El documento presenta una lista de fórmulas y conceptos fundamentales de matemáticas, física y química organizados en tablas e índices. Incluye fórmulas de geometría, trigonometría, números complejos, cálculo, física clásica y química general como la tabla periódica y pesos atómicos.

1. ÍNDICE
1
MATEMÁTICAS
Geometría
Trigonometría
Números Complejos
Geometría Analítica del Espacio
Reglas Generales de Derivación
Tablas de Integrales
Vectores
Integrales Múltiples
Fórmulas Misceláneas
1
2
2
3
4
6
10
11
13
14
FÍSICA
Cinemática
Dinámica
Trabajo, Energía y Conservación de la Energía
Impulso e Ímpetu
Electricidad y Magnetismo
Constantes
Factores de conversión
14
14
15
15
15
18
19
20
QUÍMICA
Formulario de química
Tabla Periódica de los Elementos
Serie Electroquímica de los Metales
Tabla de Pesos Atómicos
XVIII Evento Nacional de Ciencias Básicas de los Institutos Tecnológicos 2011
20
21
22
23
Etapa Nacional

2. 1
FORMULARIO DE MATEMÁTICAS
Geometría
Volumen  4  r
3
r
3
Área de la Superficie  4  r 2
r
Volumen
  r 2h
h
Área de la superficie lateral  2  rh
r
Volumen  1  r 2 h
3
h
l
Área de la superficie lateral   r r  h   r l
2
2
Volumen  1  h a 2  ab  b2 
3
   a  b h   b  a 
2
Área de la superficie lateral
a
2
   a  b l
l
h
b
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Etapa Nacional

3. 2
Trigonometría
1
1
sen2 A  2  2 cos 2 A
1
1
cos2 A  2  2 cos 2 A
sen 2 A  2 sen A cos A
cos 2 A  cos2 A  sen2 A
sen2 A  cos2 A  1
sec2 A  tan2 A  1
csc2 A  cot 2 A  1
sen A
cos A
cos A
cot A 
sen A
tan A 
sen  A  B  sen A cos B  cos A sen B
cos  A  B  cos A cos B  sen A sen B
tanA  tanB
tan  A  B 
1  tanAtanB
sen A csc A  1
cos A sec A  1
A
1  cos A

2
2
A
1  cos A
cos  
2
2
tan A cot A  1
sen
sen   A   sen A
cos   A  cos A
sen A sen B 
sen A cos B 
1
2
cos A cos B 
tan  A  tan A
1
2
1
2
 cos A  B  cos A  B
 sen A  B  sen  A  B
 cos A  B  cos A  B
Las leyes siguientes son validas para cualquier triángulo plano ABC de lados a, b, c y de ángulos A, B,
C.
Ley de los senos
a
b
c


sen A sen B sen C
A
Ley de los cosenos
c
c2  a 2  b2  2 ab cos C
Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar
Ley de las tangentes
1
a  b tan 2  A  B

1
a  b tan 2  A  B
Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar
C
a
B
Números Complejos
Siendo p un número real cualquiera, el teorema de De Moivre establece que
 r cos  i sen  p  r p  cos p  i sen p 
Sea n cualquier entero positivo y p  1 n , entonces
1
1
2
2
 r cos  i sen  n  r n  cos  n k  i sen  n k 
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b
Etapa Nacional

4. 3
donde k es un entero positivo. De aquí se pueden obtener las n raíces n-ésimas distintas de un número
complejo haciendo k  0,1,2, , n  1
Geometría Analítica del Espacio
Considerando P   x1 , y1 , z1  y P   x2 , y2 , z2 
2
1
Vector que une P1 y P2 :
PP   x2  x1  , y2  y1  , z2  z1    l, m, n
1 2
Distancia entre dos puntos:
d
x
Recta que pasa por dos puntos:
- Forma Paramétrica:
x  x1  l t
2
 x1    y2  y1    z2  z1   l 2  m2  n2
2
2
y  y1  mt
-Forma Simétrica:
t
x  x1
l
t
Cosenos Directores:
x x
l
cos   2 1 
d
d
2
cos  
z  z1  nt
y  y1
m
t
y2  y1 m

d
d
cos  
z  z1
n
z2  z1 n

d
d
donde , ,  denotan los ángulos que forman la línea que une los puntos P1 y P2 con la parte positiva
de los ejes x, y, z respectivamente.
Ecuación del Plano:

- Que pasa por un punto P1(x1, y1, z1) y tiene vector normal a  a1 ,a2 ,a3 :
a1 x  x1   a2  y  y1   a3  z  z1   0
-Forma General:
Ax  By  Cz  D  0
cos2   cos2   cos2   1
o
l 2  m2  n2  1
Distancia del punto P0(x0, y0, z0) al plano Ax+By+Cz+D=0
Ax 0  By 0  Cz0  D
d

A2  B2  C 2
en la cual el signo debe escogerse de tal manera que la distancia no resulte negativa.
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Etapa Nacional

5. 4
Coordenadas cilíndricas:


2
2
x  r cos
r  x  y


y
 y  r sen  o    tan 1 x
z z

z  z


z
{

P
(x,y ,z)
(r,z)
z
O
y
r
x

y
x
Coordenadas esféricas:
z

 x  r sen  cos 
 r  x2  y2  z2


y
 y  r sen  sen  o    tan 1 x

 z  r cos

1
z

  cos  x 2  y 2  z 2 

{
P
(x,y ,z)
(r,  
r


z
O
x
y

y
x
Ángulo entre dos rectas en el plano tan  
m2  m1
1  m1m2
Reglas Generales de Derivación
d
( c)  0
dx
d
 cx   c
dx
d
 cx n   ncx n1
dx
d
du dv dw
 u  v  w    
dx
dx dx dx
d
du
 cu  c
dx
dx
d
dv
du
 uv  u  v
dx
dx
dx
d
dw
dv
du
 uvw  u v  u w  v w
dx
dx
dx
dx

 
du
dv
d  u  v dx  u dx
 
dx  v 
v2

d n
du
 u   nun1
dx
dx
dF dF du
(Regla de la cadena)

dx du dx
du
1

dx dx
du
dF dF du

dx dx
du
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Etapa Nacional

6. 5
Derivadas de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas
log a e du
d
log a u 
a  0, a  1
dx
u dx
d
d
1 du
ln u  loge u 
dx
dx
u dx
d u
du
u
a  a ln a
dx
dx
d u
du
e  eu
dx
dx
d v d v ln u
d
du
dv
u  e  ev ln u
v ln u  vuv 1  uv ln u
dx
dx
dx
dx
dx
Derivadas de las Funciones Trigonométricas y de las Trigonométricas Inversas
d
du
sen u  cos u
dx
dx
d
du
cos u   sen u
dx
dx
d
du
2
tan u  sec u
dx
dx
d
1 du
sen1 u 
dx
1  u2 dx
d
1 du
cos1 u 
dx
1  u2 dx
d
1 du
tan1 u 
dx
1  u2 dx
d
1 du
cot 1 u 
dx
1  u2 dx
d
du
cot u   csc2 u
dx
dx
d
du
sec u  sec u tan u
dx
dx
d
du
csc u   csc u cot u
dx
dx
   sen1 u 
2

2
0  cos1 u  
   tan1 u 
2

2
0  cot 1 u  
d
1
du
1 du
sec1 u 

dx
u u 2  1 dx u u 2  1 dx
  si

 si

0  sec1 u   
2

1


2  sec u  

d
1
du
1 du
csc1 u 

dx
u u 2  1 dx u u 2  1 dx
  si 0  csc1 u   
2


1

  si  2  csc u  0


Derivadas de las Funciones Hiperbólicas y de las Hiperbólicas Recíprocas
d
du
senh u  cosh u
dx
dx
d
du
cosh u  senh u
dx
dx
d
du
tanh u  sec h2u
dx
dx
d
du
coth u   csc h 2 u
dx
dx
d
du
sec h u   sec h u tanh u
dx
dx
d
du
csc h u   csc h u coth u
dx
dx
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7. 6
d
1 du
sen h-1u 
2
dx
u  1 dx




d
1 du
cos h -1u 
dx
u 2  1 dx
d
1
tanh1 u 
dx
1  u2
d
1
coth1 u 
dx
1  u2
du
dx
du
dx
si
si
cosh 1 u  0, u  1

1
cosh u  0, u  1

1  u  1

u  1 o

 si

 si

d
1 du
sec h -1u 
dx
u u 2  1 dx

u  1

0  u  1

0  u  1

sec h 1u  0,
sec h 1u  0,
d
1
du
1 du
csc h -1u 

2 dx
dx
u 1 u
u 1  u2 dx



u  0,
si

si

u  0

Tablas de Integrales
 u dv  uv   v du
1
 u du  n  1 u  C
n1
n
n  1
 u  ln u  C
 e du  e  C
du
u
u
au
 a du  ln a  C
 sen u du   cos u  C
u
 cos udu  sen u  C
 sec
 csc
2
2
u du  tan u  C
u du   cot u  C
 sec u tan u du  sec u  C

u
a 2  u2 du 
2
a 2  u2 du 
 csc u cot u du   csc u  C
 tan udu  ln sec u  C
 cot u du  ln sen u  C
 sec udu  ln sec u  tan u  C
 csc u du  ln csc u  cot u  C

du
u
C
a
a u
du
1
1 u
 a 2  u 2  a tan a  C
du
1
u
 2 2  a sec1 a  C
u u a
du
1 ua
 a 2  u2  2a ln u  a  C
du
1 ua
 u2  a 2  2a ln u  a  C
2
u 2
a2
a  u2  ln u  a 2  u2  C
2
2
u 2
a2
 a  2u2  a 2  u2  ln u  a 2  u2  C
8
8
2
 sen 1


1
a 2  u2  a
  ln
C
a
u
u a 2  u2
du
a 2  u2

C
a 2u
a 2  u2
du
u2
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Etapa Nacional

8. 7

a u
a a u
du  a 2  u 2  a ln
C
u
u

a u
a u
du  
 ln u  a 2  u 2  C
2
u
u
du
 ln u  a 2  u2  C
a 2  u2
2
2
2

2
2
u 2 du
2
2
2
u 2
a2
a  u2  ln u  a 2  u 2  C
2
2

a

du
2
u

2 3/ 2

a 2  u2 du 
u
2
u
a
2
a 2  u2
C
u 2
a2
u
a  u 2  sen1  C
2
2
a
a 2  u2 du 
u
a4
u
 2u2  a 2  a 2  u2  sen1  C
8
8
a

a 2  u2
a  a 2  u2
2
2
du  a  u  a ln
C
u
u
a 2  u2
1 2
u
du  
a  u 2  sen 1  C
2
u
u
a

u 2
a2
2
u  a du 
u  a  ln u  u2  a 2  C
2
2
u 2 du
u
a2
u
 2 2   2 a 2  u2  2 sen1 a  C
a u
du
1 a  a 2  u2
C
 2 2   a ln
u
u a u
u 2 2 2 2 a4
 u u  a du  8  2u  a  u  a  8 ln u  u2  a 2  C

u2  a 2
a
du  u 2  a 2  a cos1  C
u
u

1
a 2  u2  C
a 2u

u
3a 4
u
 2u2  5a 2  a 2  u2  sen1  C
8
8
a

u2  a 2
u2  a 2
du  
 ln u  u 2  a 2  C
u2
u
du
 ln u  u 2  a 2  C
2
2
u a
u 2 du
u
a2
2
2

u a 
ln u  u 2  a 2  C
2
2
2
2
u a


du
u
2
a

a 2  u2
2
a u
2
2


 u2  2 du  
3
du
 a 2  u2 
3

2
u
a 2 a 2  u2
C
2
2

2
2
2
u2  a 2
 2 2 2  a 2u  C
u u a
du
u
 2 2 32   2 2 2  C
a u a
u  a 
du
udu
1
 a  bu  b2  a  bu  a ln a  bu   C
u2 du
1
 a  bu  2b3  a  bu 2  4a a  bu  2a 2 ln a  bu   C

u
u2 du
2
 8a 2  3b2u2  4abu a  bu

a  bu 15b3
du
1
a  bu  a

ln
 C, si a  0
a  bu
a
a  bu  a
2
a  bu
tan1
 C , si a  0
a
a
a  bu
du
du  2 a  bu  a 
u
u a  bu
a  bu
a  bu b
du
du  
 
2
u
u
2 u a  bu

 u a  bu  a ln a  bu  C
du
1
u
 u  a  bu   au  a
du
2
1
b
2
ln
a  bu
C
u


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9. udu
a
1
  a  bu 2  b2  a  bu  b ln a  bu  C
 u a  bu
du
u 2 du
 a  bu 
u

2
2


u
1
1 a  bu
 2 ln
C
a a  bu a
u


a2
 a  bu 
 2a ln a  bu   C


a  bu


1
b3
a  budu 
n
a  bu du 
8

2u n a  bu
2na
u n1 du

 a  bu
b 2n  1
b 2n  1
a  bu
du
a  bu
b 2n  3
du
 un a  bu   a n  1 un1  2a n  1  un1 a  bu

u n du

2
3


 2 C
2 3bu  2a a  bu
15b
udu
2
 2  bu  2a  a  bu
a  bu 3b
 sen
 cos
2
1
udu  2 u  1 sen 2u  C
4
2
1
1
u du  2 u  4 sen 2u  C
 tan
 cot
 sen
2
u du  tan u  u  C
u du   cot u  u  C
2
3
u du   1  2  sen2 u cos u  C
3
3
u du  1  2  cos2 u sen u  C
3
 cos
 tan udu  tan u  ln cos u  C
 cot u du   cot u  ln sen u  C
3
3
 sec
3
2
1
2
1
2
2
1
1
u du  2 sec u tanu  2 ln sec u  tanu  C
 sen au cosbu du  
cos a  b u cos a  b u

C
2 a  b
2 a  b
 u sen u du  sen u  u cos u  C
 u cos u du  cos u  u sen u  C
u
n
sen u du  un cos u  n un1 cos u du
 csc u du  
 sen u du  
1
csc u cot u  2 ln csc u  cot u  C
n 1
n
n1
1
u cos u 
 senn2 u du
n sen
n
n 1
 cosn u du  n1 cosn1 u sen u  n  cosn2 u du
1
n
n 1
n2
 tan u du  n  1 tan u   tan u du
1
 cot n u du  n  1 cot n1 u   cot n2 u du
1
n2
 secn u du  n  1 tanu secn2 u  n  1  secn2 u du
1
n2
 cscn u du  n  1 cot u cscn2 u  n  1  cscn2 u du
sen a  b u sen a  b u
 sen au sen bu du  2 a  b  2 a  b  C
sen a  b u sen a  b u
 cos au cosbu du  2 a  b  2 a  b  C
 un cos u du  un sen u  n un1 sen u du
3
 sen
n

2
3
un  a  bu 2  na  un 1 a  bu du
b 2n  3
1
2
u cosm u du
senn1 u cosm1 u n  1

 senn2 u cosm u du
nm
nm
senn1 u cosm1 u m  1


 senn u cosm2 u du
nm
nm
2u 2  1 1
u 1  u2
u cos1 u du 
cos u 
C

4
4
u 2 1
u
utan 1u du 
tan 1u   C

2
2

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Etapa Nacional

10.  sen
9
1
 cos
1
 tan
1
u
u du  u cos1 u  1  u2  C
1


u du  u tan 1u  1 ln 1  u 2  C
2
 u sen1 u du 
 ue
1  n1
1
u sen u  
n  1
1 
 un cos1 u du  n  1un1 cos1 u  

u du  u sen u  1  u  C
2
e
au
2u2  1 1
u 1  u2
sen u 
C
4
4
 un ln u du 
u n1
 n  1 ln u  1  C
 n  1 2
 u ln u du  ln ln u  C
1
 sech udu  ln tan u  C
 sech udu  tanh u  C
 csch udu   coth u  C
 sech u tanh u du  sech u  C
 csch u coth udu  csch u  C
1
2
2
2
ua
a2
a  u
 C
2au  u 2  cos1
 a 
2
2

2u  au  3a 2
a 3 1 a  u 
2
 C
2au  u  cos 
 u 2au  u du 
 a 
6
2

2

2a u  u 2
a  u
 C
du  2a u  u 2  a cos1
2
 a 
u

a  u
 C
 cos1
 a 
2a u  u
u du
a  u
 C
  2a u  u 2  a cos1
2
 a 
2au  u
du
2
2a u  u 2

C

au
u 2a u  u 2
2a u  u 2
2 2a u  u 2
a  u
 C
du  
 cos1
2
 a 
u
u

u 2du
2au  u 2


, n  1

eau
 a cos bu  b sen bu  C
a  b2
1
2au  u 2 du 
1  n 1 1
u n 1 du
u tan u  

n 1 
1 u 2
2
 senh u du  cosh u  C
 cosh u du  senh u  C
 tanh udu  ln cosh u  C
 coth u du  ln senh u  C
 sech udu  tan senh u  C

u du 
, n  1
1  u2 
u n1du 
, n  1
1  u2 
 ln u du  u ln u  u  C
du 
cos bu du 
sen 1 u du 
n
1
 u tan u du 
1

 au
2 au  1 e  C
a
1
n
 uneau du  a uneau  a  un1eaudu
eau
eau sen bu du  2 2  a sen bu  b cos bu  C

a b
au
n
n 1
u  3a 
2
2au  u 2 
du
3a 2
 a u
cos 1
C
2
 a 
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Etapa Nacional

11. 10
Vectores
A  B  A B cos
0  
donde  es el ángulo formado por A y B
A  B  A1 B1  A2 B2  A3 B3




donde A  A1   A2   A3 k , B  B1 i  B2 j B3 k
i
j
Son resultados fundamentales:



i
j
k
Producto cruz: A  B  A1
A2
A3
B1
B2
B3
ˆ
  A2 B3  A3 B2 ˆ   A3 B1  A1 B3 ˆ   A1 B2  A2 B1 k
i
j
Magnitud del Producto Cruz
A  B  A B sen 
El operador nabla se define así:

 i
   
 j k
x y
z
En las fórmulas que vienen a continuación vamos a suponer que U=U(x,y,z), y A=A(x,y,z)
tienen derivadas parciales.
Gradiente de U = grad U
      
 U  U  U 
 U  i
 j  k U 
i
j
k
 x y
 z
x y z


  



   
   A1 i  A2 j A3 k 
j
k


y
 z 

 x

Divergencia de A = div A    A   i


A1 A2 A3


x  y z
  


   
 

j
k
Rotacional de A = rot A   A   i
 x  A1 i  A2 j A3 k 
y
 z 

 x



i
j
k

x

y

z
A1

A2
A3
 A A    A A    A A  
  3  2  i   1  3  j  2  1  k
  y z   z x   x  y
 2U  2U  2U


Laplaciano de U =  U    U  
 x2  y2  z2
2
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12. 11
Integrales Múltiples
b
f2 ( x )
x a
y  f1  x 
 

b
x a

F  x, y  dydx
f2 ( x )
y  f1  x 

F  x, y  dy dx
donde y  f1 x e y  f 2  x son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente,
mientras que a y b son las abscisas de los puntos P y Q. Esta integral también se puede
escribir así:
d
g2 ( y )
y c
x  g1  y 
 
F  x, y  dxdy  
d
y c

g2 ( y )
x  g1  y 

F  x, y  dx dy
donde x  g1 ( y) , x  g2 ( y) son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente,
mientras que c y d son las ordenadas de H y G.
Estas son las llamadas integrales dobles o integrales de área. Los anteriores conceptos se
pueden ampliar para considerar integrales triples o de volumen así como integrales
múltiples en más de tres dimensiones.
t
s  s(t )   r (t ) dt
a
Es la longitud de curva correspondiente al intervalo paramétrico a , t .
Vector tangente unitario
En parámetroarbitrario:

r (t )
t (t )  
r (t )
Vector normal principal
n(t )  b (t )  t (t )
b (t ) 
Vector binormal
En parámetro s:



t ( s)  r ( s)


r ( s)

n ( s)  

r ( s)
r   r (t )
r   r (t )
b ( s) 
r ( s)  r ( s)
r ( s)
        
  
Los vectores unitarios t , n , b forman un triedo positivo  b  t xn , n  b xt , t  nxb 
Recta tangente en t 0
Ecuación vectorial:



r    r  t0   r  t0 
Ecuación paramétrica
x  x0 y  y0 z  z0


x0
y0
x0



 
Plano osculador  t , n  en t 0
Ecuación vectorial
 r  r t     r t  xr t    0
0
0
0
Ecuación paramétrica
x  x0 y  y0 z  z0
x0
y0
z0  0



x0

y0

z0

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13. 12
Curvatura y Torsión


r  t  xr  t 
t 

3
r  t 
y´´

3
1  ( y´) 2  2


d
T  kN
ds
 s  r s



r  t    r  t  xr  t  
 t 


2
r  t  xr  t 
d
N   B  kT
ds
d
B   N
ds
Plano Normal
Ecuación vectorial:
 

r  r  t0   r  t0   0

Ecuación paramétrica:
x0  x  x0   y0  y  y0   z0  z  z0   0




 
Plano Rectificante  t , b  en t 0
Ecuación vectorial:

Ecuación paramétrica:
x - x0
y - y0
x0
y0



 

r  r  t 0   n t 0   0
y0 z0  y0 z0
 
 
z0 x0  z0 x0
   
z - z0
0
z0

x0 y0  x0 y0
 
 
Componentes Tangencial y Normal de la Aceleración
a
T



 a T 

 . a



a
N


 x a

aN 


Propiedades de la Divergencia




i) div ( F + G ) = div ( F ) +div ( G )



ii) div (  F ) =  div( F ) + ( grad  )  F


iii) div ( F + G ) = G 


rot ( F )
-


F  rot ( G )

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14. 13
Fórmulas misceláneas
x  at  sen t 
Ecuaciones paramétricas de la cicloide para t 
Trabajo
W

b
a
y  a1  cos t 
 
 a b
Comp b a  
b
 
F  dr
 a, b    a
Longitud de arco de
y  f  x
m     x, y dA
M x    y x, y dA
R
b
en
1  ( y)2 dx
M y    x x, y dA
R
R
b


x
Centro de gravedad de una región plana
a
b
a
Longitud de arco en forma paramétrica L  


1 b
2
a  f ( x) dx
y 2 b
 f ( x)dx
xf ( x)dx
,
f ( x)dx
2
a
2
 dx   dy 
     dt
 dt   dt 


Momento de inercia de R respecto al origen  I o    x 2  y 2  x, y dA
R
Área de la superficie generada al girar la gráfica f alrededor de x
S  2 F ( x) 1 f ( x)  d x
b
2
a
Volumen del sólido de revolución generado al girar la gráfica de f alrededor del eje y
b
V   2  t F (t )d t
a
b
V     f  x  dx
b
V  A( x)dx
Cálculo del volumen
2
a
a
y   P( x) y  Q( x)
Ecuación diferencial de primer orden
Solución
ye 

P ( x ) dx
  Q( x)e 
P ( x ) dx
dx  k
t
2
Ecuación del resorte helicoidal
r (t )  cos t ,sen t ,
Derivada direccional
 

Du f  x, y, z  f  x, y, z  u ( u vector unitario)
Ecuación satisfecha por la carga de un circuito LRC
Fuerza ejercida por un fluído
Lq  Rq 
b
F    y  L( y)dy
a
Fuerza que actúa sobre un líquido encerrado en un tubo
Ley de Torricelli
v=
1
q  E t 
C
F   A 2 x0 g   A 2 x g
2gh
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