Este documento describe cuatro métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución: el método del disco, el método de washer o de arandelas, el método de capas cilíndricas y el método de las tajadas. Proporciona las fórmulas matemáticas para aplicar cada método dependiendo del eje de rotación y las curvas que definen la región giratoria.

1. APLICACIONES INTEGRAL
CAPÍTULO 6

2. SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
• Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al
girar una región en un plano alrededor de un eje, o recta
que no corta la región.
• La recta sobre la cual la rotación se denomina eje
revolución.
• Sea una función continua f(x) ≥0 para a ≤ x ≤ b. Se genera
una región plana R bajo la gráfica, por encima de del eje
x, y entre x=a y x=b.

3. CÁLCULO DE VOLÚMENES SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
• El volumen V de un sólido de revolución obtenido al girar la
regiónR sobre el eje x o y es posible calcularlo, mediante:
– Método del Disco
– Método de Washer o de arandelas
– Método de Capas Cilíndricas
– Método de las Tajadas

4. MÉTODO DEL DISCO
• El volumen del sólido de revolución obtenido al girar la región
R sobre el eje x, está dado por:
• Cuando el eje de rotación es el eje y, y la región que está
girando entre el eje y, y una curva x= g(y) entre y= c y y=d, el
volumen del sólido de revolución está dado por:

5. MÉTODO DE WASHER O DE ARANDELAS
• Se asume que 0 ≤ g (x) ≤ f (x) para a ≤ x ≤ b. Se considera la
región x=a y x=b que queda entre y= g(x) y y= f(x). Entonces el
volumen V del sólido de revolución obtenido al girar está
región sobre el eje x, está dado por:
• De forma análoga se cumple cuando la región queda entre
dos curvas x= f(y) y x=g(y), entre y= c y y=d, gira en torno del
eje y. Se asume que 0 ≤ g (y) ≤ f (y) para c ≤ x ≤ d.

6. MÉTODO DE CAPAS CILÍNDRICAS
• Se considera el sólido de revolución obtenido al girar en torno del
eje y, y la región R en el primer cuadrante entre el eje x y la curva
y=f(x), que queda entre x=a y x=b gira en torno al eje y. El volumen
del sólido está dado por:
• Una fórmula similar se cumple cuando los papeles de x y y se
invierten, es decir la región R en el primer cuadrante entre el eje y
y la curva x= f(x), que queda entre y=c y y=d, gira en tono del eje x.

7. • DIFERENCIA DE LA FÓRMULA DE CAPAS:
Se asume que 0 ≤ g (x) ≤ f (x) en un intervalo [a, b] con a ≥ 0 . Sea la región
R del primer cuadrante que está entre las curvas y= g(x) y y= f(x) para x=a
y x=b. Entonces el volumen V del sólido de revolución obtenido al girar R
en torno al eje y, está dado por:
Sea la región R del primer cuadrante que está entre las curvas x= g(y) y x=
f(y) para y=c y y=d. Entonces el volumen V del sólido de revolución
obtenido al girar R en torno al eje x, está dado por:

8. MÉTODO DE LAS TAJADAS
• Se asume que un sólido queda completamente entre el plano
perpendicular al eje x en x=a y el plano perpendicular al eje x
en x= b. Para cada x tal que a ≤ x ≤ b.
• Se asume que el plano perpendicular al eje x en dicho valor
de x corta el sólido en una región de área A(x). Entonces el
volumen del sólido está dado por: