Este documento presenta indicaciones para una tarea grupal sobre ecuaciones diferenciales ordinarias en la asignatura de Matemática IV. Los estudiantes deben resolver 5 problemas aplicando métodos como la transformada de Laplace, serie de potencias, método de variación de parámetros y método de coeficientes indeterminados. La tarea debe presentarse en grupo de 4 integrantes e incluir portada, índice, enunciado de cada problema y solución, conclusiones y bibliografía. La tarea equivale al 40% de la nota del examen parcial final.
El documento describe cómo calcular la velocidad máxima de un automóvil en una zona escolar donde la distancia de detención debe ser 4m. Usa ecuaciones de movimiento con aceleración constante para relacionar la velocidad, deceleración, distancia de reacción y distancia de frenado, resultando en una ecuación cuadrática cuya solución da la velocidad máxima permitida de 8 m/s.
Ejercicio de Aplicación de Energía CuanticaSarita Bella
Este documento presenta dos ejemplos de cálculos de energía. El primero calcula la energía potencial de un ascensor de 800 kg a una altura de 380 m, obteniendo un valor de 2.9 MJ. El segundo ejemplo calcula: a) el trabajo realizado por una fuerza de 120 N que empuja un horno de 12 kg una distancia de 14 m sobre una rampa inclinada, obteniendo 1680 J; b) el trabajo de la fuerza de fricción de 328.72 J; y c) el aumento de energía potencial del horno de 990.83 J
La derivada surgió para resolver problemas de geometría y física, como encontrar rectas tangentes a curvas y la velocidad instantánea de un objeto en movimiento. Geométricamente, la derivada representa la pendiente de la recta tangente en un punto, y mide el coeficiente de variación de una función, indicando cuán rápido cambia en un punto.
This document contains 17 problems related to work, kinetic energy, and forces that vary with position. It covers concepts like calculating work done by constant and variable forces, determining kinetic energy from work and vice versa, and relating changes in kinetic energy to work. The problems involve calculating work, energy, and velocity for objects moving under the influence of forces where the force is given as a function of position.
Este documento presenta 20 ejercicios de probabilidad con sus respectivas soluciones. Los ejercicios cubren temas como probabilidad simple, probabilidad condicional, eventos mutuamente excluyentes y probabilidad con y sin reemplazamiento. El documento fue preparado por la alumna Lucía Regalado Montenegro para su curso de Estadística II dictado por el profesor Ing. Francisco Bahamonde en la Carrera de Contabilidad y Auditoría de la Facultad de Ciencias Administrativas de la Universidad Central del Ecuador.
Este documento describe el movimiento armónico simple y osciladores forzados y amortiguados. Explica que el movimiento armónico simple puede describirse mediante funciones de posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. También describe las ondas mecánicas, incluidas ondas transversales y longitudinales, y ondas senoidales periódicas descritas por funciones del tipo sen(x-vt).
Estimación de la diferencia de medias poblacionalesEstefany Zavaleta
Este documento presenta tres ejemplos de cómo estimar la diferencia entre las medias de dos poblaciones utilizando intervalos de confianza. Proporciona las fórmulas para calcular los límites superior e inferior del intervalo de confianza cuando se conocen las desviaciones estándares de las poblaciones. Luego, resuelve tres problemas numéricos aplicando estas fórmulas para estimar las diferencias entre las medias de bombillos, cinescopios y saldos bancarios con diferentes niveles de confianza.
Dinámica del movimiento circular uniformeJudit Camacho
El documento explica la dinámica de objetos que giran a velocidad constante, describiendo cómo la fuerza centrípeta necesaria para producir el movimiento circular depende de la masa del objeto, su velocidad y el radio de la trayectoria. Presenta ejemplos de cálculo de la fuerza centrípeta y la tensión en una cuerda para diferentes situaciones como una bola atada a una cuerda o girando sobre una mesa.
El documento describe cómo calcular la velocidad máxima de un automóvil en una zona escolar donde la distancia de detención debe ser 4m. Usa ecuaciones de movimiento con aceleración constante para relacionar la velocidad, deceleración, distancia de reacción y distancia de frenado, resultando en una ecuación cuadrática cuya solución da la velocidad máxima permitida de 8 m/s.
Ejercicio de Aplicación de Energía CuanticaSarita Bella
Este documento presenta dos ejemplos de cálculos de energía. El primero calcula la energía potencial de un ascensor de 800 kg a una altura de 380 m, obteniendo un valor de 2.9 MJ. El segundo ejemplo calcula: a) el trabajo realizado por una fuerza de 120 N que empuja un horno de 12 kg una distancia de 14 m sobre una rampa inclinada, obteniendo 1680 J; b) el trabajo de la fuerza de fricción de 328.72 J; y c) el aumento de energía potencial del horno de 990.83 J
La derivada surgió para resolver problemas de geometría y física, como encontrar rectas tangentes a curvas y la velocidad instantánea de un objeto en movimiento. Geométricamente, la derivada representa la pendiente de la recta tangente en un punto, y mide el coeficiente de variación de una función, indicando cuán rápido cambia en un punto.
This document contains 17 problems related to work, kinetic energy, and forces that vary with position. It covers concepts like calculating work done by constant and variable forces, determining kinetic energy from work and vice versa, and relating changes in kinetic energy to work. The problems involve calculating work, energy, and velocity for objects moving under the influence of forces where the force is given as a function of position.
Este documento presenta 20 ejercicios de probabilidad con sus respectivas soluciones. Los ejercicios cubren temas como probabilidad simple, probabilidad condicional, eventos mutuamente excluyentes y probabilidad con y sin reemplazamiento. El documento fue preparado por la alumna Lucía Regalado Montenegro para su curso de Estadística II dictado por el profesor Ing. Francisco Bahamonde en la Carrera de Contabilidad y Auditoría de la Facultad de Ciencias Administrativas de la Universidad Central del Ecuador.
Este documento describe el movimiento armónico simple y osciladores forzados y amortiguados. Explica que el movimiento armónico simple puede describirse mediante funciones de posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. También describe las ondas mecánicas, incluidas ondas transversales y longitudinales, y ondas senoidales periódicas descritas por funciones del tipo sen(x-vt).
Estimación de la diferencia de medias poblacionalesEstefany Zavaleta
Este documento presenta tres ejemplos de cómo estimar la diferencia entre las medias de dos poblaciones utilizando intervalos de confianza. Proporciona las fórmulas para calcular los límites superior e inferior del intervalo de confianza cuando se conocen las desviaciones estándares de las poblaciones. Luego, resuelve tres problemas numéricos aplicando estas fórmulas para estimar las diferencias entre las medias de bombillos, cinescopios y saldos bancarios con diferentes niveles de confianza.
Dinámica del movimiento circular uniformeJudit Camacho
El documento explica la dinámica de objetos que giran a velocidad constante, describiendo cómo la fuerza centrípeta necesaria para producir el movimiento circular depende de la masa del objeto, su velocidad y el radio de la trayectoria. Presenta ejemplos de cálculo de la fuerza centrípeta y la tensión en una cuerda para diferentes situaciones como una bola atada a una cuerda o girando sobre una mesa.
Este documento define la capacitancia y explica cómo depende de la carga y la diferencia de potencial entre conductores. Describe que un capacitor está compuesto de dos placas conductoras separadas por un dieléctrico, y que la capacitancia mide la habilidad de un dispositivo para almacenar carga eléctrica. También cubre las limitaciones de la carga que puede almacenar un conductor dependiendo de su capacitancia.
Este documento presenta una introducción a la teoría de juegos, incluyendo conceptos clave como jugadores, estrategias, equilibrio de Nash y soluciones de equilibrio. También describe herramientas como matrices de beneficios y métodos para resolver problemas de teoría de juegos como el método algebraico y el método de sub-juegos.
Introducción a la teoría electromagnética clase 1 TETensor
El documento trata sobre la carga eléctrica. Explica que la carga eléctrica es una propiedad fundamental de la materia que puede ser positiva o negativa. Las cargas de signos opuestos se atraen, mientras que las del mismo signo se repelen. Además, la carga está cuantizada y siempre se conserva en los sistemas.
Tarea 11 de probabilidad y estadistica con respuestasIPN
Este documento presenta 10 problemas de probabilidad y estadística que involucran distribuciones normales. Los problemas cubren temas como el cálculo de probabilidades, percentiles y fracciones de poblaciones que caen dentro de ciertos rangos de valores para varias variables aleatorias continuas como volumen de bebidas, vida de ratones, duración de motores, pureza de oxígeno, estatura de estudiantes, coeficiente intelectual, longitud de pan, diámetro de pistones, salarios por hora y peso de perros.
1. El documento presenta los resultados de una votación para elegir presidente de una empresa entre varios candidatos (A, B, C, D, E, F). Analiza las preferencias de cada consejero y concluye que el candidato C es el más idóneo para el puesto.
2. Explica cómo representar mediante una tabla la información de los vuelos internacionales entre los países A, B y C. Solicita completar la tabla con las posibles combinaciones de vuelos.
3. Resuelve ejercicios de álgebra de matrices como calcular la inversa, comp
Resolucion problemas de campo gravitatorioJosé Miranda
Este documento contiene 10 problemas relacionados con las leyes de Kepler y la gravedad. Los problemas calculan períodos orbitales, masas planetarias, aceleraciones gravitatorias y fuerzas entre cuerpos celestes usando fórmulas como T2 = 4π2R3/GM.
Este documento describe diferentes métodos de conteo como permutaciones, combinaciones y diagramas de árbol. Explica que las permutaciones cuentan los arreglos posibles de objetos tomados todos a la vez sin repetición, mientras que las combinaciones cuentan los arreglos sin importar el orden. También describe el principio de la multiplicación para contar múltiples opciones y provee ejemplos de su aplicación.
I. El documento presenta varios ejemplos resueltos de problemas de cinemática que involucran conceptos como velocidad media, aceleración y movimiento rectilíneo uniforme y uniformemente acelerado.
II. Los ejemplos incluyen cálculos de velocidad, aceleración, posición y representaciones gráficas para diversas situaciones de movimiento.
III. Se explican detalladamente los procedimientos y sistemas de coordenadas utilizados para resolver cada problema.
El documento presenta información sobre matrices, incluyendo definiciones de matriz, orden de una matriz, construcción de matrices, igualdad de matrices, tipos de matrices especiales como nulas, cuadradas, diagonales e identidad, y operaciones con matrices como suma, resta, multiplicación por un escalar y multiplicación de matrices.
1) El documento contiene la resolución de 10 ejercicios sobre campo eléctrico. 2) Los ejercicios involucran conceptos como fuerza eléctrica, campo eléctrico, potencial eléctrico y líneas de campo. 3) Se calculan valores numéricos y se interpretan los resultados en cada ejercicio.
El documento resuelve dos problemas relacionados con un resorte de constante elástica k=1600 N/m. En la primera parte calcula que debe comprimirse 0.0632 m para almacenar 3.2 J, y en la segunda determina que se comprimirá 0.12 m cuando se deja caer un libro de 1.2 kg desde 0.8 m de altura.
1) Se describe una situación en la que un brazo sostiene una bola. Se indican las fuerzas que actúan sobre el brazo y la bola, incluyendo el peso del brazo, el peso de la bola y la fuerza ejercida por el músculo deltoides.
2) Se pide calcular la magnitud y dirección de la fuerza ejercida por el deltoides para mantener el sistema en equilibrio cuando la bola pese 5 kg.
3) También se pide determinar las componentes de la fuerza del deltoides si su dirección forma
Este documento presenta conceptos básicos sobre variables aleatorias discretas. En 3 oraciones: Introduce variables aleatorias discretas como funciones que asignan valores numéricos a resultados de experimentos aleatorios. Explica que la función de probabilidad asigna a cada valor de la variable aleatoria la probabilidad de que tome ese valor, de modo que la suma de las probabilidades sea 1. Presenta ejemplos como lanzar monedas para ilustrar variables aleatorias y sus funciones de probabilidad.
El concepto de energía-El trabajo mecánico, la energía cinética, la energía potencial, el teorema trabajo energía, fuerzas conservativas y la ley de conservación de la energía.
Este documento presenta varios diagramas de sistemas de cuerdas y pesos en equilibrio. En cada diagrama, se pide calcular la tensión en las cuerdas AB, BC y BD, o la tensión en la cuerda BC y la fuerza en el pivote AB, sabiendo que el sistema está en equilibrio. Se proporcionan valores numéricos como ángulos y pesos.
Este documento presenta un resumen de las ecuaciones de Maxwell y la teoría de propagación de ondas electromagnéticas. Introduce las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial y fasorial, y explica cómo Maxwell corrigió la ley de Ampere para incluir el término de corriente de desplazamiento. También resume la teoría del flujo de potencia electromagnético y las ecuaciones de onda para campos electromagnéticos que se propagan en medios dieléctricos ideales.
Este documento presenta 10 problemas de hidrostática. Los problemas involucran conceptos como presión, flotación, densidad y fuerzas. Se pide calcular aceleraciones, masas, densidades, áreas y profundidades utilizando principios como la suma de fuerzas, equilibrio de cuerpos sumergidos y relaciones entre presiones y alturas de líquidos.
Este documento presenta 5 ejercicios de teoría de conjuntos y sus soluciones. El primer ejercicio pide expresar un conjunto por extensión. El segundo analiza los conjuntos de personas que les gustan diferentes actividades en una reunión. El tercero examina los gustos de hombres por diferentes tipos de mujeres. El cuarto representa la intersección de dos conjuntos en un plano cartesiano. Y el quinto define y analiza una relación numérica.
Una barra de 12 kg y 2 m de largo gira 5 veces cada 3 segundos alrededor de un eje. Para calcular su energía cinética, se divide la barra en elementos de masa diferencial y se integra su velocidad angular a lo largo de la barra. Esto da como resultado que la energía cinética de la barra es de 877 J.
Este documento presenta varios problemas estadísticos que involucran el cálculo de intervalos de confianza para la media de una población basados en muestras. Los problemas cubren temas como la duración de bombillas, kilómetros recorridos por automóviles, diámetros de piezas metálicas y pesos de tallos de árboles en un estudio de nitrógeno. En cada caso, se proporcionan los datos de la muestra como el tamaño de muestra, la media muestral, la desviación estándar y el nivel
Un pueblo pequeño gastaba mucho agua y no hizo caso a las advertencias de los pueblos vecinos sobre el exceso de consumo. En un año, se quedaron sin agua, las plantas y animales murieron, y buscaron ayuda a otros pueblos, pero uno se negó a darles agua. Otro pueblo les dio agua con la condición de que no la desperdiciaran en el futuro, y así aprendieron la lección sobre la importancia de cuidar el agua.
Trabajo analisis del currículum sociologíaSergio Perez
Este documento describe el currículo explícito y oculto en una unidad sobre hábitos saludables en un libro de texto de 4o de primaria. El currículo explícito cubre seis hábitos saludables e incluye preguntas y fotografías realistas. El análisis sugiere que el currículo oculto enfatiza valores como la vida real sobre lo abstracto y el uso de ejemplos concretos para atraer a los estudiantes.
Este documento define la capacitancia y explica cómo depende de la carga y la diferencia de potencial entre conductores. Describe que un capacitor está compuesto de dos placas conductoras separadas por un dieléctrico, y que la capacitancia mide la habilidad de un dispositivo para almacenar carga eléctrica. También cubre las limitaciones de la carga que puede almacenar un conductor dependiendo de su capacitancia.
Este documento presenta una introducción a la teoría de juegos, incluyendo conceptos clave como jugadores, estrategias, equilibrio de Nash y soluciones de equilibrio. También describe herramientas como matrices de beneficios y métodos para resolver problemas de teoría de juegos como el método algebraico y el método de sub-juegos.
Introducción a la teoría electromagnética clase 1 TETensor
El documento trata sobre la carga eléctrica. Explica que la carga eléctrica es una propiedad fundamental de la materia que puede ser positiva o negativa. Las cargas de signos opuestos se atraen, mientras que las del mismo signo se repelen. Además, la carga está cuantizada y siempre se conserva en los sistemas.
Tarea 11 de probabilidad y estadistica con respuestasIPN
Este documento presenta 10 problemas de probabilidad y estadística que involucran distribuciones normales. Los problemas cubren temas como el cálculo de probabilidades, percentiles y fracciones de poblaciones que caen dentro de ciertos rangos de valores para varias variables aleatorias continuas como volumen de bebidas, vida de ratones, duración de motores, pureza de oxígeno, estatura de estudiantes, coeficiente intelectual, longitud de pan, diámetro de pistones, salarios por hora y peso de perros.
1. El documento presenta los resultados de una votación para elegir presidente de una empresa entre varios candidatos (A, B, C, D, E, F). Analiza las preferencias de cada consejero y concluye que el candidato C es el más idóneo para el puesto.
2. Explica cómo representar mediante una tabla la información de los vuelos internacionales entre los países A, B y C. Solicita completar la tabla con las posibles combinaciones de vuelos.
3. Resuelve ejercicios de álgebra de matrices como calcular la inversa, comp
Resolucion problemas de campo gravitatorioJosé Miranda
Este documento contiene 10 problemas relacionados con las leyes de Kepler y la gravedad. Los problemas calculan períodos orbitales, masas planetarias, aceleraciones gravitatorias y fuerzas entre cuerpos celestes usando fórmulas como T2 = 4π2R3/GM.
Este documento describe diferentes métodos de conteo como permutaciones, combinaciones y diagramas de árbol. Explica que las permutaciones cuentan los arreglos posibles de objetos tomados todos a la vez sin repetición, mientras que las combinaciones cuentan los arreglos sin importar el orden. También describe el principio de la multiplicación para contar múltiples opciones y provee ejemplos de su aplicación.
I. El documento presenta varios ejemplos resueltos de problemas de cinemática que involucran conceptos como velocidad media, aceleración y movimiento rectilíneo uniforme y uniformemente acelerado.
II. Los ejemplos incluyen cálculos de velocidad, aceleración, posición y representaciones gráficas para diversas situaciones de movimiento.
III. Se explican detalladamente los procedimientos y sistemas de coordenadas utilizados para resolver cada problema.
El documento presenta información sobre matrices, incluyendo definiciones de matriz, orden de una matriz, construcción de matrices, igualdad de matrices, tipos de matrices especiales como nulas, cuadradas, diagonales e identidad, y operaciones con matrices como suma, resta, multiplicación por un escalar y multiplicación de matrices.
1) El documento contiene la resolución de 10 ejercicios sobre campo eléctrico. 2) Los ejercicios involucran conceptos como fuerza eléctrica, campo eléctrico, potencial eléctrico y líneas de campo. 3) Se calculan valores numéricos y se interpretan los resultados en cada ejercicio.
El documento resuelve dos problemas relacionados con un resorte de constante elástica k=1600 N/m. En la primera parte calcula que debe comprimirse 0.0632 m para almacenar 3.2 J, y en la segunda determina que se comprimirá 0.12 m cuando se deja caer un libro de 1.2 kg desde 0.8 m de altura.
1) Se describe una situación en la que un brazo sostiene una bola. Se indican las fuerzas que actúan sobre el brazo y la bola, incluyendo el peso del brazo, el peso de la bola y la fuerza ejercida por el músculo deltoides.
2) Se pide calcular la magnitud y dirección de la fuerza ejercida por el deltoides para mantener el sistema en equilibrio cuando la bola pese 5 kg.
3) También se pide determinar las componentes de la fuerza del deltoides si su dirección forma
Este documento presenta conceptos básicos sobre variables aleatorias discretas. En 3 oraciones: Introduce variables aleatorias discretas como funciones que asignan valores numéricos a resultados de experimentos aleatorios. Explica que la función de probabilidad asigna a cada valor de la variable aleatoria la probabilidad de que tome ese valor, de modo que la suma de las probabilidades sea 1. Presenta ejemplos como lanzar monedas para ilustrar variables aleatorias y sus funciones de probabilidad.
El concepto de energía-El trabajo mecánico, la energía cinética, la energía potencial, el teorema trabajo energía, fuerzas conservativas y la ley de conservación de la energía.
Este documento presenta varios diagramas de sistemas de cuerdas y pesos en equilibrio. En cada diagrama, se pide calcular la tensión en las cuerdas AB, BC y BD, o la tensión en la cuerda BC y la fuerza en el pivote AB, sabiendo que el sistema está en equilibrio. Se proporcionan valores numéricos como ángulos y pesos.
Este documento presenta un resumen de las ecuaciones de Maxwell y la teoría de propagación de ondas electromagnéticas. Introduce las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial y fasorial, y explica cómo Maxwell corrigió la ley de Ampere para incluir el término de corriente de desplazamiento. También resume la teoría del flujo de potencia electromagnético y las ecuaciones de onda para campos electromagnéticos que se propagan en medios dieléctricos ideales.
Este documento presenta 10 problemas de hidrostática. Los problemas involucran conceptos como presión, flotación, densidad y fuerzas. Se pide calcular aceleraciones, masas, densidades, áreas y profundidades utilizando principios como la suma de fuerzas, equilibrio de cuerpos sumergidos y relaciones entre presiones y alturas de líquidos.
Este documento presenta 5 ejercicios de teoría de conjuntos y sus soluciones. El primer ejercicio pide expresar un conjunto por extensión. El segundo analiza los conjuntos de personas que les gustan diferentes actividades en una reunión. El tercero examina los gustos de hombres por diferentes tipos de mujeres. El cuarto representa la intersección de dos conjuntos en un plano cartesiano. Y el quinto define y analiza una relación numérica.
Una barra de 12 kg y 2 m de largo gira 5 veces cada 3 segundos alrededor de un eje. Para calcular su energía cinética, se divide la barra en elementos de masa diferencial y se integra su velocidad angular a lo largo de la barra. Esto da como resultado que la energía cinética de la barra es de 877 J.
Este documento presenta varios problemas estadísticos que involucran el cálculo de intervalos de confianza para la media de una población basados en muestras. Los problemas cubren temas como la duración de bombillas, kilómetros recorridos por automóviles, diámetros de piezas metálicas y pesos de tallos de árboles en un estudio de nitrógeno. En cada caso, se proporcionan los datos de la muestra como el tamaño de muestra, la media muestral, la desviación estándar y el nivel
Un pueblo pequeño gastaba mucho agua y no hizo caso a las advertencias de los pueblos vecinos sobre el exceso de consumo. En un año, se quedaron sin agua, las plantas y animales murieron, y buscaron ayuda a otros pueblos, pero uno se negó a darles agua. Otro pueblo les dio agua con la condición de que no la desperdiciaran en el futuro, y así aprendieron la lección sobre la importancia de cuidar el agua.
Trabajo analisis del currículum sociologíaSergio Perez
Este documento describe el currículo explícito y oculto en una unidad sobre hábitos saludables en un libro de texto de 4o de primaria. El currículo explícito cubre seis hábitos saludables e incluye preguntas y fotografías realistas. El análisis sugiere que el currículo oculto enfatiza valores como la vida real sobre lo abstracto y el uso de ejemplos concretos para atraer a los estudiantes.
Este documento describe un evento empresarial que tendrá lugar el 6 de junio de 2014 en Castellón, España. El evento incluirá talleres sobre temas como estrategia en redes sociales, presentaciones audiovisuales efectivas, colaboración intergeneracional, y venta en línea. También habrá sesiones de networking y una sesión plenaria con un orador invitado. El objetivo del evento es crear nuevas oportunidades de negocio a través de la participación y la colaboración entre empresarios.
Class 10 Cbse Social Science Question Paper Term 2Sunaina Rawat
Cbse class 10 social science question paper term 2 - http://cbse.edurite.com/cbse-question-papers/last-year-question-paper-of-cbse-class-10-social-science.html
Pratiques numériques des jeunes européens - information et internet : observe...Gérard Marquié
Support d'une intervention réalisée le 11 février 2014 à Rouen, dans le cadre d'un séminaire européen sur les pratiques numériques des jeunes européens. Thème de l'intervention : « Pratiques et identité numérique » : jeunes, information, internet : observer, accompagner…
Le séminaire regroupait des représentants de l'Espagne, la France, la Grèce, les Pays Bas, la république Tchèque, la Roumanie, la Turquie.
L’Ardèche est l'un des départements les plus consommateurs en espaces agricoles et naturels.
Ainsi, 12 % de la surface agricole utilisée ont disparu ces dix dernières années dans notre département,
contre 6 % en Rhône-Alpes et 3% en moyenne nationale. Cette situation est préoccupante. Elle
fragilise le devenir de nos territoires, tant du point de vue de leur qualité de vie que de leur economie à
long terme. C'est pourquoi, dans une action coordonnée avec l'ensemble des Préfets de la region
Rhône-Alpes, j'ai (Mr. Dominique Lacroix, Préfet de l'Ardèche) fixé comme priorité aux services de 1’Etat en Ardèche, la gestion durable du foncier.
2012 : Conférence "Industrialisation du développement 4D avec les composants" réalisée par A&C Consulting
4D est un environnement de développement rapide. La productivité et la qualité peuvent être améliorées avec, entre autres, la réutilisation de code. Les composants apportent une solution adaptée et élégante pour répondre à ce besoin.
La démarche de structuration des composants, les avantages et inconvénients par rapport aux différentes approches a été présentée.
Este documento presenta un proyecto fotográfico del fotógrafo James Mollison titulado "¿Donde duermen los niños?" que muestra fotografías y breves historias de 14 niños de diferentes países y sus habitaciones con el objetivo de concientizar sobre las diferentes realidades y desafíos que enfrentan los niños en el mundo. El proyecto busca ilustrar cómo factores como la pobreza, el trabajo infantil y los conflictos políticos afectan la infancia en diferentes lugares.
Presentation by Anne-Marie Chavanon, Chair of the Democracy, Social Cohesion and Global Challenges Committee, Conference of INGO's of the Council of Europe on the occasion of the EESC SOC hearing on Principles, procedures, and action for the implementation of Articles 11(1) and 11(2) of the Lisbon Treaty (17 April 2012, Brussels)
The document discusses the benefits of exercise for mental health. Regular physical activity can help reduce anxiety and depression and improve mood and cognitive function. Exercise causes chemical changes in the brain that may help protect against mental illness and improve symptoms.
Este documento presenta 10 preguntas de física y química con sus respectivas resoluciones. Cada pregunta contiene un problema conceptual con alternativas de respuesta, y la resolución explica los cálculos y conceptos involucrados para llegar a la respuesta correcta.
Diseno de plateas_de_cimentacion._raft_fWilson vils
Este documento describe los pasos para diseñar una platea de cimentación. Explica que una platea se usa para edificios altos o con sótanos, y consiste en una losa de concreto armado colocada sobre ambos lechos superior e inferior. Luego detalla los elementos de una platea, cómo calcular su espesor considerando punzonamiento, longitud de desarrollo y distribución de presiones, y cómo modelarla estructuralmente. Finalmente, cubre el cálculo de esfuerzos, diseño como viga continua y cálculo del ac
1. El documento describe los elementos y el diseño de una losa de cimentación o platea. Explica que una platea se usa para edificaciones altas o con sótanos, y consiste en una losa de concreto armado colocada sobre ambos lechos superior e inferior. 2. Detalla los pasos para calcular el espesor requerido considerando punzonamiento, longitud de desarrollo y distribución de presiones, así como el modelo estructural y cálculo de esfuerzos. 3. Explica el diseño como una viga continua, calculando es
El documento explica el concepto de campo eléctrico. Indica que una carga crea un campo eléctrico en todo el espacio que ejerce fuerzas sobre otras cargas. Define el campo eléctrico como la fuerza ejercida sobre una pequeña carga dividida por esa carga. Presenta tablas de valores típicos de campo eléctrico en diferentes situaciones y explica cómo calcular el campo eléctrico debido a una o más cargas puntuales usando la ley de Coulomb y la superposición de campos.
Examenes pasados de primer parcial del tema de cambios de temperaturaFidelMamaniCondori
Este documento contiene las preguntas y problemas de un examen parcial sobre calor y ondas. En la primera sección, se presentan 6 preguntas verdadero/falso con justificaciones. La segunda sección contiene preguntas sobre un experimento de masa-resorte. La tercera sección presenta un problema sobre la aceleración de una esfera hueca que flota en el agua. En total, el examen evalúa conceptos clave de calor, ondas y mecánica newtoniana.
Este documento presenta 10 preguntas de física y química sobre temas como circuitos eléctricos, ondas electromagnéticas, lentes, efecto fotoeléctrico, estática de fluidos, vectores, movimiento parabólico, gráficas de cinemática, dinámica rectilínea, relación trabajo-energía cinética y dinámica circular. Cada pregunta incluye la resolución del problema con los cálculos correspondientes.
Este documento presenta el método de doble integración para calcular las deflexiones en vigas sometidas a cargas. Este método involucra integrar dos veces la ecuación diferencial de la curva elástica para obtener ecuaciones de la pendiente y deflexión a lo largo de la viga. Se describen también las condiciones de frontera necesarias para determinar las constantes de integración, así como ejemplos de su aplicación para calcular rotaciones y deflexiones máximas.
Este documento presenta un servicio de asesoría y resolución de ejercicios de ciencias, incluyendo física, química y electricidad. Proporciona ejemplos de problemas y preguntas de evaluación, e instrucciones para enviar las respuestas. También incluye contacto por correo electrónico y sitio web para obtener más información.
Este documento presenta 6 problemas de física sobre mecánica newtoniana. Los problemas involucran conceptos como presión, equilibrio de fuerzas, oscilaciones armónicas, amortiguación, conservación del momento lineal y movimiento oscilatorio. Se pide resolver cada problema paso a paso mostrando cálculos, unidades, diagramas y resultados resaltados. La presentación debe ser escrita a mano en grupo antes de la fecha límite.
Este documento presenta las instrucciones para una tarea grupal de Matemática III. Los estudiantes deben resolver 6 problemas aplicando conceptos como sucesiones, series, integración en coordenadas polares, derivadas parciales y optimización. La tarea se presentará en grupo y será evaluada mediante la presentación escrita y una defensa oral.
El documento presenta las instrucciones generales para una prueba de acceso a estudios universitarios de Física. Consta de dos opciones (A y B) con tres cuestiones y dos problemas cada una. Se debe elegir una opción completa y resolverla en su totalidad. Cada cuestión y problema correctamente resuelto se califica con un máximo de 2 puntos. El tiempo asignado es de una hora y media.
El documento explica el concepto de campo eléctrico. Una carga crea un campo eléctrico en todo el espacio que ejerce fuerzas sobre otras cargas. El campo eléctrico en un punto se define como la fuerza experimentada por una pequeña carga de prueba dividida por la carga. El documento también presenta ecuaciones para calcular el campo eléctrico debido a cargas puntuales y sistemas de cargas.
El documento explica el concepto de campo eléctrico. Introduce el campo eléctrico para evitar el problema de la acción a distancia. Define el campo eléctrico como la fuerza experimentada por una pequeña carga dividida por dicha carga. Presenta ejemplos de campos eléctricos en la naturaleza.
Campo electrico distribuciones continuas de carga clase 4 TETensor
El documento describe el cálculo del campo eléctrico debido a distribuciones continuas de carga a través de la integración de la ley de Coulomb. Explica cómo calcular el campo eléctrico para cargas puntuales, líneas de carga, superficies y volúmenes. Luego, presenta varios problemas de aplicación que involucran el cálculo del campo eléctrico para barras cargadas, cilindros y objetos compuestos de cubos.
Este documento presenta una prueba de acceso a la universidad en física con dos opciones. La prueba consiste en cuatro preguntas o problemas y durará 1 hora y 30 minutos. Los estudiantes deben resolver completamente las cuestiones de una de las dos opciones propuestas. Se permite el uso de calculadora no programable. Cada pregunta vale hasta 2,5 puntos.
En este experimento, se midió el tiempo que tardaron esferas de diferentes radios en caer una distancia fija a través de glicerina. Esto permitió determinar la velocidad límite de cada esfera y calcular la viscosidad de la glicerina. Se trazó un gráfico de la velocidad límite cuadrada contra el radio cuadrado de cada esfera y se determinó la pendiente de la recta de ajuste. La pendiente se utilizó para calcular el coeficiente de viscosidad de la glicerina, que resultó ser de 1,095 kg
Un documento contiene 14 problemas sobre movimiento armónico simple y ondas. Los problemas cubren temas como el periodo y frecuencia de oscilaciones de un sistema masa-resorte y péndulo simple, así como la velocidad de propagación de ondas.
Este documento describe la historia del desarrollo de los sistemas de control automático para bombear agua de las minas durante el siglo 17. También presenta dos problemas mecánicos que involucran el cálculo del torque requerido para mantener el equilibrio de un sistema con un pistón y una placa de acero sujeta a una barra.
Este documento presenta 11 ejercicios de álgebra lineal y matrices para ser resueltos utilizando Excel. Los ejercicios involucran operaciones matriciales como suma, resta, multiplicación y transposición de matrices, así como el cálculo de determinantes, matrices inversas y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales a través de los métodos de Cramer e inversa de matrices. Los ejercicios se basan en conceptos y ejemplos extraídos de un libro de ingeniería eléctrica.
Este documento presenta una lista de 20 ecuaciones diferenciales lineales para resolver por series de potencias alrededor de puntos ordinarios y otra lista de 20 ecuaciones para resolver alrededor de puntos singulares, identificando si son regulares o irregulares. También incluye dos aplicaciones numéricas para resolver circuitos eléctricos descritos por ecuaciones diferenciales lineales usando desarrollos de potencias.
Este documento presenta varios problemas relacionados con las funciones Gamma y Beta. En la Parte I, se piden calcular valores numéricos para funciones Gamma y Beta. La Parte II contiene integrales que deben ser evaluadas. La Parte III pide demostrar fórmulas generales para ciertas integrales. Finalmente, la Parte IV contiene más problemas para calcular valores de funciones Gamma e integrales.
Este documento presenta 10 problemas de circuitos eléctricos y 5 problemas de sistemas masa-resorte. Los problemas de circuitos involucran ecuaciones diferenciales de primer orden para calcular corriente y carga en circuitos RLC con diferentes configuraciones y fuentes de voltaje variables. Los problemas de masa-resorte involucran ecuaciones diferenciales de segundo orden para calcular el movimiento de una masa unida a un resorte en medios con diferentes niveles de amortiguamiento y posibles fuerzas externas.
Este documento presenta un curso de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior. Se divide en cinco partes que cubren: 1) dependencia e independencia lineal de funciones, 2) solución de ecuaciones diferenciales de orden superior, 3) reducción de orden, 4) ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes, y 5) método de coeficientes indeterminados. Contiene 75 ejercicios para practicar estos conceptos.
Este documento presenta una guía de ejercicios sobre ecuaciones diferenciales de primer orden. Incluye ejercicios para identificar el orden y linealidad de ecuaciones, comprobar soluciones, determinar valores para que funciones sean soluciones, y resolver ecuaciones diferenciales de variables separables, homogéneas, de coeficientes lineales, exactas, con factor integrante, lineales, de Bernoulli y de Ricatti. También incluye aplicaciones como la ley de enfriamiento de Newton, crecimiento poblacional, y mezcla en tanques
Este documento presenta una guía de problemas de álgebra vectorial y matrices. Incluye ejercicios sobre determinantes, matrices inversas, y sistemas de ecuaciones lineales, con soluciones dadas por los métodos de Gauss, Gauss-Jordan y Cramer. El documento contiene múltiples partes y ejercicios para cada tema.
Este documento presenta una guía de problemas sobre integrales de superficie, el teorema de Gauss y Stokes. Contiene 10 secciones con problemas relacionados al cálculo de áreas de superficies, integrales de superficie de campos escalares, aplicación del teorema de Gauss, y aplicación del teorema de Stokes a diferentes campos vectoriales y superficies.
Este documento presenta una introducción a las integrales de línea y al teorema de Green en campos vectoriales. Incluye identidades fundamentales en campos vectoriales, ejemplos de cálculo de integrales de línea, y ejercicios resueltos sobre aplicaciones del teorema de Green. El documento está dirigido a estudiantes de matemáticas y proporciona los conceptos teóricos y herramientas necesarias para comprender y aplicar estas ideas.
Este documento presenta varios problemas relacionados con las funciones Gamma y Beta. En la Parte I, se piden calcular valores numéricos para funciones Gamma y Beta. En la Parte II, se piden calcular valores de integrales definidas. En la Parte III, se piden demostrar fórmulas para integrales. Finalmente, en la Parte IV, se piden calcular valores adicionales de funciones Gamma e integrales.
Este documento presenta una serie de ejercicios de ecuaciones diferenciales lineales para ser resueltas por series de potencias alrededor de puntos ordinarios y singulares. En la primera parte, se piden resolver 20 ecuaciones diferenciales lineales alrededor de puntos ordinarios. En la segunda parte, se piden resolver 20 ecuaciones diferenciales lineales alrededor de puntos singulares e identificar si dichos puntos son regulares o irregulares. Por último, se presentan dos aplicaciones prácticas para resolver circuitos eléctricos descrit
Este documento presenta una guía de ejercicios sobre ecuaciones diferenciales de primer orden. Incluye ejercicios para identificar el orden y linealidad de ecuaciones diferenciales, comprobar soluciones, hallar valores para que funciones sean soluciones, y resolver ecuaciones diferenciales de variables separables, homogéneas, de coeficientes lineales, exactas, con factor integrante, lineales, de Bernoulli y de Ricatti. También presenta aplicaciones como la ley de enfriamiento de Newton, crecimiento poblacional y caída libre
Este documento presenta varios problemas relacionados con integrales de superficie, el teorema de Gauss y Stokes. Incluye cálculos de áreas de superficies, evaluación de integrales de superficie de campos escalares, aplicación del teorema de Gauss para calcular flujos a través de superficies cerradas, y uso del teorema de Stokes para calcular integrales curvilíneas mediante integrales de superficie. Los problemas cubren una variedad de geometrías como esferas, cilindros, conos y paraboloides.
1. El documento presenta la teoría y ejercicios sobre integrales de línea y el teorema de Green para campos vectoriales y escalares.
2. Se definen integrales de línea y de superficie y se explican algunas de sus propiedades como que la integral de línea es independiente de la trayectoria si el campo es conservativo.
3. Se presentan 20 ejercicios para calcular diferentes integrales de línea y aplicar el teorema de Green.
1) El documento presenta ejercicios relacionados con cálculo diferencial e integral múltiple, incluyendo el cálculo de jacobianos, áreas y volúmenes limitados por funciones implícitas y explícitas mediante el uso de coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas y esféricas.
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Este documento presenta 10 problemas de circuitos eléctricos y sistemas masa-resorte resueltos mediante ecuaciones diferenciales. Los problemas cubren temas como circuitos RL, RC, RLC y sistemas masa-resorte con y sin amortiguamiento. El objetivo es que los estudiantes aprendan a modelar diferentes sistemas físicos utilizando ecuaciones diferenciales y obtener soluciones para la corriente, carga y posición en función del tiempo.
Este documento presenta una serie de ecuaciones diferenciales lineales que deben resolverse usando series de potencias alrededor de puntos ordinarios y singulares. También incluye ejemplos de circuitos eléctricos que deben modelarse y resolverse usando este método. Finalmente, pide determinar los primeros términos de las series de potencias para la carga de un capacitor en un circuito dado.
Este documento presenta varios problemas relacionados con funciones Gamma y Beta. Se dividen en 4 partes. La primera parte contiene 7 problemas que involucran el cálculo de funciones Gamma. La segunda parte contiene 15 integrales definidas que deben ser calculadas. La tercera parte contiene 3 demostraciones de integrales. Y la cuarta parte presenta 9 problemas adicionales relacionados con funciones Gamma que deben ser resueltos. El documento parece ser parte de una lección o tarea de una clase de matemáticas en la Universidad Centroamericana José S
Este documento presenta varios problemas relacionados con ecuaciones diferenciales lineales de orden superior. Se analizan conceptos como dependencia e independencia lineal de funciones, solución de ecuaciones diferenciales, reducción de orden y métodos para resolver ecuaciones diferenciales como coeficientes indeterminados. El documento contiene 72 problemas divididos en 5 partes sobre estas temáticas.
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1. Universidad Centroamericana “José Simeón Cañas”
Facultad de Ingeniería y Arquitectura
Departamento de Matemática
Matemática IV
Sección 01 y 02
Ing. Eduardo Escapini
Ing. Daniel A. Sosa
Ciclo 01/2015
INDICACIONES TAREA GRUPAL
OBJETIVO: Que los alumnos que cursan la materia, apliquen los conocimientos adquiridos para
resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior y otros conocimientos necesarios
para resolver problemas de aplicación a la ingeniería.
La presente tarea está compuesta por 5 problemas, de los cuales se le pide lo siguiente:
i. Resolver el problema a mano y con bolígrafo.
ii. Enfatizar los teoremas o métodos con los que resuelve el problema.
iii. Numerar los pasos de solución.
iv. Presentar los procedimientos y consideraciones para la solución de cada problema.
v. Presentar impresiones de capturas de pantalla, graficas en Excel, plantillas o cuadros
de Excel, u otras aplicaciones o programas utilizados, de ser necesarios.
vi. Utilizar los métodos vistos en clase para resolver ecuaciones diferenciales de orden
superior con coeficientes constantes o variables, homogéneas o no homogéneas.
vii. Deberá aplicar al menos una vez: La Transformada de Laplace, Serie de Potencias,
Couchy Euler, Método de Variación de Parámetros, Método de Coeficientes
Indeterminados, en los casos posibles.
viii. Detallar orden, originalidad, limpieza y claridad.
La presentación del reporte debe contener como mínimo lo siguiente:
a) Portada.
b) Índice.
c) Enunciado de cada problema y solución.
d) Conclusiones (una por cada problema)
e) Bibliografía utilizada.
Metodología de Evaluación:
Resolver y entregar en grupos de 4 integrantes, del mismo curso y sección.
La presentación y solución de la tarea equivale al 40% de la nota del examen parcial final (CADA
EJERCICIO TIENE UNA PONDERACIÓN DEL 8%).
El 60% restante corresponde al examen parcial final, que se realizará el día Jueves 2 de Julio.
NOTAS:
1) La tarea debe ser entregada por el representante del grupo al inicio del tercer examen que
se realizará el día Viernes 26 de Junio, de no ser entregada a la hora dicha anteriormente
se pierden el 50% de la nota de la tarea (se pierden 50% de la nota global de esta
actividad por irresponsabilidad).
2) El plagio o copia de la solución de la tarea, será penalizado, asignando una nota de CERO
en esta actividad.
2. REINGRESO DEL APOLO
1) Cada vez que los astronautas de las naves Apolo regresaban de la Luna en la década de
1970, tenían cuidado en ingresar a la atmósfera de la Tierra a lo largo de una trayectoria
que formase un pequeño ángulo α con la horizontal. Ver la ilustración 1. Esto es necesario
para evitar fuerzas “g” intolerablemente grandes durante su reingreso.
Ilustración 1
Para apreciar las bases de su preocupación, considere el problema idealizado:
𝑑2
𝑠
𝑑𝑡2
= −𝐾𝑒
𝑠
𝐻 (
𝑑𝑠
𝑑𝑡
)
2
Donde K y H son constantes y la distancia S se mide hacia abajo desde algún punto de referencia
sobre la trayectoria, como se muestra en la ilustración 1. Esta ecuación aproximada pretende que
la única fuerza sobre la cápsula durante el reingreso es la resistencia del aire. Para un cuerpo como
el Apolo, la resistencia es proporcional al cuadrado de la velocidad y a la densidad atmosférica
local, que decae exponencialmente con la altura. Intuitivamente, sería de esperar que la
desaceleración predicha por este modelo dependería fuertemente de la constante K (que toma en
cuenta la masa y el área del vehículo, entre otras cosas); pero de manera notable, para cápsulas
que entran a la atmósfera (en "𝑠 = −∞") con una velocidad común V0, la desaceleración máxima
resulta ser independiente de K.
a) Verifique esta última afirmación demostrando que esta desaceleración máxima no es más
que:
𝑉0
2
𝑒𝐻
. SUGERENCIA: La variable independiente t no aparece en la ecuación diferencial,
de modo que es útil hacer la sustitución 𝑣 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
.
b) Verifique también que en el instante de mayor desaceleración, cualquiera de estas naves
viajará precisamente a la velocidad
𝑉0
√ 𝑒
, habiendo perdido casi el 40% de su velocidad inicial
original.
c) Use los datos plausibles V0=11 km/s y H= 10/(sen(α)) km, estime cuán pequeño debe
elegirse α para no perturbar a los viajeros que retornan con no más de 10 g.
Alar Toomre, Massachussets Institute of Technology.
3. DISEÑO DE UN SISTEMA DE ATERRIZAJE PARA UN VIAJE INTERPLANETARIO
2) Usted es un cadete de segundo año de la academia espacial, a bordo del Enterprise, que
realiza un estudio a largo plazo del sistema estelar GLIA. El objeto de estudio en la
expedición actual es el gran planeta GLIA 4, sin aire. Se enviará una sonda con un sensor
clase 1, con una masa m, a la superficie del planeta para reunir datos. La sonda tiene un
sistema de aterrizaje ajustable, para poderse usar en planetas con gravedades distintas. El
sistema consta de un resorte lineal (fuerza=-kx, donde x es el desplazamiento), un resorte
no lineal (fuerza=-ax3
) y un amortiguador (fuerza=-bx) todos en paralelo.
Ilustración 2
En la ilustración 2 se muestra el esquema del sistema de aterrizaje de una sonda. (a) El sistema al
momento del impacto. Los resortes no están estirados ni comprimidos, los propulsores se han
apagado y la velocidad es VL hacia abajo. (b) La sonda ha alcanzado un estado de reposo sobre la
superficie, y los resortes se han comprimido lo suficiente para soportar el peso. Entre los estados
(a) y (b), la sonda oscila con respecto a su base.
Durante el proceso de aterrizaje, los propulsores se usan para crear una razón de descenso
constante. La velocidad al momento del impacto varía; usamos el símbolo VL para denotar la
máxima velocidad que podría ocurrir en la práctica. Al momento del impacto, (1) el propulsor se
apaga y (2) los resortes de suspensión tienen su longitud natural sin estirar.
a) Sea x el desplazamiento medido desde su longitud sin estirar de los resortes, negativo
hacia abajo (es decir, la compresión proporciona una x negativa). Muestre que la ecuación
que describe las oscilaciones después del impacto es:
𝑚𝑥̈ + 𝑏𝑥̇ + 𝑘𝑥 + 𝑎𝑥3
= −𝑚𝑔
b) La sonda tiene una masa m=1,220 kg. El resorte lineal está instalado de manera
permanente y tiene una rigidez k=35,600 N/m. La gravedad en la superficie de la GLIA 4 es
g=17.5 m/s2
. El resorte no lineal es removible; hay que elegir un resorte adecuado para
cada misión. Estos resortes no lineales están hechos de coralidio, una aleación rara y difícil
de fabricar. Por lo tanto, el Enterprise sólo lleva consigo cuatro diferentes tipos: a=
150000,300000, 450000 y 600000 N/m3
. Determine que resortes proporcionan una
compresión lo más cercana posible a 0.3 m sin exceder 0.3 m cuando la nave reposa sobre
la superficie de GLIA 4. (El límite de 0.3 m es impuesto por requisitos de espacio libre).
Alfred Clark, Jr., Universidad de Rochester.
4. SOLUCIONES CON SIMETRÍA ESFÉRICA DE LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER
PARA EL ÁTOMO DE HIDRÓGENO
3) En mecánica cuántica, uno está interesado en determinar la función de onda y los estados
de energía de un átomo, lo que se logra mediante la ecuación de SchrÖdinger. En el caso
del átomo de hidrógeno, es posible hallar funciones de onda ψ que sólo dependan de r, la
distancia del protón al electrón. Tales funciones se llaman funciones con simetría esférica
y satisfacen la sencilla ecuación:
(1)
1
𝑟
𝑑2(𝑟𝜓)
𝑑𝑟2
=
−8𝑚𝜋
ℎ2 (𝐸 +
𝑒0
2
𝑟
) 𝜓
Donde 𝑒0
2
, m y h son contantes y E, que también es una constante, representa la energía
del átomo, que aquí suponemos negativa.
a) Muestre que con las sustituciones:
𝑟 =
ℎ2
4𝜋2 𝑚𝑒0
2 𝜌 y 𝐸 =
2𝜋2 𝑚𝑒0
4
ℎ2 𝜀
Donde ɛ es una constante negativa, la ecuación (1) se reduce a:
𝑑2(𝜌𝜓)
𝑑𝜌2
= − (ɛ +
2
𝜌
) 𝜌𝜓
b) Si 𝑓 = 𝜌𝜓, entonces la ecuación anterior se convierte en:
(2)
𝑑2(𝑓)
𝑑𝜌2
= − (ɛ +
2
𝜌
) 𝑓
c) Muestre que la sustitución 𝑓(𝜌) = 𝑒−𝛼𝜌
𝑔(𝜌), donde α es una constante positiva,
transforma a (2) en:
(3)
𝑑2
𝑔
𝑑𝜌2
− 2𝛼
𝑑𝑔
𝑑𝜌
+ (
2
𝜌
+ 𝜀 + 𝛼2
) 𝑔 = 0
d) Si elegimos α2
=-ɛ (ɛ negativo), entonces (3) queda:
(4)
𝑑2
𝑔
𝑑𝜌2
− 2𝛼
𝑑𝑔
𝑑𝜌
+
2𝑔
𝜌
= 0
e) Muestre que una solución en serie de potencias 𝑔(𝜌) = ∑ 𝑎 𝑘 𝜌 𝑘∞
𝑘=1 (que comienza en
k=1) para (4) debe tener coeficientes 𝑎 𝑘 que satisfagan la relación de recurrencia:
(5) 𝑎 𝑘+1 =
2(𝛼𝑘 − 1)
𝑘(𝑘 + 1)
𝑎 𝑘, 𝑘 ≥ 1
f) Sean En y ψn(𝜌) el estado de energía y la función de onda respectivamente,
correspondientes a α=1/n. Determine En (en términos de las constantes 𝑒0
2
, m y h) y
ψn(𝜌) para n=1, 2 y 3.
Erwin Rudolf Josef Alexander SchrÖdinger, Premio Novel de Física.
5. FLEXIÓN DE UNA TORRE
4) Una torre se construye con cuatro vigas angulares unidas por las diagonales (ver
ilustración 3). La curva de deflexión y(x) para la torre queda descrita mediante la ecuación:
(1) 𝑥2
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+
𝑝𝑎2
𝐸𝐼
𝑦 = 0, 𝑎 < 𝑥 < 𝑎 + 𝐿
Donde x es la coordenada vertical medida hacia abajo desde la parte superior de la torre, y
es la flexión con respecto de la vertical que pasa por el centro de la torre sin flexión, L es la
altura de la torre, a es la longitud de truncamiento, P es la carga, E es el módulo de
elasticidad e I es el momento de inercia. Las condiciones de frontera adecuadas para este
diseño son: 𝑦(𝑎) = 0, 𝑦´(𝑎 + 𝐿) = 0.
Es claro que la solución y(x)=0 siempre está a la mano. Sin embargo, cuando la carga P es
lo bastante pesada, la torre puede pandearse y puede surgir una solución no trivial y(x).
Ilustración 3
a) Resuelva la ecuación (1)
b) Muestre que la primera condición en la frontera 𝑦(𝑎) = 0 implica:
𝑦 = 𝐴√ 𝑥𝑠𝑒𝑛 (𝛽 ln (
𝑥
𝑎
) )
Donde A es una constante arbitraria y 𝛽 = √
𝑃𝑎
𝐸𝐼
−
1
4
c) Muestre que la segunda condición en la frontera 𝑦´(𝑎 + 𝐿) = 0 implica:
𝐴 {𝑡𝑎𝑛 [𝛽 ln (
𝑎 + 𝐿
𝑎
)] + 2𝛽}
d) Use el resultado de la parte (c) para justificar que no hay flexión (es decir, la única
posibilidad es A=0) si 0 < 𝛽 < 𝛽𝑐, donde 𝛽𝑐 es el menor número real positivo que
anula la expresión entre llaves.
e) El valor de la carga correspondiente a 𝛽𝑐 es la carga crítica Pc. Determine Pc en
términos de 𝛽𝑐, a, E e I.
f) Halle la carga crítica Pc si a=10, L=40 y EI=1000.
Físico-Matemático Leonard Euler (1757).
6. OBJETOS QUE FLOTAN
5) El movimiento de los objetos que tienen formas diferentes y flotan en una piscina puede
modelarse mediante una ecuación diferencial de segundo orden que se deduce de la
segunda ley de movimiento de Newton, F=ma. Las fuerzas que actúan sobre el objeto
incluyen la fuerza debida a la gravedad, una fuerza de fricción debida al movimiento del
objeto en el agua, y una fuerza de flotación basada en el principio de Arquímedes: Un
objeto total o parcialmente sumergido en un fluido recibe una fuerza (de flotación) hacia
arriba igual al peso del agua que desplaza.
a) El primer paso consiste en escribir la ecuación diferencial que describe el movimiento.
La variable dependiente es la profundidad “z” del punto más bajo del objeto en el
agua. Consideramos a “z” negativa hacia abajo, de modo que z=-1 indica que un pie
del objeto está sumergido. Sean V(z) el volumen sumergido del objeto, m la masa del
objeto, 𝜌 la densidad del agua (en libras por pie cúbico), g la aceleración debida a la
gravedad y 𝛾 𝑤 el coeficiente de fricción para el agua. Si la fuerza de la fricción es
proporcional a la velocidad vertical del objeto, escriba la ecuación diferencial ordinaria
que describe la situación.
b) Por el momento, desprecie el efecto de fricción y suponga que el objeto es un cubo
que mide L pies de lado. Escriba la ecuación diferencial correspondiente a este caso. A
continuación, designe z=𝑙 como la profundidad de la sumersión, de modo que la
fuerza de flotación sea igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza de
gravedad. Introduzca una nueva variable, ζ, que proporciona el desplazamiento del
objeto a partir de su posición de equilibrio 𝑙 (es decir, z=𝜁 + 𝑙). Ahora podrá escribir la
ecuación diferencial ordinaria de una manera más familiar. SUGERENCIA: recuerde el
sistema masa resorte y el caso de equilibrio). Ahora deberá reconocer el tipo de
solución para este problema. ¿Cuál es la frecuencia natural?
c) Aquí analizará el efecto de fricción. El objeto que flota es un cubo, con un pie por lado
y peso de 32 libras. Sean 𝛾 𝑤=3 lb-s/pies, 𝜌=62.57 lb/pie3
y suponga que el objeto está
colocado inicialmente sobre una superficie del agua. Resuelva la ecuación diferencial
correspondiente, a mano, hallando la solución general. A continuación, determine la
solución particular para el caso en que el cubo se coloca inicialmente sobre la
superficie del agua y su velocidad inicial es nula. Proporcione una gráfica de la posición
del objeto como función del tiempo t.
d) Suponga que una esfera de radio R se deja flotar en el agua. Deduzca la ecuación de
segundo orden que describe el movimiento de la esfera, usando el principio de
Arquímedes y una fricción debido a su movimiento en el agua. Suponga que una
esfera pesa 32 libras, tiene un radio de 0.5 pie y 𝛾 𝑤=3 lb-s/pie. Determine el valor
límite de la posición de la esfera sin resolver la ecuación ordinaria. A continuación
resuelva la ecuación diferencial ordinaria para la velocidad y posición de la esfera
como funciones del tiempo, para una esfera colocada sobre la superficie del agua.
Deberá escribir la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden como un sistema
de dos ecuaciones diferenciales ordinarias, una para la velocidad y otra para la
posición. ¿Cuál es la posición límite de la esfera para su solución? ¿Coincide con la
solución de equilibrio que halló antes? ¿Cuál es su relación con la posición de
equilibrio del cubo? En caso que sean distintas, explique por qué.
Richard Bernatz, Luther College.