factorización métodos y técnicas para una buena preparación universitaria

1. SITUACION SIGNIFICATIVA:
La BBC reconoce al peruano Pedro Paulet como pionero mundial de la era espacial
El peruano Pedro Paulet ha sido reconocido por la BBC en español
como pionero de la era espacial, debido a que sus ideas sirvieron de
base para propulsar al hombre a la Luna y realizó conceptos y diseños
de naves aeroespaciales.
La NASA tomó como punto de referencia sus diseños y es por esto que
es considerado el padre de la astronáutica y pionero de la era espacial.
Este arequipeño nacido en 1874, tenía una obsesión por la Luna y el
espacio, inspirado en la novela de Julio Verne “De la tierra a la Luna”.
Aunque en Perú se le relaciona con la vida militar, Paulet fue el inventor
del primer cohete de combustible líquido, cuenta Álvaro Mejía,
investigador de su obra y documentalista. "Su trabajo y logros no se
enseñan en colegios, su historia está poco documentada y todavía su
obra está dispersa en muchas bibliotecas del mundo", señala Mejía,
quien está preparando una película sobre la vida de Paulet titulada "El
niño que soñaba con la Luna".
Paulet era un chico con pocos recursos que casi se queda sin poder
estudiar en la universidad. "Pero el rector de la Universidad San
Agustín de ese entonces lo invitó a dar un examen ante varios
profesores y terminó ovacionado. Era un genio", cuenta Mejía.
Luego, el gobierno peruano le dio una beca para estudiar Ingeniería y
Arquitectura en la Universidad La Sorbona, donde terminó los diseños
de su "motor-cohete" alimentado por combustible líquido. Este cohete
se convertiría luego en el "autobólido", una nave aeroespacial que
diseñó en 1902 y que nunca llegó a fabricarse.
Paulet ocupó cargos diplomáticos en Europa y América Latina,
generando polémicas con científicos de la época. Incluso, ante el auge
nazi, científicos alemanes quisieron usar sus ideas del motor cohete
para misiles de guerra. Paulet nunca les entregó la fórmula, pero con
los años, los nazis lograron su objetivo: en 1944, las ciudades de Amberes y Londres fueron bombardeadas por las tropas de Hitler
con misiles A2 de combustible líquido. Este combustible líquido de los nazis estaba representado por el polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥4
+
(𝑎2
− 1)𝑥3
− 𝑎𝑥2
+ (𝑎2
+ 1)𝑥 − 𝑎; siendo un polinomio factorizable.
¿Cómo? Wernher von Braun, un científico afiliado a la SS de Hitler, logró imitar el diseño de Paulet. A pesar de no coincidir con las
ideas nazis, fue obligado a trabajar para ellos, pero siempre consideró a Paulet como el pionero de la propulsión con combustible
líquido que usan los cohetes espaciales
Un año después, Paulet falleció en Buenos Aires a la edad de 71 años, sin embargo, von Braun llevó sus ideas a la NASA, donde
dirigió el programa espacial que en 1969 lograría el ansiado objetivo de llegar a la Luna, que se logró usando motores de
combustible líquido.
Pero Von Braun, quien se quedó con el crédito, en uno de sus libros reconoció el aporte del peruano en el alunizaje. "Paulet debe
ser considerado como el pionero del motor a propulsión con combustible líquido", escribió el científico en su libro "Historia de la
cohetería y los viajes espaciales".
Analiza y responde:
 ¿Qué significa las iniciales BBC?
 ¿Por qué es considerado el peruano Pedro Paulet como el pionero mundial de la era espacial?
 ¿Qué significa NASA?
 ¿Cómo se llamara la película de Pedro Paulet?
 Elabora una línea de tiempo sobre la vida de Pedro Paulet
 ¿Cómo Wernher Von Braun pudo calcular la suma de los coeficientes de uno de sus factores primos en la elaboración de
los misiles A2?

2. COMENTARIO PREVIO:
Desde tiempos muy lejanos en todo argumento matemático
estuvo presente siempre, la teoría de números los cuales se
apoyan en la parte algebraica, como una necesidad para
facilitar la resolución de las ecuaciones polinómicas surgen los
diversos procedimientos de transformación de polinomios a
loscualesselesdenominaFACTORIZACIÓN,enelcualsebusca
expresar un polinomio como una multiplicación indicada de
otrospolinomiosde menorgrado.
Recordemos que en la multiplicación algebraica se aplica
la propiedad distributiva, de la siguiente manera.
xzxyx)zyx(x 2 
Por medio de la factorización podremos restituir los
factores de una expresión que se obtuvo de la ejecución
de una multiplicación, veamos:
)zyx(xxzxyx2 
De lo expuesto concluimos que la factorización es el
procedimiento recíproco al establecido por la propiedad
distributiva de la multiplicación con respecto a la adición
y/o sustracción. Con la finalidad de ser más objetivos
observa la siguiente ilustración:
x (x + y + z) = x2
+ xy + xz
En este capítulo desarrollamos el tema con algunos
conceptos de los números reales, polinomio irreductible,
factor primo, así como los criterios para poder factorizar
polinomios sobre determinados conjuntos numéric
TRANSFORMA LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS APLICANDO LA FACTORIZACIÓN
DEFINICION:
Es el proceso de transformaciones sucesivas de un
polinomio en una multiplicación indicada de polinomios
primos, denominados Factores primos, dentro de un
conjunto numérico.
FACTOR PRIMO:
Es la mínima expresión algebraica en la que sus
elementos se encuentran ligados por las diferentes
operaciones aritméticas, excepto la adición y sustracción.
Ejemplo:
49x)x(f 4

a) Factorizando en el conjunto Q.
  
QenimosPr
22222
)7x)(7x(7)x()x(f 
Existen 2 factores primos en Q
b) Factorizando en el conjunto R
f(x) = (x2
+ 7) (x2
– 7)
  
RenimosPr
2
)7x)(7x)(7x()x(f 
Existen 3 factores primos en R
c) Factorizando en C, tendremos:
)7x)(7x()7x()x(f
2
 
f(x) = [x2
– ( 7 i)2
] (x+ 7 ) (x – 7 )
  
CenimosPr
)7x)(7x()i7x)(i7x()x(f 
Existen 4 factores primos en C
OBSERVACIONES:
Generalmente el conjunto numérico a utilizarse será el
de los racionales, salvo se indique lo contrario.
NÚMERO DE FACTORES PRIMOS
El número de factores primos depende del conjunto
numérico en el que se trabaje. En los racionales el
número de factores primos se calcula contando los
factores de la base.
Ejemplos:
a) F(x) = (x + 1) (x2
–x+1) Tiene 2 factores primos
b) P(x) = (x–1)2
(x+2) (x+2) (x–5)3
P(x)  Tiene 3 factores primos
NÚMERO DE FACTORES DE UN POLINOMIO
COMPETENCIA CAPACIDAD DESEMPEÑO PRECISADO
Resuelve problemas de
equivalencia regularidad y
cambio
Comunica su relación sobre las
relaciones graficas
Transforma esas relaciones a
expresiones algebraicas o graficas
(modelos) que incluyen la regla de
formación de factorización mediante
un organizador visual y creativo

3. Dado el polinomio “P”, el cual luego de ser factorizado
totalmente se expresa así:
cba
CBAP 
Siendo A, B y C sus factores primos; el número de factores
del polinomio P, se calcula de la manera siguiente:
)1c)(1b)(1a(Fact# 
Ejemplo:
Sea P(x)= (x–1)2
(x+2) (x–5)3
N° factores = (2+1) (1+1)(3+1)
24FactoresN 
NÚMERO DE FACTORES COMPUESTOS:
Los Factores compuestos resultan de la combinación de
los Factores primos:
Ejemplo:
P(x, y) = x2
y, tienen los siguientes, factores:












compuestoFactor:x
compuestoFactor:x
compuestoFactor:xy
PrimoFactor:y
primoFactor:x
polinomiocualquierde
factorescero,gradodePolinomio:1
2
2
2
y
yx
Por lo tanto:
x2
y: tiene 6 factores y 3 factores compuestos.
Cálculo de manera directa: P(x, y) = x2
y
N° factores = (2+1)(1+1) = 6
N° Fact. compuesto = 6 – 2 – 1= 3
FACTORES ALGEBRAICOS
Se denomina así, aquel que por lo menos tiene, o
presenta una variable.
Ejemplos Explicativos:
01. F(x) = (x + 1)2
(x – 4)3
.
Hallar el número de Factores algebraicos
Resolución:
* Número de factores = (2+1) (3+1) = 12
* Número de factores Algebraicos = 12 – 1 = 11
P(x) =
primo.fact
2
primo.factprimo.factesNo
)2x()1x(6


Por lo tanto colocamos los factores primos del 6, de la
siguiente manera:
P(x) = 2 . 3 (x – 1) (x – 2)
2
Existen 4 Factores Primos
Luego:
Nºde Fact.totales = (1+1)(1+1)(1+1) (2+1) = 24
Factores Primos del N° 6 : 2; 3
N° de Divisores del 6 = (1+1) (1+1) = 4
Por lo tanto:
N°Fact. Algebraicos = N° Fact totales - N° Divisores del
número 6
Reemplazando:
N° Fact Algebraicos = 24 - 4
20.lgA.FactN 
MÉTODOS DE LA FACTORIZACION:
A) FACTOR COMÚN MONOMIO Y/O POLINOMIO
Se utiliza cuando todos los términos del polinomio tienen
un factor que le es común. El factor común puede ser un
monomio o un polinomio.
Ejemplo:
Factorizar: 91187510
yx25yx10yx5 
)yx5y2x(yx5 4433
monomio
comúnFactor
57

Factorizar:
P(x, y, z) = (x – y + z) a + (y – x – z) b
P(x, y, z) = (x – y + z) a – (x – y + z) b
P (x, y, z) = )ba()zyx(
polinomio
comúnFactor
 
B) MÉTODO DE AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS.
Consiste en agrupar los términos del polinomio por
binomios, trinomios, que luego de descomponerlos a su
vez en dos factores, aparece algún factor común a todas
las agrupaciones realizadas.
Ejemplos explicativos:
1) Factorizar:
F (a, b, c)= abc + ab + ac + bc + a + b + c + 1

4. Resolución:
Agrupando en la forma indicada.
1cbabcacababcF 

F = ab (c + 1) + a(c + 1) + b(c + 1) + (c + 1)
)1baab()1c(F 
F = (c + 1) [a(b + 1) + (b + 1)]
Del corchete se extrae el factor común (b + 1):
)1a)(1b)(1c(F 
2) Factorizar:
76
524334567
yxy
yxyxyxyxyxx)y,x(A


Resolución:
Agrupando convenientemente:
A(x, y)=x6
(x+y)+ x4
y2
(x+y)+ x2
y4
(x+y)
+y6
(x+y)
Extrayendo Factor común:
A(x, y)=(x + y) ( 642246
yyxyxx  )
A(x, y)=(x + y) [x4
(x2
+ y2
)+ y4
(x2
+ y2
)]
Extrayendo el Factor común: (x2
+ y2
) dentro del
corchete.
)yx)(yx)(yx()y,x(A 4422

Obsérvese que:
Existen 3 factores primos: (x+y), (x2
+ 42
) y (x4
+ y4
)
Presenta 1 Factor Lineal: (x + y)
Presenta 1 Factor cuadrático: (x2
+ y2
)
C) MÉTODO DE LAS EQUIVALENCIAS
Consiste en aplicar las equivalencias o productos
notables de manera directa o inversa, es decir, del
producto pasar a los factores. Veamos algunos Ejemplos
explicativos:
1. Factorizar
N = x6
– x4
+ 2x2
– 1
Resolución
Agrupando los tres últimos términos y extrayendo el
signo (–).
N = x6
– ( 1x2x 24
 )
N=x6
– 22
)1x(  ...... Diferencia de cuadrados
 )1xx)(1xx( 2323

2. Factorizar:
P(a,b,c,d) = bc2ad2dacb 2222 
Solución:
P(a,b,c,d)= )ad2da()bc2cb( 2222

P(a,b,c,d)= 22
)da()cb(  Diferencia de
cuadrados .
)dacb)(dacb()d,c,b,a(P 
D) MÉTODO DEL ASPA SIMPLE
Se utiliza para factorizar polinomios que adoptan la
siguiente forma general:
n2nnn2
cyybax 
El método consiste en descomponer los términos
extremos, de tal manera que al multiplicar en aspa y
sumar los resultados y nos produzca el término central,
siendo los factores las sumas horizontales.
Ejemplo Explicativos:
1. Factorizar: 8x2
– 22x + 15
Resolución
8x2
– 22x + 15
4x – 5 = – 10x +
2x – 3 = – 12x
– 22x
 Los factores son: (4x - 5) (2x - 3)
2. Factorizar: abx2
+ (a2
+ b2
)x + ab
Resolución:
abx2
+ (a2
+ b2
)x + ab
ax +b = b2
x +
bx +a = a2
x
x(a2
+ b2
)
 Los factores son: (ax + b) (bx + a)
E) MÉTODO DEL ASPA DOBLE
Se emplea para factorizar polinomios que tiene la sgte.
forma general
FEyDxCyBxyAx 22

Pasos:
1° Se trazan 2 aspas simples entre los términos:
(Ax2
 Cy2
), admás (Cy2
 F)

5. 2° Si faltaran términos se completarán con ceros
3° Se traza un aspa simple de comprobación entre los
extremos
5° Se forman factores como el método anterior
(horizontalmente)
Ejemplos explicativos:
1) Factorizar:
A(x, y) = 3x2
+ 4xy + y2
+ 4x + 2y + 1
Resolución:
A (x,y) = 3x 2
+ 4xy + y 2
+ 4x + 2y + 1
3x
x
+y
+y
+1
+1
(I) (II)(III)
Comprobaciones:
(I) : (3x) y + x (y) = 4xy
(II) : y (1) + y (1) = 2y
(III) : 3x (1) + x (1) = 4x
Finalmente:
 (3x + y + 1) (x + y + 1)
F. MÉTODO DEL ASPA DOBLE ESPECIAL:
Se utiliza para factorizar polinomios de 4to. grado de la
forma general.
Ax4
+ Bx3
+ Cx2
+ Dx + E
Pasos:
1° Se aplica un aspa simple en los términos extremos: (Ax4
 E)
2° El resultado se resta del término central: Cx2
3° Expresar las diferencias en dos factores y colocarlos
debajo del término central.
4° Luego se aplican dos aspas simples, y se toman
horizontalmente.
Ejemplos explicativos
1) Factorizar: A(x) = x4
+ 5x3
+ 9x2
+ 11x + 6
Resolución:
A(x) = x 4
+ 5x 3
+ 9x 2
+ 11x + 6
x2
x2
4x
x
(I)
+3
+2
(II) (III)
Se observa que:
(I) (2) (x2
+ x2
(3) = 5x2
. Luego: 9x2
(término central) – 5x2
= 4x2
. se descompone 4x2
en 2 factores: (4x) (x)
(II) x2
(4x) + x2
(x) = 5x3
(III) 4x(2) + x(3) = 11x
Finalmente:
A(x) = (x2
+ 4x + 3) (x2
+ x + 2)
G. CRITERIO DE LOS DIVISORES BINOMIOS:
Se utiliza para factorizar polinomios de cualquier grado y
de una sola variable que aceptan factores binomios de la
forma (ax  b).
Cero de un Polinomio: Es el valor o conjunto de valores
que tienen la propiedad de anular (valor numérico cero)
a determinado polinomio.
Ejemplo:
Sea: F(x) = x3
+ 3x – 4
Para x = 1
F(1) = 13
+ 3(1) – 4 = 0
 1 será un “cero” de F
REGLA PARA CALCULAR LOS POSIBLES CEROS DE UN
POLINOMIO:
Posibles ceros =
.Coef.er1delDivisores
.indep.TdelDivisores

Ejemplos explicativos
1. Factorizar: P(x) = x3
– 11x2
+ 31x – 21
Resolución:
P.C. =  1,  3,  7,  21
Para x = 1, se anula, luego tendrá un factor (x – 1)
determinando el otro factor por la Regla de Ruffini.
1 -11 31 -21
1 1 -10 21
1 -10 21 0
P(x) = (x – 1) (x2
– 10x + 21)
P(x) = (x – 1) (x – 7) (x – 3)
2. Factorizar: Q(x) = x3
– x – 6
Resolución:
P.C. =  1 ,  3 ,  6

6. Para x = 2, se anula, entonces tendrá un factor (x – 2).
Luego por la Regla de Ruffini
1 0 -1 -6
2 2 4 6
1 2 3 0
Q (x) = (x – 2) (x2
+ 2x +3)
EXPLORANDO MIS SABERES PREVIOS
1. Factor común y / o Agrupación de términos
POLINOMIO FACTORIZADO
# DE FACTORES
PRIMOS
P(x, y, z) = (x + y)(x - y)z2
x3
P(x, y, z) = x2
y3
w5
P(x, y) = (x + y)(x2
– xy + y2
)x4
P(x) = (x - 2)(x + 3)(x - 4)x
P(x, y) = x3
y4
(x - 2)(x - y)
P(x, y, z) = (xyz)2
P(x) = x3
(x4
+ 1)
P(x, y, z) = (x + y)(x + y)(y + z)xyz
P(x, y) = (x + a)(y + b)(x + b)(y + a)
POLINOMIO
FACTORIZACIÓN
MONOMIO COMÚN
P(x, y) = 15x + 25y
P(x) = abx2
– acx
P(x) = 2x2
– 4x + 6x3
P(x, y) = x2
y3
– x4
y + x3
y3
P(x,y)= 5x3
y4
–15x4
y5
+ 2ax5
y5
P(x) = abx2
– ax3
+ bx
P(x, y) = x4
– x3
+ x
P(x) = 2xn
+ xn+1
+ xn+2
P(x) = 3xn
+ 6xn-2
– 12xn-1
P(x, y) = 12nxa
yb
+ 4nxa-1
yb-2
–
8nxa+1
yb+2
POLINOMIO
FACTORIZACIÓN
POLINOMIOCOMÚN
(a - 2)x2
– (a – 2)
y2
(x + y - z) + m2
(x + y - z)
x4
(2ª–5b)+x(2a–5b)–5(2a-5b)
a(p + q) + b(p + q) + c(p + q)
a(a+b-c)+c(a+b-c)+b(a+b-c)
POLINOMIO
FACTORIZACIÓN POR
AGRUPACIÓN
m2
y2
– 7xy2
+ m2
z2
– 7xz2
5a – 3b – 3bc5
+ 5ac5
6x3
–1–x2
+6x
7mnx2
– 5y2
– 5x2
+ 7mny2
d2
m–13c2
n2
–d2
n2
+13c2
m
COMPETENCIA CAPACIDAD DESEMPEÑO PRECISADO
Resuelve problemas de equivalencia
regularidad y cambio
Traduce datos y condiciones a
expresiones algebraicas y gráficas
Expresa con diversas representaciones
graficas o tabulares y simbólicas y con
lenguaje algebraico, su comprensión
sobre la solución de ejercicios de
factorización

7. 2. Identidades
POLINOMIO
FACTORIZACIÓN
IDENTIDADES
c2
– b2
x2
+ 10x + 25
64 – x3
64x2
– 25
49x2
– 14x + 1
25m2
– 36n2
36n2
+ 48xy + 16y2
36x2
+ 84xy + 49y2
3. Aspa simple
TRINOMIO
FACTORIZACIÓN
ASPA SIMPLE
x2
+ 7x + 12
x2
– 2x - 15
X2
+ 8xy + 7y2
x2
+ 2xy – 35y2
4x2
– 12xy + 5y2
12x2
- 8xy – 15y2
4. Aspa doble
 6𝑥2
+ 19𝑥𝑦 + 15𝑦2
− 17𝑦 − 11𝑥 + 4
 15𝑥2
− 22𝑥𝑦 + 8𝑦2
− 16𝑦 + 24𝑥
 28𝑥2
− 69𝑥𝑦 − 22𝑦2
− 36𝑥 − 71𝑦 − 40
 2𝑥2
+ 7𝑥𝑦 − 15𝑦2
− 6𝑥 + 22𝑦 − 8
5. Aspa triple
 6𝑥2
+ 13𝑥𝑦 + 6𝑦2
+ 14𝑥𝑧 + 16 𝑦𝑧 + 8𝑧2
+
21 𝑦 + 19𝑥 + 22𝑧 + 15
 15𝑥2
+ 𝑥𝑦 − 6𝑦2
+ 5𝑦𝑧 − 21𝑧𝑥 + 6𝑧2
−
2𝑥 − 14𝑦 + 8𝑥 − 8
 6𝑥2
+ 7𝑥𝑦 − 5𝑦2
+ 6𝑥𝑦 + 23 𝑦𝑧 − 12𝑧2
+
5𝑥 − 22𝑦 + 37𝑧 − 28
 21𝑥2
− 34𝑥 + 7𝑥𝑦 − 2𝑦 − 7𝑥𝑧 + 2𝑧 + 8
6. Aspa doble especial.
 2𝑥4
+ 𝑥3
− 16𝑥2
+ 8𝑥 − 1
 6𝑥4
+ 5𝑥3
+ 6𝑥2
+ 5𝑥 + 6
 6𝑥4
− 31 𝑥3
+ 25𝑥2
− 13𝑥 + 6
 (𝑥2
− 1)( 𝑥2
− 4) – 3(2x + 3)
7. Divisores binomios o evaluación binómica
 𝑥3
− 3𝑥2
+ 4𝑥 − 2
 𝑥3
+ 2𝑥2
− 𝑥 − 2
 𝑥3
+ 6𝑥2
+ 11𝑥 + 6
 𝑥3
+ 6𝑥2
+ 15𝑥 + 14
8. Artificios de calculo
a) Agrupaciones convenientes
 (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1
 (x – 2)(x+3)(x + 2)(x – 1) + 3
 (𝑥 + 1)2
(x – 3)(x + 5) + 63
 1 + x(x + 1)(x + 2)(x + 3)
b) Quita y pom
 x4
+ x2
+1
 a4
+ a2
b2
+ b4
 a4
+ 2a2
b2
+ 9b4
 x8
– 12x4
+ 16
c) Sumas y restas especiales.
 x5
+ x + 1
 x5
+ x – 1
 x7
+ x5
– 1
 (m + 1)5
+ m + 2
9. Factorización recíproca.
 8x4
– 2x3
+ 13x2
– 2x + 8
 3x5
+ 5x4
+ 3x2
+ 5x + 3
 x6
– 4x5
+ 3x4
– 8x3
– 3x2
– 4x + 1
 x7
+ 8x6
+ 17x5
+ 9x4
+ 9x3
+ 17x2
+ 8x + 1
10. Factorización simétrica y alternada
 (a + b + c)3
– a3
– b3
– c3
 a(b – c)2
+ b(c – a)2
+ c(a – b)2
+8abc
 (a + b + c)3
+ (a – b – c)3
+ (b – a – c)3
+ (c – a –
b)3
 a( b – c)3
+ b(c – a)3
+ c(a – b)3
BIBLIOGRAFIA
- Algebra, universidad nacional Pedro Ruiz Gallo, centro preuniversitario - 2017
- Intelectum evolución, Lima – Perú 2017, editorial San Marcos - Lexicom
- Audaces, Alfonso Rojas, colección Skanners, editorial San marcos 2017
- Algebra colección lumbreras - Perú: lumbreras -2015