Geometría cepre UNCP

1. 35
Segmentos y Ángulos
GEOMETRÍA
INDICADORESDELOGRO:
- Reconocer características de un segmento y clases de ángulos en un gráfico.
- Comparar medidas de segmentos y ángulos en un gráfico.
- Resolver problemas de segmentos y ángulos haciendo uso de diferentes estrategias.
SEGMENTOS Y ÁNGULOS
1

2. 36 Segmentos y Ángulos
GEOMETRÍA
ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA TRANSVERSAL
Si:
6
5
8
7
1
2
3 4
Ángulos externos: 1; 2; 7; 8
Ángulos Internos: 3; 4; 5; 6
Ángulos alternos
- Externos 1 y 8; 2 y 7
- Internos 3 y 6; 4 y 5
Ángulos correspondientes
1 y 5; 3 y 7; 2 y 6; 4 y 8
Ángulos conjugados o colaterales
- Externos: 1 y 7; 2 y 8
- Internos: 3 y 5; 4 y 6
ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS



=
ÁNGULOS CORRESPONDIENTES



=
ÁNGULOS CONJUGADOS INTERNOS



+ =180°
PROPIEDADES IMPORTANTES


x= +
 
x


x

  
+ +...+ +x=180°
x



    
+ + +...+ + =180n
Si: “n” número de segmentos y n Z
 +


  
+ + =x+y+z

z
y
x


s dirigen
a la derecha
D1
D2
Dn
s dirigen
a la izquierda
=
EN GENERAL
L L
1 2
//
L L
1 2
//
L L
1 2
//
L L
1 2
// L L
1 2
// L L
1 2
//
L L
1 2
// L L
1 2
//
L L
1 2
//




3. 37
Triángulos I: Propiedades Fundamentales
GEOMETRÍA
INDICADORESDELOGRO:
- Reconocer teoremas de un triángulo en un gráfico.
- Discriminar clases de triángulo de acuerdo a sus lados y ángulos
- Aplicar propiedades de los triángulos en la resolución de problemas.
ESCALENO ISÓSCELES
 
EQUILÁTERO
60º 60º
60º
RECTÁNGULO ACUTÁNGULO OBTUSÁNGULO
 
+ =90º



 
  
; ; <90º

90º< <180º

 
+ =3
b c<a<b+c
a c<b<a+c
a b<c<a+b



SEGÚN SUS LADOS
SEGÚN SUS ÁNGULOS
NOTACIÓN
ABC
CLASIFICACIÓN
TEOREMAS
L
Í
N
E
A
S
N
O
T
A
B
L
E
S
P
R
O
P
I
E
D
A
D
E
S
x

x
=
9
0
º
+
2

x
=
9
0
º
-
2


x
x
=
2


x
x
=
+
+






x
n
+
m
=
+



n
m



+
=
m
+
n


m
n


+
x
=
2




+
x
=
2


C
E
V
I
A
N
A
A
L
T
U
R
A
M
E
D
I
A
N
A
B
I
S
E
C
T
R
I
Z




M
E
D
I
A
T
R
I
Z
a
a
2 a 45º
45º
TRIÁNGULO

 
1
3
2
b c
a
C
B
A
a
2a
30º
3a
60º
TRIÁNGULOS
NOTABLES
5a
3a
4a
37º
53º
a
5a
2a
53º
2
a
10 a
3a
37º
2
a
75º 15º
4a
TRIÁNGULOS I: PROPIEDADES FUNDAMENTALES
2

4. 38 Triángulos II: Congruencia de Triángulos
GEOMETRÍA
INDICADORESDELOGRO:
- Comparar triángulos según los casos de congruencia.
- Analizar problemas de congruencia de triángulos y triángulos rectángulos notables en un gráfico.
- Resolver problemas de congruencia de triángulos, aplicando diferentes estrategias.
   
CASO: A - L - A CASO: L - A - L
 
CASO: L - L - L
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
CASOS DE CONGRUENCIA
APLICACIÓN DE LA CONGRUENCIA
2a
a
 
TRIÁNGULOS II: CONGRUENCIA DE
TRIÁNGULOS
3

5. 39
Triángulos II: Congruencia de Triángulos
GEOMETRÍA
PROPIEDADES ADICIONALES
B
x
A C
D
2

x = 120 2

B
x
A
C
D
2

x = 120 
B
A
75° 15°
C
H
AC
BH
4

B
A C
H
M
P
N
HC=PM+PN
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES
NOTABLE DE 45°
45°
45°
K
K
k 2
NOTABLE DE 30° y 60°
60°
30°
2K
K
k 3
NOTABLE DE 15° y 75°
75°
15°
4K
k( 6 2)

k( 6 2)

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS APROXIMADOS
53°
37°
5K
4K
3K
De 37° y 53° De 16° y 74°
74°
16°
25K
24K
7K
De 14° y 76°
76°
14°
4K
K
De 31° y 59°
59°
31°
5K
3K
17K
34K
De 53°/2 y 127°/2
127/2
53°/2
2K
K
K 5
De 37°/2 y 143°/2
143°/2
37°/2
3K
K
K 10
En un triángulo isósceles (AB=BC)

6. 40 Polígonos y Cuadriláteros
GEOMETRÍA
INDICADORESDELOGRO:
- Identificar las características de una clase de polígono o de un cuadrilátero convexo, según las definiciones.
- Analizar problemas de polígonos y cuadriláteros en un gráfico.
- Resolver problemas de polígonos y cuadriláteros, aplicando diferentes estrategias.
POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS
4
POLÍGONO
P1
P2
P3
P4
Pn
Pn-1 P
n-2
n>2
n:entero
Elementos:
Notación:
ÁNGULOS DEL POLÍGONO
P1
P2
P3
P4
P5
d
c
b
a
e





 interior: a, b, c, d, e
exterior:
 
DIAGONAL DEL POLÍGONO
P1
P2
P3
P4
P5
P6
N
M
Diagonal: P P
2 5
Diagonal media: MN
PROPIEDADES
En todo polígono de n lados
1. N° vértices = N° lados = N° de ángulos
internos = n
2. N° de diagonales trazadas
desde un vértice
= n 3

3. N° total de diagonales 

n(n 3)
2
4. N° de diagonales medias
trazadas desde el punto
medio de un lado
= n 1

5. N° total de diagonales
medias


n(n 1)
2
6. N° de diagonales que
se pueden trazar desde
“K” vértices consecutivos
 
 
(k 1)(k 2)
nk
2
7. N° de diagonales medias
que se pueden trazar
desde “K” puntos medios
consecutivos

 
k(k 1)
nk
2
8. Suma de medidas
de ángulos internos.
=180°(n 2)

En todo polígono convexo de n lados
9. Suma de medidas
de ángulos externos.
=360°
NO CONVEXO CONVEXO
Equilátero Equiángulo
Equilátero
Regular
POLÍGONO NO CONVEXO POLÍGONO CONVEXO
Al menos un ángulo interior
es cóncavo.
Todos sus ángulos interiores
son convexos.
POLÍGONO EQUIÁNGULO POLÍGONO EQUILÁTERO
POLÍGONO REGULAR
 




 


 







B C
D
E
F
A

 O: Centro del polígono regular
Ángulo central: COD, DOE.....
 
O
1 2 3 3 4 n 1
2
Lados : P P ,P P ,P P ,..., P P
1 2 3 n
Vértices : P ,P ,P ,...,P
1 2 3 n
Polígono : P P P ...P

7. 41
Polígonos y Cuadriláteros
GEOMETRÍA
NOMBRE DE ALGUNOS POLÍGONOS
N° DE LADOS NOMBRE
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
20
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octágono
Nonágono
Decágono
Undecágono
Dodecágono
Pentadecágono
Icoságono
PROPIEDADES EN UN POLÍGONO EQUIÁNGULO Y REGULAR
POLÍGONO EQUIÁNGULO Y REGULAR
Medida de un ángulo
interior
 
  
180 (n 2)
n
Medida de un ángulo
exterior
Medida de un ángulo
central

  
360
n
POLÍGONO REGULAR

  
360
n
CUADRILÁTERO
(Polígono de 4 lados)
CUADRILÁTERO CONVEXO CUADRILÁTERO CÓNCAVO
C
D
A
B

 

   
   =360°




B
A
C
D
   
   
CLASIFICACIÓN
TRAPECIO
TRAPEZOIDE PARALELOGRAMO
No tiene lados opuestos paralelos Sólo tiene dos lados opuestos
paralelos (BC//AD)
Tiene sus dos pares de lados
opuestos paralelos
B C
D
A
A D
B C
H
Bases: BC y AD
Altura: BH
Trapecio Rectángulo
Trapecio Escaleno
Trapecio Isósceles
Romboide
Rombo
Rectángulo
Cuadrado
Trapezoide simétrico convexo
Nota:
Trapezoide simétrico cóncavo
(AB //CD y BC//AD)

8. 42 Polígonos y Cuadriláteros
GEOMETRÍA
TEOREMAS
TRAPEZOIDE
SIMÉTRICO
B
A
D
C
AC BD

TRAPECIO
ISÓSCELES
B C
D
A
 




B C
A D
N
M
a
b
a b
MN
2


a x
b
a b
x
2


b a
MN
2


b
a
N
M
a
b
x
b a
x
2


PARALELOGRAMO
B
A D
C
O
AB=CD
BC=AD
m A=m C

m B=m D

BO=OD
AO=OC
ROMBOIDE ROMBO RECTÁNGULO CUADRADO
Se cumple:
Se cumple:
Se cumple:
Se cumple:

 

1)
+ =180°
 
2)
O: Centro de simetría
O
1)
2)








O
O: Centro de simetría
1) 1)
2) 2)
B
A D
C
AC=BD
O: Centro de simetría
O
45°
45°
45°
45° 45°
45°
45°
45°
O: Centro de simetría
O

9. 43
Circunferencia I: Propiedades Fundamentales
GEOMETRÍA
INDICADORESDELOGRO:
- Reconocer las propiedades fundamentales asociados a la circunferencia en un gráfico.
- Descriminar los teoremas de Poncelet, Pitot y Steiner según las definiciones.
- Analizar problemas de propiedades fundamentales en la circunferencia, en un gráfico.
- Resolver problemas de las propiedades fundamentales en la circunferencia de teoremas de Poncelet y Pitot con fundamento lógico.
CIRCUNFERENCIA
DEFINICIÓN: Es el conjunto de todos los
puntos de un plano que equidista de un punto
llamado centro. Siendo sus elementos el
centro y el radio
R
Q
D
C
A
F
E
L T
L N
B
O
R
T
P
LÍNEAS ASOCIADAS A LA CIRCUNFERENCIA
1. CUERDA: CD
2. DIÁMETRO: AB
3. FLECHA O SAGITA: EF
4. RECTA SECANTE: PQ
5. RECTA TANGENTE: L T
(T: Punto de tangencia)
6. RECTA NORMAL: L N
7. ARCO: PQ
PROPIEDADES FUNDAMENTALES
TEOREMA 1:

T
O
L T
=90°
M N
A
B
H
TEOREMA 2:
o
AH = HB, además: mAN = mNB
Si MN: Diámetro MN AB se cumple
 
TEOREMA 3: TEOREMA 4:
M H
B
O
D
C
A
B
T
A
L T
D
C
Si mAB = mCD se cumple:
AB = CD y OM=OH
Si AB // CD mAC=mBD
TEOREMA 5: TEOREMA 6:
B
P
O
A B
P
O
A


Si A y B son puntos de
tangencia PA = PB

PO : es bisectriz del APB.

TEOREMA DE PONCELET TEOREMA DE PITOT TEOREMA DE STEINER
B
C
R
A
AB + BC = AC + 2R
B
C
D
A
AB + CD = BC + AD
D
C
A
B
AD BC = DC AB
 
también,si: //AB mAT = mTB

LT
CIRCUNFERENCIA I: PROPIEDADES
FUNDAMENTALES
5

10. 44 Circunferencia I: Propiedades Fundamentales
GEOMETRÍA
BIBLIOGRAFÍA
- Asesoría Académica, Salvador Timoteo V. (2009), Compendio de
Geometría, Lima - San Marcos
- Salvador Timoteo V. (2007). Geometría, Lima - San Marcos
- Alva Gallegos F. (2006). Geometría, Lima - San Marcos
- Academia Trilce (2006). Geometría, Lima - Asociación Educativa
Trilce.
- Ubaldo Caballero L. (2003) Geometría, Lima - Luc Ediciones

11. 45
Circunferencia II: Ángulos en la Circunferencia y Cuadrilátero Inscrito e Inscriptible
GEOMETRÍA
INDICADORESDELOGRO:
- Reconocer ángulos relacionados a la circunferencia en un gráfico.
- Aplicar teoremas del cuadrilátero inscrito e inscriptible en problemas de circunferencia.
- Resolver problemas de ángulos relacionados a la circunferencia y de cuadriláteros inscrito e inscriptible, aplicando fundamento lógico.
ÁNGULO CENTRAL
=mAB
m=medida
O
r
r

A
B
ÁNGULO INTERIOR

C
D
ÁNGULO EXINSCRITO
 
mAB mCD
2



B
A

mABC
2
 

C
B
A
ÁNGULO INSCRITO

B
C
ÁNGULO SEMI INSCRITO
A

B
A

mBC
2
 

mAB
2
 
ÁNGULOS EN
RELACIÓN
CON LA
CIRCUNFERENCIA
ÁNGULO EXTERIOR

D
C
B
A
 
mAB mCD
2




D
B
A
 
mAB mBD
2




B
A

C
 
mACB mAB
2
180

 


  
CIRCUNFERENCIAII: ÁNGULOS EN LACIRCUNFERENCIA
Y CUADRILÁTERO INSCRITO E INSCRIPTIBLE
6

12. 46 Circunferencia II: Ángulos en la Circunferencia y Cuadrilátero Inscrito e Inscriptible
GEOMETRÍA
PROBLEMASPROPUESTOS
01. Del gráfico calcula x, si la medida del arco AB es 100º, B es punto
de tangencia.
B
A
x
a) 25° b) 50° c) 30°
d) 45° e) 60°
02. Del gráfico, O es centro, calcula x.
O B
A
P
x
a) 135º b) 120º c) 150º
d) 100º e) 115°
CUADRILÁTERO INSCRITO E INSCRIPTIBLE EN UNA CIRCUNFERENCIA
CUADRILÁTERO INSCRITO
Es aquel cuadrilátero cuyos vértices pertenecen
a una misma circunferencia.
CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE
Es aquel cuadrilátero que puede ser inscrito en una
circunferencia. Para que ello ocurra se deben cumplir las
siguientes propiedades..
TEOREMA 1
En todo cuadrilátero inscrito sus ángulos
interiores opuestos son suplementarios.
A
B
C
D



se cumple: + = 180°
 
además: =
 
TEOREMA 2
En todo cuadrilátero inscrito; sus
diagonales determinan con los lados
opuestos ángulos de igual medida.
A
B
C
D


ABCD inscriptible, si: + =180°
 


B
C
D
A
ABCD inscriptible, si: =
 


B
C
D
A
ABCD inscriptible, si: =
 


B
C
D
A
 
=

13. 47
Propocionalidad de Segmentos y Semejanza de Triángulos
GEOMETRÍA
INDICADORESDELOGRO:
- Identificar teoremas de proporcionalidad y semejanza de triángulos en un gráfico.
- Analizar problemas de proporcionalidad y semejanza de triángulos en un gráfico.
- Resolver problemas de proporcionalidad y de semejanza de triángulos, aplicando fundamento lógico.
TEOREMA DE THALES
L1
L2
L3
L4
a
b
c f
e
d k
m
n
L //L //L //L
1 2 3 4
a d k
b e m
 
a d k
c f n
 
a b d e k m
c f n
  
 
COROLARIO
a
b
m
n


a m
b n

BISECTRIZ INTERIOR BISECTRIZ EXTERIOR
a
 
m n
b
a
b


n
m
a b
m n

a m
b n

MENELAO CEVA
c
b
a
d
e
f
b c
d
e
f
a
a c e = b d f a c e = b d f
CUATERNA ARMÓNICA
A
B C D




TEOREMA DEL INCENTRO
I: INCENTRO


D
C
A
B
I
AB.CD BC.AD

BI AB BC
ID AC


PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
a b m n
b n
 

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
7

14. 48 Propocionalidad de Segmentos y Semejanza de Triángulos
GEOMETRÍA
PROBLEMASRESUELTOS
01. En el gráfico mostrado los cuadrados UNCP y OQRS tienen por
lados a y b, respectivamente. Calcula el lado del cuadrado PATO.
N
U
P O S L
R
T
C
A
K
Q
SOLUCIÓN:
N
U
P O S L
R
T
C
A
K
a
a-x
x
x x-b
b

 

b
Q
Nos piden "x" lado del cuadrado PATO y dando sus res-
pectivos valores de los cuadrados UNCP y OQRS, encon-
tramos dos triángulos semejantes.
TRIÁNGULOS SEMEJANTES
CASOS
a b
c
 

d e
f
 

 ak
bk b
a
 
 ak
ck c
a

bk
b
a b c
k 1
d e f
   
PROPIEDADES
x
a 

b
2
x ab

B
A F D
C
E
a
x
b
AB//EF//CD
ab
x
a b


B
A C
c
b
a H R


Q
P R
f
e
d
h
r



a b c R H perímetro ABC
..... K 1
d e f r h perímetro PQR


       
* TAC  . RQT
2
2
x a x
x bx ab bx
b x b
x ab x ab

    

   
02. Si: 1 2 3 4
L // L // L // L

   
. Calcula "x"
6
3x+ 2
x 2
2y+ 1
y
L1
L2
L3
L4
SOLUCIÓN:
Teorema de Thales
x 2
x.y 12...(1)
6 y
  
x 2
3x 2 2y 1
2xy x 6x 4

 
  
De(1): 2(12)=5x+4
 4=x

15. 49
Relaciones Métricas en la Circunferencia y en el Triángulo Rectángulo
GEOMETRÍA
INDICADORESDELOGRO:
- Discriminar teoremas de relaciones métricas, en la circunferencia y en el triángulo rectángulo.
- Analizar problemas de relaciones métricas, en la circunferencia y en el triángulo rectángulo, para establecer longitudes y medidas angulares.
- Resolver problemas, de relaciones métricas en la circunferencia y en el triángulo rectángulo, con fundamento lógico,
RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
TEOREMA DE LAS CUERDAS
C
P
B
D
A m
n
a
b
ab=mn
TEOREMA DE LAS SECANTES
A
B
b
a C
Q
P
n
m
ab=mn
TEOREMA DE LA TANGENTE
n B
A
m
a
B
C
a =mn
2
A
D
C
B
E
Si ABCD es inscriptible
(AE)(BE)=(DE)(CE)
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
B
A C
H
m n
b
a
c
2
2
c bm
a bn


B
A C
b
a
c
B
A C
H
h
m n
B
A C
H
b
a
c h
B
A C
H
a
c h
2 2 2
b a c
 
2
h mn

ac hb

2 2 2
1 1 1
h a c
 
B
A H C
a
c
m n
b
AHB~ BHC~ ABC
RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA Y EN
EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
8

16. 50 Relaciones Métricas en la Circunferencia y en el Triángulo Rectángulo
GEOMETRÍA
PROBLEMASRESUELTOS
01. En un cuadrado ABCD, AB = 20 m, con centro en A y radio AB
se traza el arco BD que intercepta a la circunferencia inscrita en
el cuadrado en: M y N; calcula MP si P es el punto de intersec-
ción de la circunferencia inscrita con AM.
a) 5 m b) 10 m c) 15 m
d) 20 m e) 25 m
SOLUCIÓN:
M
P
x
Q
A 10 10 D
C
B
N
Dato:
AB = 20
Piden: MP
Se observa: AQ = QD = 10
AB = AM = AD = 20
Teorema de la Tangente:     
2
A Q A M A P

    
2
10 20 AP AP 5
  
Luego: PM = 15 m
02. Dado un cuadrante AOB; se ubica el punto M en la prolonga-
ción de OB tal que AM intercepta al arco AB en N; calcula MN
si: OB = 3 m y MB = 1 m.
a) 1 m b) 2 m c) 3 m
d) 2,8 m e) 1,4 m
SOLUCIÓN:
3
O
3
Q
3
B 1 M
N
A
5
x
Piden: MN = x
Prolongamos el arco AB y BO
Teorema de las Secantes:
5(x) = 7(1)
x = 1,4 m
PROBLEMASPROPUESTOS
01. Según En la figura mBF 40°;  y  son complementarios.
Calcula x.

A D
B
F
C
E
x 
a) 90° b) 100° c) 80°
d) 70° e) 60°
02. Dado un triángulo rectángulo ABC recto en B. Las circunferen-
cias de centro A y C radios AB y BC respectivamente interseca
a AC en D y E respectivamente si AD = a y EC = b.
Calcula DE.
a) ab
2
b) 2
2 b
a 
c) ab
2
d) 2
2 b
a
2 
e) ab
NOTA
A
n
H
m
C
b
O
B
2
n bm

A m
x
O
B
n
2
x mn

B
A x
R
r
x 2 Rr


17. 51
Relaciones Métricas en los Triángulos Oblicuángulos y en los Cuadriláteros
GEOMETRÍA
INDICADORESDELOGRO:
- Reconocer los principales teoremas, de relaciones métricas en el triángulo oblicuángulo y en cuadrilatero.
- Aplica teoremas, de relaciones métricas en el triángulo oblicuángulo y en el cuadrilatero para establecer relaciones entre longitudes.
- Solucionar problemas, de relaciones métricas en el triángulo oblicuángulo con fundamento lógico.
9 RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS
OBLICUÁNGULOS Y EN LOS CUADRILÁTEROS
TEOREMA DE PROYECCIONES
m n
b
a
2 2 2 2
a m b n
  
TEOREMA DE HERÓN
b
a h
c
a b c
P
2
 

2
h P(P a)(P b)(P c)
c
   
m n
b
a
TEOREMA DE EUCLIDES

c
<90°
m
b
a

>90°
2 2 2
b a c 2mC
  
2 2 2
b a c 2ac cos 
  
2 2 2
b a c 2mc
  
Ley de cosenos
m n
b
a
c
TEOREMA DE STEWART
x 2 2 2
cx n
a m
b mnc
  
TEOREMA DE LA MEDIANA TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR
c
b
a x
2
2 2 2 c
2x a b
2
  
a
b
n
m


x
2
x mn ab
 
b
a x
m n
 
2
x ab mn
 
PROPIEDADES
c a
b
mb
mc
ma
c a
b
mb
mc
ma
2 2 2 2 2 2
a b c
4
a b c (m m m )
3
     2 2 2
b a c
5m m m
 
RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
c

18. 52 Relaciones Métricas en los Triángulos Oblicuángulos y en los Cuadriláteros
GEOMETRÍA
RELACIONES MÉTRICAS EN EL CUADRILÁTERO
TEOREMA DE PTOLOMEO
A
B C
D
c
b
d
a
(AC)(BD) ac bd
 
TEOREMA DE EULER
C
D
A
B
a
b
c
d
x
2 2 2 2 2 2 2
a b c d (AC) (BD) 4x
     
ABCD: PARALELOGRAMO
A
B C
D
b
a
2 2 2 2
(AC) (BD) 2(a b )
  
A
B
C
D
c
b
d
a
TEOREMA DE VIETTE
AC ad bc
BD ab cd



ad bc
AC (ac bd)
ab cd

 
 
 

 
ab dc
BD (ac bd)
ad cb

 
 
 

 
PROBLEMASPROPUESTOS
01. En un trapecio ABCD AD
//
BC (AD > BC); (AB)2 + (CD)2 = 64
y AD – BC = 8; calcula la distancia entre los puntos medios de
sus bases.
a) 4
b) 8
c) 2
4
d) 3
4
e) 5
3
02. De la figura; O y O1 son centros, Q y T son puntos de tangencia.
Calcula AP si AT = 6u.
A
B
P
T
Q
H
O
O1
a)3u b) u
2
3 c) 4u
d)6u e) u
2
6
03. En la figura ABCD y ABPQ son romboides y (AC)2 – (PC)2 =
16(AD); calcula BQ.
Q B C
A D
P
a) 4 b) 7 c)5
d) 6 e) 8
04. Si M es punto de tangencia; MB = 6u; NB = 5u y MP = 30/7 u.
Calcula MN.
A B
M
P
N
a) 21 b) 15 c)7
d)8 e) 7

19. 53
Áreas de Regiones Triangulares
GEOMETRÍA
INDICADORESDELOGRO:
- Identificar teoremas para determinar áreas de regiones triangulares.
- Seleccionar teoremas de áreas de regiones triangulares para determinar la medida de éstos.
- Resolver problemas de áreas de regiones triangulares con fundamento lógico.
10 ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES
FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA FÓRMULA DE HERÓN ÁREA DE UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO
b
a
S

a b
S sen
2



b
a
S
c
S p(p a)(p b)(p c)
   
a b c
P
2
 

S
60° 60°
60°
2 3
S
4


B
C
A
H
h
b
S
S
H
B
h
A C
b
b h
S
2


S: área
b: base
h: altura
FÓRMULA GENERAL
B
A C
P
m n
T
Q
S
FÓRMULA DE BURLET
S = m x n
b
a
c
S
a b c
P
2
 
 S p r
 
ÁREA DEL EN FUNCIÓN DEL INRADIO

b
a
R
S
c
C
A
B
a b c
S
4R
 

A
C
b
c
B
a
r
a b c
P
2
 

S (p a)r
 
:lado
ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES
R: circunradio
r: inradio
r : exradio relativo al BC




r

20. 54 Áreas de Regiones Triangulares
GEOMETRÍA
PROBLEMASRESUELTOS
01. En el cuadrado ABCD, calcula el área de la región BMC; si: M=8.
C
D
A
B
M
a) 32 b) 64 c) 16 d) 12 e) 24
SOLUCIÓN:
C
D
A
B
M
4
4
4
Q
H
REA
BQC HDC(ALA)
BQ HC 4
8 4
A 16
2
  
 

 
PROBLEMASPROPUESTOS
01. Si E: c entro, SABC = 30u2. Calcula el área de la región sombreada.
A
P
B
Q C
E
a) 15u2 b) 20u2 c) 25u2
d)30u2 e) 40u2
02. En la figura mostrada AD = 2(DC); S1=5u2;
S2 = 2u2 y S3 = 2,5u2. Calcula S4
S1
S4
S2
S3 

A
B
C
E
D
a) 6u2
b) 3,5u2
c) 4u2
d)4,5u2
e) 7u2
RELACIÓN DE ÁREAS
AL TRAZAR UNA CEVIANA AL TRAZAR UNA MEDIANA EN TRIÁNGULOS SEMEJANTES
1
2
S m
S n

m m
S1
1 2
S S

 
S1
m


S2
n
2
1
2
2
S m
S n

~
S2
m n
S1 S2
BIBLIOGRAFÍA:
* BRUÑO (1966). Geometría curso superior
(España Ediciones Bruño)
* ACADEMIA CESAR VALLEJO (2001). Compendio
académico de matemática. Lima. Lumbreras editores
* ACADEMIA ADUNI (2003). Compendio académico de
Matemática. Lima. Lumbreras Editores
* ASOCIACIÓN EDUCATIVA PITÁGORAS (2004). GEOMETRÍA.
Lima. Perú Editoras.
* DEZA V. NELSON (2004) Geometría Tomo I y II. Lima. Academia APPU
* UBALDO CABELLEROP L. (2004) Geometría. Lima. Luc. Ediciones.
* ACADEMIA TRILCE (2006) Geometría. Lima. Asociación Educativa Trilce.
* ANCCAS TAYPE C (2012) Geometría. Lima. Talento Uni - San Marcos

21. 55
Áreas de Regiones Cuadrangulares y Circulares
GEOMETRÍA
INDICADORESDELOGRO:
- Aplicar fórmulas, de áreas de regiones cuadrangulares y circulares, en un problema.
- Analizar problemas, de áreas de regiones cuadrangulares y circulares.
- Solucionar problemas, de áreas de regiones cuadrangulares y circulares.
11 ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES Y
CIRCULARES
ÁREA DE UNA REGIÓN CUADRANGULAR
B
C
D
A

ABCD
(AC)(BD)sen
S
2


B
C
D
A

ABCD
(BD)(AC)sen
S
2


B
C
D
A
S
(ABCD)
S
S
2

A B
D
C
A B C D
  
ÁREA DE UNA REGIÓN PARALELOGRÁMICA
B C
D
A
b
h
(ABCD)
S bh

B
C
D
A
b
(ABCD)
S absen

a

ÁREA DE UNA REGIÓN TRAPECIAL
S
h
b
B
(b B)
S h
2


RELACIÓN DE ÁREAS ÁREA RELACIÓN DE ÁREAS
1)
S
S
2)
S
S
S
S
3) B
S
A D
C
(ABCD)
S
S
2

4)
B
A
D
C
P
al paralelogramo
(ABCD)
(sombreada)
S
S
2

Nota:
Estas relaciones se aplican a la región
romboidal, rombal, rectangular y cuadrangular.
Ejemplo:
S
S
S
S
REGIÓN ROMBOIDAL
a
h S S=ah
REGIÓN CUADRADA
REGIÓN RECTANGULAR
REGIÓN ROMBAL
S
L
S=L
2
S
h
b
S=bh
(ABCD)
(AC)(BD)
S
2

B C
D
A
1)
S
S
2)
S
S
A
B
2
( )
S A.B
S A B

 
3)
S
S
Nota:
REGIONES POLIGONALES SEMEJANTES
C
B
A E
D
S
C’
B’
A’ E’
D’
S1
~
2 2 2
2 2 2
1
S (AB) (BC) (CD)
....
S (A 'B ') (B ' C ') (C 'D ')
   
REGIÓN CUADRADA
S S
S
5

TEOREMA DE BRAMHGUPTA
S
D
c
A
B b
c
d
a
a b c d
P
2
  

S (p a)(p b)(p c)(p d)
    
L
TRAPECIOS
M
N P
Q
MNPQ

22. 56 Áreas de Regiones Cuadrangulares y Circulares
GEOMETRÍA
PROBLEMASRESUELTOS
01. Calcula el área de un rombo cuyos lados son dos cuerdas y dos
radios de una circunferencia de radio igual a 20.
2V
2V
2V
2V
2V
a) 200 b) 100 2 c) 200 3
d) 100 2 e) 400 3
SOLUCIÓN:
2
20 3
A 2 200 3
4
 
 
 
 
 
02. Calcula el área sombreada con R=2, P, Q: puntos de tangencia.
P
R
Q
Q
a) 2
  b) 2 1
  c) 2
  d) 2 2
  e) 1
 
SOLUCIÓN:
AREA
SOMBREADA
= AREA AREAA

2
2 4 45
2
2 360
2
  
 
  
 
 
  
M
2
N
O B
A
A
90°
90°
2
ÁREA DE UNA REGIÓN CIRCULAR
S
r
2
S r


3,14 16....
 
S r
2
r
S
2


S
r
2
r
S
4


S
R
R
r
R
ÁREA DE UNA CORONA CIRCULAR
2 2
S (R r )

 
ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR
ÁREA DEL SEGMENTO CIRCULAR ÁREA DEL TRAPECIO CIRCULAR
S
r
r
O S S S

  
r
r
r
S
2
r
S
360



S
R
R
r
d
2
1
1 2
( )d
S
2


 
NOTA:
B
A
S
A C
B
LUNULA DE HIPÓCRATES
S = A + B
B
A
C
C = A + B
A
B A = B


ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR

23. 57
Poliedros y Prismas
GEOMETRÍA
INDICADORESDELOGRO:
- Identificar características y propiedades de un poliedro y prisma, y anota en un recuadro.
- Aplicar definiciones y teoremas, de poliedros y prismas, con criterio.
- Solucionar problemas, de poliedros y prismas, con fundamento lógico.
C
B
A
G
L
a
TETRAEDRO REGULAR
a 6
LG
3
 2
A a 3

3
a 2
V
12

HEXAEDRO REGULAR O CUBO
E H
G
C
B
A
D
F
O
a
AG a 3
 2
A 6a
 3
V a

A
B C
O
N
M
D
a
OCTAEDRO REGULAR
MN a 2
 2
A 2a 3

3
a 2
V
3

DODECAEDRO REGULAR
DESARROLLO DE LA SUPERFICIE
DEL DODECAEDRO REGULAR
ICOSAEDRO REGULAR
DESARROLLO DE LA SUPERFICIE
DEL ICOSAEDRO REGULAR
POLIEDROS REGULARES
Vértice
Aristas
Diagonal del
poliedro
Caras
Plano
Secante
Sección
Plana
los ángulos internos de todas las caras.
S 360 (V 2)
caras   
TEOREMA DE EULER:
el número de vértices es igual al número
de aristas aumentado en dos.
C + V = A + 2
C : número de caras
V : número de vértices
A : número de aristas
C : Combinación de la cantidad de
vértices formados de dos en dos.
A : Número de aristas del poliedro
N : Suma de los números de diagonales
D
de todas las caras.
N p =C - A - ND
V
2
V
2

es:
POLIEDRO
12 POLIEDROS Y PRISMAS

24. 58 Poliedros y Prismas
GEOMETRÍA
El Prisma es un poliedro en donde dos de sus caras son regiones poligonales congruentes situados
en planos paralelos, las demás caras son regiones paralelográmicas
Arista básica
Cara lateral
Arista lateral
Base
Altura
Base
1. Un prisma es recto si las aristas laterales son perpendiculares a las bases, en
caso contrario será oblicuo.
2. En un prisma recto las caras laterales son regiones rectangulares.
3. Un prisma recto es regular si sus bases son regiones limitadas por polígonos
regulares.
4. En todo prisma el número de lados de la base es igual al número de caras
laterales.
5. Un prisma se denomina según el polígono que limita su base, así los prismas
serán triangulares, cuadrangulares, pentagonales.
PRISMA RECTO
A B
E
D
F
c
a
PRISMA OBLICUO
h
a
Sección
recta
LATERAL
TOTAL LATERAL BASE
BASE
S (Perímetro de la base).a
S S 2S
Volumen (S ).(Altura)

 

Es una porción de prisma que está comprendida entre una de sus bases y un plano que no es paralelo a
las bases y secante a todas sus aristas laterales.
Tronco de Prisma triangular Recto
a
ha
hb
b
c hc
Base
Sección
recta
Tronco de Prisma triangular Oblicuo
TRONCO SEC.RECTA
a b c
V S .
3
 
 
  
 
a b c
TRONCO BASE
h h h
V S .
3
 
 
  
 
 
Tronco de Prisma cuadrangular regular
B
A
E
a
C
d
H
F
b
e
G
D
C
Región
Paralelográmica
L
L
c
D
b
a
Base
TRONCO BASE
a b c
V S .
3
 
 
  
 
a c b d
  
4e a b c d
   
LATERAL
S (4L)(e)

2
TRONCO
V (L )(e)

NOTA Paralelepípedo Rectangular, Ortoedro o Rectoedro
Es aquel paralelepípedo cuyas caras son regiones rectangulares
d a
b
c
d: Medida de la diagonal
a, b, c: Dimensiones de rectoedro
2 2 2 2
d a b c
  
TOTAL
S 2(ab bc ac)
  
Volumen = abc
TRONCO DEL PRISMA
LATERAL
SECCION RECTA
Perímetro de
S .a
la sec ción recta
Volumen (S ).a
 
  
 

PRISMAS

25. 59
Pirámides y Conos
GEOMETRÍA
INDICADORESDELOGRO:
- Identificar características y propiedades, de pirámides y conos, y anota en un recuadro.
- Analizar problemas, de pirámides y conos, y señala la relaciones y teoremas principales que solucionan el problema.
- Solucionar problemas, de pirámides y conos, con fundamento lógico.
13 PIRÁMIDES Y CONOS
PIRÁMIDES
Base
A
Altura
h
B C
D
E
Vértice o cúspide
Arista lateral
Cara lateral
Arista básica
V
SL
SL
área de las
A
caras laterales
 
  
 

ST
ST SL Base
A A A
 
A : Área de la Base
base
Volumen (V)
Base
(A )h
V
3

pentagonal convexa.
Notación: Pirámide V-ABCDE
Base
A
h
B C
D
E
V
F
hexagonal no convexa.
Notación: Pirámide V-ABCDEF
PIRÁMIDE REGULAR
Es una pirámide que tiene por base a una
región poligonal regular. Su altura cae en el
centro de la base
TRONCO DE PIRÁMIDE
Es la porción de pirámide comprendida entre la
base y la sección plana determinada por un plano
secante a la pirámide y paralelo a su base.
IMPORTANTE
A
Apotema (ap)
h
B C
D
V
O
E
M
F


exagonal regular V-ABCDEF.
 : Medida del ángulo diedro determinado por una
cara lateral y la base.
 : Medida del ángulo que forma una arista lateral
con el plano de la base.
O: Centro de la base ABCDEF
VM: Apotema de la pirámide regular
A
B C
D
E
Base inferior
E’
C’
D’
A’
B’
Base superior
Cara lateral
Arista básica
h
p
VM a

SL
SL Base p
A (P )a

P : Semiperímetro de la Base.
base
ST
ST SL Base
A A A
 
A : Área de la Base
BASE pirámide pentagonal: ABCDE-A’B’C’D’E’
h
V (B B ' BB ')
3
  
B y B’: Área de las bases
PIRÁMIDES SEMEJANTES:
Pirámide O-ABC Pirámide O -MNL

A
B
C
O
M L
N
T
H
Donde:
S y S pueden representar áreas
laterales, áreas totales o áreas de caras
homólogas
1 2
Donde:
V y V representan volumenes
de las pirámides semejantes
1 2
S1
S2
(OM)
(OA)
=
2
2
(MN)
(AB)
=
2
2
(OT)
(OH)
=
2
2
...
=
V1
V2
(OM)
(OA)
=
3
3
(MN)
(AB)
=
3
3
(OT)
(OH)
=
3
3
...
=

26. 60 Pirámides y Conos
GEOMETRÍA
PROBLEMASRESUELTOS
01. Se tiene un poliedro formado por 2 caras pentagonales, 6
cuadrangulares. Determina el número de aristas de dicho
poliedro.
SOLUCIÓN:
Nos piden N° de aristas : A
2 caras
6 caras
2 5 6 4
A
2
A 17
  
 
 
02. Determina el área total de un hexaedro regular, sabiendo que
la distancia de uno de sus vértices al centro de una cara
opuesta es 2m.
SOLUCIÓN:
E
A D
C
G
F
H
2
m
B
O a
a
En el triángulo rectángulo OGC
a 2
OC
2

Por el teorema de pitágoras en el triángulo OGC.
2
2 2 2
a 2 8
a 2 ; a
2 3
 
  
 
 
 
El área total : AT=6a2
AT=16m2
Vértice o cúspide
Altura
Generatriz
Base
h
h
Base
(A )h
V
3

En general:
V:Volumen
CONO
CONO DE REVOLUCIÓN
O CONO CIRCULAR RECTO
h
A
B
V
o
r
g
g
r
360º
SL
A rg

 2
r h
V
3


DESARROLLO DE LA SUPERFICIE
LATERAL
g
2
r


r
(360 )
g
  
TRONCO DE CONO CIRCULAR RECTO O DE REVOLUCIÓN
SL
A (R r)g

  2 2
ST SL
A A r R
 
  
2 2
h
V (R r Rr)
3

  
h
A
B
O1
r
g
g
r
360º
R
A´
B
o2
Generatriz del
tronco de cono
Eje de giro
r
DESARROLLO DE LA SUPERFICIE LATERAL DE UN
TRONCO DE CONO DE REVOLUCIÓN
 : medida del ángulo de desarrollo.
R r
360
g

 

 
 
 
r
g
R
g
2 R

2 r


r
ST SL
A A
  ABASE

27. 61
Cilindros - Esferas y Teorema de Pappus - Guldin
GEOMETRÍA
INDICADORESDELOGRO:
- Identificar las características y propiedades, de cilindros y esferas, y anota en un recuadro
- Analizar problemas, de cilindros y esferas, y señala las relaciones y teoremas principales que solucionan el problema.
- Resolver problemas, de cilindros, esferas y teoremas de Pappus y Gulding, con fundamento lógico.
CILINDRO
Base
Altura
Sección
recta (SR)
Generatriz
Base
h
g
CILINDRO OBLÍCUO DE SECCIÓN RECTA CIRCULAR
SL SR
A (2p )g

ST SL base
A A 2(A )
 
base
V (A )h

SR
V (A )g

CILINDRO RECTO
O O; E;e
12
O1
O2
r
r
g
h
gM
Sección
recta (S.R)
R
A
C
B D
h1
h2
g m
Base O2
O1
TRONCO DE CILINDRO OBLÍCUO DE SECCIÓN RECTA CIRCULAR CILINDRO DE REVOLUCIÓN
M m
SL SR
g g
A (2p )
2

 
  
 
 
M m
SR
g g
V A
2

 
  
 
 
g
r
r
h
r
Eje de giro
360º
SL
A 2 rg

 ST
A 2 r(g r)

 
2
V r g


Sus generatrices son perpendiculares
a sus bases.
Cilindro recto, cuyas bases son círculos
CUÑA CILÍNDRICA
R h
360º
V 
h
2 2R h
3
V 
2
UÑA CILÍNDRICA
14 CILINDROS - ESFERAS Y TEOREMA DE
PAPPUS- GULDIN

28. 62 Cilindros - Esferas y Teorema de Pappus - Guldin
GEOMETRÍA
SUPERFICIE ESFÉRICA
al girar 360° en torno a su diámetro.
SE
A =4 R

SE
2
360º
Eje de giro
2R
R O
Circunferencia máxima
Plano tangente
O R
R
H
Circunferencia menor
Plano secante
T
circunferencias determinadas por dos planos paralelos y
secantes a la superficie esférica
A = 2 Rh

ZE
ZONA ESFÉRICA
360º
Eje de giro
h
R
O
O
R
h
Arco
generador
un plano secante a ella.
A = 2 Rh

CE
CASQUETE ESFÉRICA
A = ( AB)

CE
2
360º
Eje de giro
R
O
A
R
h
Arco
generador
B
semicircunferencias máximas del mismo diámetro.
HUSO ESFÉRICO
A : Área del Huso Esférico
HE
: Medida del ángulo del huso o ángulo de giro

2
HE
R
A
90
 



Eje de giro
R
O O
R

Semicircunferencia generadora
ESFERA
Se denomina superficie esférica al conjunto de todos los puntos que equidistan de un punto fijo del espacio, denominado centro, y a la
distancia se le conoce como radio.
Al conjunto de todos los puntos de la región espacial encerrada por la superficie esférica y los puntos de la misma superficie, se le conoce
como esfera y es, además, considerado un sólido

29. 63
Cilindros - Esferas y Teorema de Pappus - Guldin
GEOMETRÍA
VOLUMEN DE UNA ESFERA
DEFINICIÓN:
Es aquel sólido generado por un semicírculo al girar 360° en torno a su diámetro.
360º
Eje de
giro
R
O
Plano tangente
O R
R
Círculo menor
Plano secante
T
R
r
Semicírculo
generador
3
E
4
V R
3


CUÑA ESFÉRICA
Es aquella porción de esfera que está limitada por dos
semicírculos máximos que tienen el diámetro en común
y por el huso esférico correspondiente.
SECTOR ESFÉRICO
Es aquel sólido generado por un sector circular al girar
360° en torno a un diámetro del círculo correspondiente,
estando el sector en un mismo semiplano respecto del
eje de giro..

Eje de giro
R
O O
R

Semicírculo generador
R
ANILLO ESFÉRICO
Es el sólido generado por un segmento circular al girar
3 0° en torno a un diámetro del círculo correspondiente,
6
estando el segmento circular en un mismo semiplano
respecto del eje de giro.
SEGMENTO ESFÉRICO DE 2 BASES
Es la porción de esfera comprendida entre dos planos
paralelos entre si y secantes a la esfera.
3
CE
R
V


270
V : Volumen de la cuña esférica
CE
Eje de giro
360º
A
B
O h
ap
Sector circular generador
O
R
R
2
SE
2
V R h
3


h: Longitud de la proyección ortogonal del arco AB sobre
el eje de giro
V : Volumen del sector esférico
SE
Eje de giro
360º
A
B
O h
Segmento Circular generador
O
l
h : Longiitud de la proyección ortogonal del arco AB
sobre el eje de giro.
: Longitud de la cuerda AB
l
V : Volumen del anillo esférico.
AE
AE
1
V 2
h


 
r2
h
r1
2 2
3
1 2
SE
r h r h
h
V
6 2 2
 

  
V : Volumen del segmento esférico de dos bases.
SE
h : Distancia entre los planos paralelos.
x 
Círculo máximo

30. 64 Cilindros - Esferas y Teorema de Pappus - Guldin
GEOMETRÍA
PROBLEMASPROPUESTOS
01. Del gráfico P, Q y T son puntos de tangencia
R = 3u el volumen del cono de revolución es 15p u3 y
OT 15 u
 . Calcula el área de la superficie esférica de centro
O1.
a) 16 u2 b) 12 u2 c) 8 u2
d) 4 u2 e) 3 u2
02. Una esfera se encuentra inscrita en un cilindro, si el área de la
superficie esférica más el área total del cilindro es 31,40u2. Calcu-
la el volumen de la esfera.
a)
3
9
u
4

c)
3
8
u
3

c)
3
2
u
3

d)
3
4
u
3

e)
3
10
u
3

TEOREMA DE PAPPUS - GULDIN
SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN
El área de la superficie generada por una línea plana al girar 360°
en torno a una recta coplanar y no secante a dicha línea es igual
al producto de las longitudes de la línea y de la circunferencia
que describe su centroide.
SG
A L2 X


A : Área de la superficie generada
SG
L : Longitud de la línea AB
C : Centroide de la línea AB
X : Radio de la circunferencia descrita por el centroide.
SÓLIDO DE REVOLUCIÓN
El volumen del sólido generado por una región plana al girar
360° en torno a una recta coplanar y no secante a dicha región
es igual al área de la región multiplicada por la longitud de la
circunferencia que describe su centroide.
SG
V A2 X


V : Volumen del sólido generado
SG
A : Área de la región generadora.
C : Centroide de la región generadora
X : Radio de la circunferencia descrita por el centroide.
360º
A
B
Eje de
giro
C
x x
Corte de la Superficie
generada
360º
A
Eje de
giro
x
x
Corte de la Superficie
generada
C
BIBLIOGRAFÍA:
* BRUÑO (1966). Geometría curso superior
(España Ediciones Bruño)
* ACADEMIA CESAR VALLEJO (2001). Compendio
académico de matemática. Lima. Lumbreras editores
* ACADEMIA ADUNI (2003). Compendio académico de
Matemática. Lima. Lumbreras Editores
* ASOCIACIÓN EDUCATIVA PITÁGORAS (2004). GEOMETRÍA.
Lima. Perú Editoras.
* DEZA V. NELSON (2004) Geometría Tomo I y II. Lima. Academia APPU
* UBALDO CABELLEROP L. (2004) Geometría. Lima. Luc. Ediciones.
* ACADEMIA TRILCE (2006) Geometría. Lima. Asociación Educativa Trilce.
* ANCCAS TAYPE C (2009) Geometría. Lima. Talento UNI - San Marcos
03. La altura y diámetro de un cono de revolución son iguales al
radio de una esfera de 4 cm3 de volumen. Calcula el volumen del
cono.
a)
3
1
2 cm
5
b)
3
1
cm
5
c)
3
1
cm
4
d)
3
1
cm
8
e)
3
1
cm
10