como “incremento en y”,
dividido por un cambio en x (x), conocido como
“incremento en x”.
La pendiente indica la inclinación y la dirección de la
línea recta. Cuanto mayor es el valor absoluto de la
pendiente, más inclinada es la recta.
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17. Matemática Básica
En la expresión:
m es la pendiente. Para una recta que pasa por los
puntos (x1, y1); (x2, y2), la pendiente m se puede
expresar:
bmxy 
12
12
xx
yy
x
y
m






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18. Matemática Básica
Por ejemplo, si una recta pasa por los puntos (0,4) y
(5,7) su pendiente es m = (7 – 4)/(5 – 0) = 3/5
Por tanto, su ecuación será:
y = 4 + (3/5)x
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19. Matemática Básica
Casos particulares de pendiente:
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20. Matemática Básica
Análisis De Regresión
En muchas ocasiones se obtienen datos directamente
de la observación (o medición) y se necesita conocer
como están relacionadas las variables en estudio.
Lo anterior se logra conociendo la función matemática
que relaciona dos o mas variables.
Conociendo tal función es posible estimar el
comportamiento de las variables.
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21. Matemática Básica
Si x es variable independiente (predictora) e y es la
variable dependiente (predicha o respuesta), entonces
y = f(x)
El problema general de hallar funciones que se ajusten
a un conjunto de datos, se llama ajuste de curvas.
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22. Matemática Básica
Para hallar una función que relacione las variables, el
primer paso es recoger datos que muestren valores de
las variables en estudio.
Luego se marcan los puntos (x,y) sobre un sistema de
coordenadas rectangulares.
La grafica resultante, donde cada punto representa un
par de valores observados de las variables independiente
y dependiente, se le llama diagrama de dispersión.
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23. Matemática Básica
Diagrama de dispersión
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24. Matemática Básica
Una recta de regresión con pendiente positiva indica una
relación directa entre las variables, una pendiente
negativa indica una relación inversa entre las variables y
una pendiente cero indica que las variables no están
relacionadas.
La cercanía o dispersión de los puntos graficados con
respecto a la recta de regresión trazada, indican el grado
de relación entre las dos variable.
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25. Matemática Básica
Correlación
Al realizar un estudio estadístico se pude necesitar
mucho más que el comportamiento de una variable, en
muchos problemas se necesita investigar la relación
entre 2 o más variables.
Si existe relación de asociación entre las variables,
entonces será posible hacer estimaciones del valor de
una de ellas conociendo el valor de la otra.
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26. Matemática Básica
Entre las dos variables que determinan una distribución
bidimensional puede existir una relación más o menos
estrecha que se llama correlación, y se puede medir
mediante el coeficiente de correlación, r, que es un
número, asociado a los valores de las dos variables y
permite expresar cuantitativamente el grado de relación
que existe entre las dos variables.
El coeficiente de correlación puede valer entre -1 y 1.
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27. Matemática Básica
Cuando r = 1 existe una relación funcional entre las dos
variables de modo que el valor de cada variable se puede
obtener a partir de la otra. Los puntos de la nube están
todos situados sobre una recta de pendiente positiva.
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28. Matemática Básica
Cuando r es positivo y grande (próximo a 1) se dice
que hay una correlación fuerte y positiva. Los valores de
cada variable tienden a aumentar cuando aumentan los
de la otra. Los puntos de la nube se sitúan próximos a
una recta de pendiente positiva.
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29. Matemática Básica
Cuando r es próximo a cero (por ejemplo, r = -0,12 o
r = 0,08) se dice que la correlación es muy débil
(prácticamente no hay correlación). La nube de puntos es
amorfa.
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30. Matemática Básica
Cuando r es próximo a -1 (por ejemplo, r = -0,93) se
dice que hay una correlación fuerte y negativa. Los
valores de cada variable tienden a disminuir cuando
aumentan los de la otra. Los puntos de la nube están
próximos a una recta de pendiente negativa.
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31. Matemática Básica
Cuando r = -1 todos los puntos de la recta están sobre
una recta de pendiente negativa. Existe una relación
funcional entre las dos variables.
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