Este documento presenta las propiedades de la derivada y resuelve ejemplos de derivación de funciones. Deriva funciones como y = x3 + 2x2 − 4x + 5, y = 3√x2 y y = x * x + 1. También obtiene la derivada de funciones racionales como f(x) = x2−5/(1−3x2) y resuelve ejercicios adicionales de derivación de funciones como f(x) = 7x3 − 3x2 + 3x − 12 y f(t) = (6t − 3)/(5t + 8).

1. Tema: La derivada. Propiedades
Autor: Erick Vicente Yagual Guevara

3. 1.- ¿Cuál es la derivada de la función 𝒚 = 𝒙 𝟑 + 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟓?
Nota: (𝑐)′ = 0
𝑦′ = (𝑥3)′ + (2𝑥2)′ − (4𝑥)′ + (5)′
𝑦′ = 3(𝑥3−1) + 2(2𝑥2−1) − (4𝑥1−1)
𝒚′ = 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟒 𝑹/.
2.- Deriva la función 𝒚 =
𝟑
𝒙 𝟐.
𝒚 = 𝒙 𝟐/𝟑
𝑦′ = (𝑥
2
3)′ → 𝑦′ =
2
3
𝑥
2
3−1
→ 𝑦′ =
2
3
(𝑥−
1
3) → 𝑦′ =
2
3
∗ (
1
𝑥
1
3
)
𝒚′ =
𝟐
𝟑 𝟑
𝒙
𝑹/.

4. 3.- Calcula la derivada de 𝒚 = 𝒙 ∗ 𝒙 + 𝟏.
Nota: Se usa la Regla de la cadena
𝑦′ = [ 𝑥 ′∗ 𝑥 + 1] + [𝑥 ∗ ( 𝑥 + 1
1
2)′]
𝑦′
= 1 ∗ 𝑥 + 1 + [𝑥 ∗
1
2
𝑥 + 1
1
2
−1
∗ 𝑥 + 1 ′
]
𝑦′ = 𝑥 + 1 + [𝑥 ∗
1
2
𝑥 + 1 −
1
2 ∗ 1]
𝑦′
= 𝑥 + 1 + [𝑥 ∗
1
2
1
𝑥 + 1
1
2
]
𝑦′
= 𝑥 + 1 +
𝑥
2 𝑥 + 1
𝑦′ =
2( 𝑥 + 1)2
+𝑥
2 𝑥 + 1
→ 𝑦′ =
2 𝑥 + 1 + 𝑥
2 𝑥 + 1
→ 𝑦′ =
2𝑥 + 2 + 𝑥
2 𝑥 + 1
𝒚′
=
𝟑𝒙 + 𝟐
𝟐 𝒙 + 𝟏
𝑹/.

5. 4.- Obtén la derivada de 𝒇 𝒙 =
𝒙 𝟐−𝟓
𝟏−𝟑𝒙 𝟐
𝑓′ 𝑥 =
𝑥2
− 5 ′
∗ 1 − 3𝑥2
− 𝑥2
− 5 ∗ 1 − 3𝑥2
′
(1 − 3𝑥2)2
𝑓′ 𝑥 =
2𝑥 ∗ 1 − 3𝑥2
− 𝑥2
− 5 ∗ (−6𝑥)
(1 − 3𝑥2)2
𝑓′
𝑥 =
2𝑥 − 6𝑥3 − (−6𝑥3 + 30𝑥)
(1 − 3𝑥2)2
𝑓′ 𝑥 =
2𝑥 − 6𝑥3 + 6𝑥3 − 30𝑥
(1 − 3𝑥2)2
𝒇′
𝒙 = −
𝟐𝟖𝒙
(𝟏 − 𝟑𝒙 𝟐) 𝟐
𝑹/.

6. Ejercicios Propuestos
Deriva las siguientes funciones:
𝒂) 𝒇 𝒙 = 𝟕𝒙 𝟑 − 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟐
𝒃) 𝒇 𝒙 = (𝟑𝒙 − 𝟒) 𝟓
𝒄) 𝒇 𝒙 =
𝒙
𝟑
(𝟐𝒙 + 𝟏) 𝟑
𝒅) 𝒇 𝒕 =
𝟔𝒕 − 𝟑
𝟓𝒕 + 𝟖
𝒆) 𝒚 = 𝒙 𝟑 ∗ (𝟑𝒙 + 𝟏)
𝒇) 𝒚 =
𝒙 𝟐 − 𝟗
𝒙 − 𝟑
𝒈) 𝒚 = 𝟓 − 𝟑𝒙 𝟐

7. Respuestas a los Ejercicios Propuestos
𝒂) 𝒇′ 𝒙 = 𝟐𝟏𝒙 𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟑
𝒃) 𝒇′ 𝒙 = 𝟏𝟓(𝟑𝒙 − 𝟒) 𝟒
𝒄) 𝒇′ 𝒙 =
𝟏
𝟑
𝟐𝒙 + 𝟏 𝟐 𝟖𝒙 + 𝟏
𝒅) 𝒇′ 𝒕 =
𝟔𝟑
(𝟓𝒕 + 𝟖) 𝟐
𝒆) 𝒚′ = 𝟏𝟐𝒙 𝟑 + 𝟑𝒙 𝟐
𝒇) 𝒚′ =
𝟑𝒙 − 𝟑
𝟐 𝒙 − 𝟑
𝒈) 𝒚′ = −
𝟑𝒙
𝟓 − 𝟑𝒙 𝟐