El grado de un polinomio o ecuación algebraica es el máximo de los exponentes de las variables en los monomios que lo componen. Para un polinomio de una variable, su grado es el mayor exponente de esa variable entre los monomios. Para polinomios de múltiples variables o ecuaciones, el grado de cada monomio es la suma de los exponentes de las variables, y el grado total es el mayor grado entre los monomios.

1. En álgebragrado de un polinomioesel gradomáximode losexponentesde lasvariablesde los
monomiosque locomponen.Gradotiene básicamente el mismosignificadocuandose refiere aun
polinomiooauna ecuaciónalgebraica.
Índice [ocultar]
1 Grado de un polinomio
2 Grado absolutoyrelativo
2.1 Grado absoluto
2.2 Grado relativoEnálgebragradode unpolinomioesel gradomáximode losexponentesde las
variablesde losmonomiosque locomponen.Gradotiene básicamente el mismosignificado
cuandose refiere aunpolinomiooauna ecuaciónalgebraica.
Índice [ocultar]
1 Grado de un polinomio
2 Grado absolutoyrelativo
2.1 Grado absoluto
2.2 Grado relativo
3 por ejemplotenemosestasdosopciones
3.1 Ecuacionesconuna solaincógnita
3.2 Ecuaciones convarias incógnitas
4 Véase también
5 Enlacesexternos
Grado de un polinomio[editar]
Dado un polinomioPenunacierta variable x,sugradoes el máximode losexponentesde x enlos
distintosmonomiosdel polinomio.Se suele denotarcomo mathrm{gr}[P(x)],yse puede omitirla
variable si nohay posibilidadde confusión. Ejemplo:

2. P(x)=x^5+4x^3-x^7+x+6x^2-5quadRightarrowquadmathrm{gr}(P)=7quad[=mathrm{gr}(-
x^7)]
"La mismadefiniciónse aplicaeneste casoperosolocumpliendolassiguientescondiciones:el
grado de un polinomioesel máximode losgradosde susmonomios.
Ejemplo:Q(x,y,z)=2x^2yz+4x^3y^2-z+7x+6y^2z^4-5quadRightarrowquadmathrm{gr}(Q)=6
quad[=mathrm{gr}(6y^2z^4)]
Las definicionesanterioresnose aplicandirectamente apolinomiosenlosque noaparecen
explícitamente lavariable.Si unpolinomioessimplemente unaconstante numéricasugradose
define como0 (o scriptstyle -inftyparael polinomionulo):
P(x) = a_0 inmathbb{R} Rightarrow qquad
begin{cases} a_0= 0 &mbox{gr}(P)=-inftyane 0 &mbox{gr}(P)=0end{cases}
Esta últimadefiniciónse hace asípara mantenerlacoherenciaenlassiguientespropiedadesdel
grado:
mbox{gr}(PcdotQ) =mbox{gr}(P) +mbox{gr}(Q), qquad
mbox{gr}(PpmQ) le max(mbox{gr}(P), mbox{gr}(Q))
Grado absolutoyrelativo[editar]
El grado absolutoyel grado relativosonoperacionesmatemáticasrealizadassobre untérminode
un polinomio.
Ambasdevuelvenunnúmeronatural.

3. Grado absoluto[editar]
Se obtiene conlasuma de losexponentesde todaslasvariables.
Ejemplo,dadoel término scriptstyle23,a^2, v^3 ,c^3 :
Grado absolutoes3+3+2 = 8.
Grado relativo[editar]
Grado relativoesel valordel exponente relativoacada variable.
Ejemplo, dadoel término7a2b4c7 :
Grado a: 2 ; Grado b: 4 ; Grado c: 7
por ejemplotenemosestasdosopciones[editar]
Ecuacionesconuna solaincógnita[editar]
Una ecuaciónalgebraicaconuna incógnitaesuna igualdadentre dosmiembros(losdosladosdel
signo"=") sonpolinomios.Porejemplo:2x^3+ 6x-4 = 1-x^2 es una ecuaciónalgebraicade grado
tres,que llevalax al Cubo.El grado de una ecuaciónesel mayorde todoslosexponentesalosque
estáelevadalaincógnita.
Ecuacionesconvarias incógnitas[editar]
Cuandotenemosunaecuaciónalgebraicaconvariasincógnitas,se estudiael gradode distinta
manera.Un monomioesun productode incógnitas,multiplicadasasuvezpor números.Por
ejemplo, xyesunmonomio,porqueseríalamultiplicaciónde las incógnitasx e y,y a su vezestá
multiplicadotodopor1 (que nose pone porque multiplicarpor1 es comono hacer nada).Otro
ejemplode monomiosería -frac{7}{3}x^3y^2z^6.Aquílas incógnitassonx,y,z, se multiplicanasí:
la x se multiplicatresvecesasí misma(porque x^3 = x cdot x cdot x),lay se multiplicadosveces
a sí misma,laz se multiplicaseisvecesasí misma,y lostresresultadosse multiplicanentre sí.
Finalmentese multiplicatodoporel número -frac{7}{3}.

4. Para calcularel grado de unaecuacióncon variasincógnitas,anteshemosde calcularlosgradosde
cada uno de losmonomiosque aparecenenlaecuación.El grado de un monomiose calcula
sumandolosexponentesde lasincógnitasque aparecenenel monomio.Porejemplo,el gradodel
monomioxyes2, porque esla sumadel exponentede x (que es1, porque x = x^1) y del
exponentede y(que tambiénes1).El grado del monomio frac{7}{3}x^3y^2z^6es11, que es la
suma de 3 (exponentede x),2(exponente de y) y6 (exponentede z).Nótese que el gradodel
monomio5x^2 sería 2, o sea,sería el exponente de laincógnita,yque siempre podemos
considerarque enunmonomioaparecentodaslasincógnitasque hayenla ecuación,consólo
considerarque estánelevadasal exponente 0.Porejemplo,enlaecuaciónxy -13y^3=4 los
monomiossonxy(aparecenlasdosincógnitasde laecuación,ysu grado es2), -13y^3 (aparece
sólola incógnitay,peropodemosconsiderarque aparece tambiénx conexponente0,puestoque
x^0=1) y 4 (no aparecenni x ni y,pero podemosconsiderarque aparecencomox^0y^0).Así,
podemosverlaecuacióncomoxy -13x^0y^3 = 4x^0y^0. Esto no cambiael grado de ningunode los
monomios.El monomio4tiene entoncesgrado0.
Ahoraestamosencondicionesde calcularel grado de una ecuaciónde variasincógnitas.Este esel
mayor de losgrados de todoslosmonomiosque aparecenenlaecuación.Porejemplo,enla
ecuaciónxy -13y^3=4 el grado es3, que el el grado más grande entre losgradosde todoslos
monomiosde laecuación (que son2, 3 y 0).
Es fácil verque el grado de unaecuacióncon una incógnitanoesotra cosa que un caso particular
del grado de una ecuaciónconvariasincógnitas.3
Véase también
3 por ejemplotenemosestasdosopciones
3.1 Ecuacionesconuna solaincógnita
3.2 Ecuacionesconvarias incógnitas
4 Véase también
5 Enlacesexternos
Grado de un polinomio[editar]
Dado un polinomioPenunacierta variable x,sugradoes el máximode losexponentesde x enlos
distintosmonomiosdel polinomio.Se suele denotarcomomathrm{gr}[P(x)],yse puede omitirla
variable si nohay posibilidadde confusión. Ejemplo:

5. P(x)=x^5+4x^3-x^7+x+6x^2-5quadRightarrowquadmathrm{gr}(P)=7quad[=mathrm{gr}(-
x^7)]
"La mismadefiniciónse aplicaeneste casoperosolocumpliendolassiguientescondiciones:el
grado de un polinomioesel máximode losgradosde susmonomios.
Ejemplo:Q(x,y,z)=2x^2yz+4x^3y^2-z+7x+6y^2z^4-5quadRightarrowquadmathrm{gr}(Q)=6
quad[=mathrm{gr}(6y^2z^4)]
Las definicionesanterioresnose aplicandirectamente apolinomiosenlosque noaparecen
explícitamente lavariable.Si unpolinomioessimplemente unaconstante numéricasugradose
define como0 (o scriptstyle -inftyparael polinomionulo):
P(x) = a_0 inmathbb{R} Rightarrow qquad
begin{cases} a_0= 0 &mbox{gr}(P)=-inftyane 0 &mbox{gr}(P)=0end{cases}
Esta últimadefiniciónse hace asípara mantenerlacoherenciaenlassiguientespropiedadesdel
grado:
mbox{gr}(PcdotQ) =mbox{gr}(P) +mbox{gr}(Q), qquad
mbox{gr}(PpmQ) le max(mbox{gr}(P), mbox{gr}(Q))
Grado absolutoyrelativo[editar]
El grado absolutoyel grado relativosonoperacionesmatemáticasrealizadassobre untérminode
un polinomio.
Ambasdevuelvenunnúmeronatural.

6. Grado absoluto[editar]
Se obtiene conlasuma de losexponentesde todaslasvariables.
Ejemplo,dadoel término scriptstyle23,a^2, v^3 ,c^3 :
Grado absolutoes3+3+2 = 8.
Grado relativo[editar]
Grado relativoesel valordel exponente relativoacada variable.
Ejemplo,dadoel término7a2b4c7 :
Grado a: 2 ; Grado b: 4 ; Grado c: 7
por ejemplotenemosestasdosopciones[editar]
Ecuacionesconuna solaincógnita[editar]
Una ecuaciónalgebraicaconuna incógnitaesuna igualdadentre dosmiembros(losdosladosdel
signo"=") sonpolinomios.Porejemplo:2x^3+ 6x-4 = 1-x^2 es una ecuaciónalgebraicade grado
tres,que llevalax al Cubo.El grado de una ecuaciónesel mayorde todoslosexponentesalosque
estáelevadalaincógnita.
Ecuacionesconvarias incógnitas[editar]
Cuandotenemosunaecuaciónalgebraicaconvariasincógnitas,se estudiael gradode distinta
manera.Un monomioesun productode incógnitas,multiplicadasasuvezpor números.Por
ejemplo, xyesunmonomio,porqueseríalamultiplicaciónde lasincógnitasx e y,y a su vezestá
multiplicadotodopor1 (que nose pone porque multiplicarpor1 es comono hacer nada).Otro
ejemplode monomiosería -frac{7}{3}x^3y^2z^6.Aquílas incógnitassonx,y,z, se multiplicanasí:
la x se multiplicatresvecesasí misma(porque x^3 = x cdot x cdot x),lay se multiplicadosveces
a sí misma,laz se multiplicaseisvecesasí misma,y lostresresultadosse multiplicanentre sí.
Finalmentese multiplicatodoporel número -frac{7}{3}.

7. Para calcularel grado de unaecuacióncon variasincógnitas,anteshemosde calcularlosgradosde
cada uno de losmonomiosque aparecenenlaecuación.El grado de un monomiose calcula
sumandolosexponentesde lasincógnitasque aparecenenel monomio. Porejemplo,el gradodel
monomioxyes2, porque esla sumadel exponentede x (que es1, porque x = x^1) y del
exponentede y(que tambiénes1).El grado del monomio frac{7}{3}x^3y^2z^6es11, que es la
suma de 3 (exponentede x),2(exponente de y) y 6 (exponentede z).Nótese que el gradodel
monomio5x^2 sería 2, o sea,sería el exponente de laincógnita,yque siempre podemos
considerarque enunmonomioaparecentodaslasincógnitasque hayenla ecuación,consólo
considerarque estánelevadasal exponente 0.Porejemplo,enlaecuaciónxy -13y^3=4 los
monomiossonxy(aparecenlasdosincógnitasde laecuación,ysu grado es2), -13y^3 (aparece
sólola incógnitay,peropodemosconsiderarque aparece tambiénx conexponente0,puestoque
x^0=1) y 4 (no aparecenni x ni y,pero podemosconsiderarque aparecencomox^0y^0).Así,
podemosverlaecuacióncomoxy -13x^0y^3 = 4x^0y^0. Esto no cambiael grado de ningunode los
monomios.El monomio4tiene entoncesgrado0.
Ahoraestamosencondicionesde calcularel gradode una ecuaciónde variasincógnitas.Este esel
mayor de losgrados de todoslosmonomiosque aparecenenlaecuación.Porejemplo,enla
ecuaciónxy -13y^3=4 el grado es3, que el el grado más grande entre losgradosde todoslos
monomiosde laecuación(que son2, 3 y 0).
Es fácil verque el grado de unaecuacióncon una incógnitanoesotra cosa que un caso particular
del grado de una ecuaciónconvariasincógnitas.3
Véase también