1. Inducci´n M atem´tica
o a
Helmuth villavicencio fern´ndez
a
1. Demuestre por inducci´n :
o
(a)
1 1 1 1 13
+ + + ... + > ; ∀n ≥ 2
n+1 n+2 n+3 n+n 24
(b) n
22 ≡ 6mod(10), n ≥ 2
Soluci´n
o
1. (a) Para n = 2 se verifica. Supongamos se verifique para n = k, ahora
consideremos:
1 1 1 1
+ + + ... + =
(k + 1) + 1 (k + 1) + 2 (k + 1) + 3 (k + 1) + (k + 1)
1 1 1 1
+ + + ... + =
k+2 k+3 k+4 2k + 2
1 1 1 1 1 1
+ + + ... + +{ − }=
k+2 k+3 k+4 2k + 2 k+1 k+1
1 1 1 1 1 1 1 1
+ + + +. . .+ + + − =
k+1 k+2 k+3 k+4 2k 2k + 1 2k + 2 k + 1
1 1 1 1 1 1 1 1
{ + + + +. . .+ }+ + −
k+1 k+2 k+3 k+4 2k 2k + 1 2k + 2 k + 1
13 1 1 1
≥ + + −
24 2k + 1 2k + 2 k + 1
1 1 1
resta verificar que 2k+1 + 2k+2 − k+1 > 0 Lo cual es sencillo de
probar.
(b) Para n = 2 se verifica.
Supongamos se verifique para n = k, consideremos:
k+1 k k k
22 = (22 )2 = 22 22 ≡ 62 mod(10) ≡ 6mod(10).
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