1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
180   
CEPUNS R 
360  
  R.T.()
RT() 
Ciclo 2013-II  90   
R    Co  R.T.()
TRIGONOMETRÍA 220  
“Reducción al Primer Cuadrante” Semana Nº 6
Definición:
Tanº  Tan (270 º 30º )   Cot 30º  3
 240
 
Es el procedimiento mediante el cual se determinan
las razones trigonométricas de un ángulo que no es * ()
agudo, en función de otro que sí lo sea.
Csc 330 º  Csc(360 º 30 º )  Csc 30 º  2
 
 
R.T.( ) R.T.( )
* ()
II. Ángulo cuya medida es mayor que 360º:
: no es agudo : sí es agudo En este caso, se procede de la siguiente manera:
La conversión de una razón trigonométrica (R.T) de
un ángulo cualquiera en otra razón equivalente de un R.T. () = R.T. () ; donde  360º
ángulo del primer cuadrante se llama:”reducción al q
primer cuadrante”
También reducir al primer cuadrante un ángulo Residuo
significa encontrar los valores de las RT de cualquier
ángulo en forma directa mediante reglas prácticas. Por ejemplo, calculemos:
Casos:
3
I. Ángulos cuyas medidas están en Sen 2580 º  Sen 60 º  * Tan 3285º = Tan
2
<90º ; 360º>: En este caso, el ángulo original "α"
se descompone como la suma o resta de un ángulo
2580º 360º 3285º 360º
cuadrantal (90º ; 180º ; 270º ó 360º) con un ángulo 2520º 7 3240º 9
que sea agudo; para luego aplicar :
* 60º 45º
180    3
R   Sen 2580 Sen 60º.()
º R.T  * Tan 3285º = Tan45º = 1
RT()  360   2
 2580º  
90  360º 3285º 360º
R   Co  R.T.()
 2520º 
220   7 3240º 9
60º 45º
Donde el signo que deberá anteponerse al
resultado dependerá del cuadrante al que pertenezca *
el ángulo original " α " Sec1200º = Sec120º = Sec(90º + 30º) =  Csc30º =  2
 
1200º 360º ()
Por ejemplo; calculemos: 1080º 3
3
Sen120 º  Sen (90 º 30 )  Cos 30 º 
 
 
120º
()
2
* Si el ángulo estuviese expresado en radianes, se
procede de la siguiente manera:
1
Cos120 º  Cos(180 º  60º )  Cos60º  
 
  Sen133   Sen 1   1

2 * Cos127  C
* () 2 2 3
133 4 127 6
132 33 126 21
* 1 1
1
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Por ejemplo, calculemos:
* Cos127   Cos 1  1 C  Cos   Cos 2  Cos 3   Cos 4   Cos 5   Cos 6 
3 3 2 7 7 7 7 7 7
127 6
En esta expresión note que:
126 21   6     Cos   Cos 6 
1 7 7 7 7
 
R.T. a   ; a  2b 2   5     Cos 2   Cos 5 
Es decir, si fuese:  b  7 7 7 7
Se divide: 3   4     Cos 3   Cos 4 
a 2b 7 7 7 7
q Luego:
r este residuo reempla za al numerador "a "
C   Cos 6   Cos 5   Cos 4   Cos 4   Cos 5   Cos 6 
Tan 1315   Tan 3  * Sen 1345 7 7 7 7 7 7
4 4 3
Reduciendo, quedaría C = 0
1315 8 1345
51 164 PROBLEMAS RESUELTOS
35
3 1. Reducir:
*
sen(180º ) tg 270º   sec 90º  
Q  
III. Ángulos de medida negativa: Se cos(90º ) ctg 360º   csc 180º  
procede de la siguiente manera: A) 0 B) -3 C)-1
D) 3 E) 1
Sen(-x) = -Senx Csc(-x) = -Cscx RESOLUCIÓN
Cos(-x) = Cosx Sec(-x) = Secx  Q  sen  ctg    csc 
sen  ctg csc 
Tan(-x) = - Tanx Cot(-x) = - Cotx  Q   1   1   1  1
Por ejemplo, calculemos:
RPTA.: C
2
Sen (45 º )   Sen 45 º  
* 2
2. Si    
Cos (60 º )  Cos 60 º  1 3
* 2 Calcule:
sen  15    cos 92    
Tan (120 º )   Tan 120 º   Tan (90 º 30 º )  (Cot 30 º )  3 P
 
   927    1683  
() sec     csc   
 2   2 
IV. Ángulos relacionados: A)  3 B)  1 C) 1 D) 3 E) 5
16 16 16 16
Senx  Seny 16

Si : x  y  180º Cosx  Cosy
Tanx   Tany RESOLUCIÓN

1. sen  15      sen 15        sen    sen 
cos 92     cos 
Senx   Seny  1683  
 csc       sec 
Si : x  y  360º Cosx  Cosy  2 
Tanx   Tany  927  
 sec      csc 
2.  2 
Reemplazando:
2
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P
 sen    cos   
sen  cos  * ctg 2   3   ctg 2  2     ctg 180     ctg 
 csc    sen   1
sen  cos 
sen2  cos2   Q
 cos 2 tg 
 Q
 cos 2

reemplazando: cos 2 ctg  cos 180  2
 tg 90   
 ctg 
3
   
P  sen2    cos2    
 3  3
 Q
 cos 2 ctg 
 2
2  cos 2 ctg 
 3   1 3
2
   RPTA.: D
 2   2
   16
 
RPTA.: A 5. Reducir:
H  cos 7  cos 3  cos 4  cos 6

7 7 7
3. Reduce:
cos  x   cos 24  x   cos 53   x 
W A) 0 B) 1 C) 2 D) ½ E) 3
 47 
sen  x 
 2  RESOLUCIÓN
A) -1 B) 1 C) -3 D) 3 E) 0
H  cos 7  cos 3  cos 4  cos 6

RESOLUCIÓN 7 7 7
 3 3  
* cos  x   cos x H  cos  cos

 cos     cos   
7 7  7 
  7
* cos 24   x   cos 2  12  x   cos x
 3 3 
* cos 53   x   cos 52     x   cos    x    cos x H  cos  cos  cos  cos
7 7 7 7
* 
sen  x 
47   47
 sen 

 x   sen  22  3  x 
 2   2 

 2 
 H=0 RPTA.: A
 cos x  cos x   cos x
W     
cos x 6. Si: ctg20  a
 W=1 RPTA.: B Calcule: csc 200º sen110º
E
cos 290º csc 430º
4. Siendo “  ” y “  ” las medidas de dos
A) a B) -a C) a2 D)  a2 E) 1
ángulos complementarios:
RESOLUCIÓN
cos 2  4  tg 3  2 
Q  ( ) ()
cos 4   6  ctg 2  3  E
csc 200 sen110 
  ()
A) -1 B) 1 C) 0 D) -2 E) 2 cos 290 csc 430 
() 
RESOLUCIÓN csc 20 sen70
E
sen20 csc 70
*     90 csc 20 cos20
E
sen20 sec 20
* cos 2   4   cos 2   2  2   cos 180  2   cos 2 cos2 20º
E
sen2 20º
2
* cos 4  6    cos 4  4  2   cos 360º 2    cos2   cos 20 
E   
 sen20 
* tg 3  2   tg 2   2     tg 180º    tg 
E   ctg2 20º
3
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4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
E  a2 RPTA.: D  
sec1217   2
I.  6
PROBLEMA DE CLASE n
II. sen(n)  cos(n)  (1) , n  Z
1. Calcular:
 2 3 29 (csc  csc ) ctg  o
R  Cos  Cos  Cos  . . .  Cos III. Si:
 30 30
30  30
Entonces  pertenece al IIIC:
29 Tér min os
a) 0 b) 1 c) - 1 d) 2 e) – 2 A) Sólo I B) Sólo II
C) Sólo III D) II y III E) Todas
2. Simplificar:
Tan  5    Sen  7    Sec  9    
      8. Si  es un arco del primer cuadrante positivo
K  2   2   2 
Cos (5   )Csc(7   )Ctg(9   ) y menor que una vuelta, hallar el intervalo de
sen(  ) . Si: 1    2 .
a) 0 b) - 1 c) 1 d) - 2 e) 2
A) cos 2  sen( )  1
3. Cuál es la relación que existe entre x e y. B) -1  sen()  sen1
 40  x   15  4 x  2 y   89  C) -1  sen()  cos1
Tg   Ctg    Cos 
 10   10   2  D) cos1< sen()  1
a) 2y = 3x b) y = 3x c) 2y – 3x = k
d) y = 3x + k e) 2y – 3x = 2k E) sen2 < sen()  1
 9. Reduzca:
4. Sabiendo que:
    
 37   77  E  csc  2005     tg  2003    
Ksen    ctg     cos(sen)   2  
 2   2 
  17    23 
Entonces el valor de: M = |sen + csc| en csc  2     c ot  2    
x     
términos de K es: (k > 0)
a) 2 b)1 c) -1 d)-2 e)0
( k 2  1) ( k 2  1)
A)2K B) 1/K C) 2/K D) 2 E) k
10. Al reducir: (Examen de admisión 2011 – II)
 37 
tg 99  x . cos   x . sec90  x 
5. En un cuadrilátero convexo ABCD se cumple:  2 
R 
A B C A B C  91 
 sen(A  B  C)  cos2      sen2     ctg   x .sen 40  x 
 2 2 2 2 2 2  2 
Entonces el valor del ángulo D es: a) 1 b) senx c) cosx d) - secx e) cscx
A) 45º B) 60º C) 90º D) 135º E) 150º
11. Si: cos 10º = a. ¿a que es igual
E = sen100º.cos190º?
 3
 a) a b) 2a c) a/2 d) a2 e) -a2
6. Dado el siguiente intervalo: 2 2
(Segundo examen sumativo 2011 – II)
Además:
 
cos   sen tg  ctg
 12. ¿Qué relación existe entre a y b? sabiendo
5; 5 . Calcular:
que:
A) 2/5 B)/5 C)3/5 D)4/5 E) 
 2a  3b   6  3a  2b 
Tg   Ctg 0
7. Cuál de las siguientes proposiciones son  8   4 
verdaderas: a) ½ b) 1/3 c) ¼ d) 1/5 e) 1/6
13. El valor de la siguiente expresión:
4
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Es igual a: PROBLEMA DE REPASO
   
Sen  7   Sen   
 12    12  1. Simplifique:
    7  sec(x  360).cos(x  270)tg(180  x)
Cos   Cos   E
 12   12  cos(270  x).sen(x  306)csc(90  x)
a) 0 b) 1 c) – 1 d) 2 e) - 2 a)-1 b)-sec x c)cotx d)-cotx e)-tgx
14. Analice la veracidad de las proposiciones 2. Determinar el valor de: Cos1200º
siendo , n  Z 3
i. Sen(n   )  Sen a) 1 b) 0 c) ½ d) -½ e) 2
ii. Sec(781  Cos )  Sec(Cos )
iii.  1 1 3. Simplificar:
Ctg  3n    Ctg  
  3 
 x  x Tg    Tg     Ctg    Ctg 
 . 
a) FFFF b) FFVF c) FVVV E  2    2 
d) FVVF e) VFVF     .Ctg    
Ctg   3 
 Tg    Tg 
.  
2   2 
15. Si A y B son ángulos complementarios, al a) -2 b) 0 c) 1 d) -1 e) 2
simplificar:
4. Si a y b son ángulos complementarios,
Sen (A  2B)Tan (2 A  3 B)
E simplificar la expresión:
Cos (2 A  B)Tan (4 A  3 B)
Sen 6a  7b.Tg 13b  14a
Se obtiene: M
Cos 4b  5a.Tg 10a  11b
a) 3 b) 2 c)  2 d)  1 e) 1 a) -2 b) -1 c) 2 d) 0 e) 1
5. Del gráfico.
16. Si A y B son ángulos complementarios, al y
simplificar:
Sen (A  2B)Tan (2 A  3 B)
E
Cos (2 A  B)Tan (4 A  3 B)
Se obtiene: b x
a
a) 3 b) 2 c)  2 d)  1 e) 1
17. Del gráfico, calcule: Tg
C Determinar:
 
3 Sen  a  b   Sena  Senb
K  3 
 
6 Cos  a  b   Cosa  Cosb
 6 
1 1 1 1 1
45º a) 2 b) 3 c) 4 d) 2 e) 3
A B
M
 
xy
6. Si 2 entonces al simplificar:
a) 1 b) 2 c) -1 d) -2 e) ¾
3sec x.sec y cos(8x  9y)
F 
tgx  tgy sen(9x  8y)
Se obtiene:
5
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a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)5 13. Simplifique:
sen179  sen173  sen167  sen161
E
 3  3 cos109  cos103  cos97  cos91
tg     
7. Si se cumple:  2  2
a) 2 b)0 c)-1 d)1 e)-1/2
M  13 sen(2)  cos(  )
Calcular: 14. Del gráfico, hallar: Tg
IIC C
1

a) 5 b) -3 c) -2 d) -5 e) 13
 37º
8. Calcule el valor de: A
D
B
M  tg 11  5csc 5  2sec 10 a) ¾ b) -3/4 c) 3/7 d) -3/7 e) -4/7
4 6 3
a) 6 b)5 c)4 d) 2 e) 3 cot  1,4.
15. De la figura, calcule tg cot , si
y
9. Simplifique:
(a-4;a)
sec(x  360).cos(x  270)tg(180  x)
E
cos(270  x).sen(x  306)csc(90  x)
a) -1 b)-sec x c)cotx d)-cotx e)-tgx x
 
sec  x  3   2 a) -74/35 b) -15/24 c) -7/24
10. Si
 2 
d) -12/35 e) -24/35
 17 
cos  x  
P  2  tg 3sen 4cos   4cot   3  3
 11  16. Si
3sec  x  
Calcule:  2  Además
IC y IIC Halle el valor de:
a)-3/10 b)-1/10 c) ½ d)-1/12 e)-1/14 E  10 sec(180º )  5sen(  270º)
a) 6 b) -4 c) -10 d) 14 e) 13
11. Calcule el valor de:
cos(20)  cos(160) 17. Si a y c son suplementarios, además a y b son
Q
cot(35).cot(55).sen110 complementarios. Reducir:
a)0 b)-1 c)1 d)-2 e) 2 4 cos(2a  3c)Csc(4b  3c) Sen(a  b  c)
M 
tg (a  b  c) Sen(a  b  c)
12. Si se cumple que: a) -3 b)2 c) -1 d)-2 e) 0
cos300° = n.tg225°
18. Calcular el valor de
 2   8  143
sec      m.sec     Tg
 5   5  6 
E  Cos(2k  1) ; k  Z
109 253 2
Calcule: m + n Sen  Sec
3 6
a) 2 b)0 c)3/2 d)4 e)-1/2 a) 2 b)  2 c) 2 3 d) 2 3 e) 2 3

7 7 21 21 15
6
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