Este documento explica los pasos para resolver sistemas de inecuaciones lineales de dos variables. Primero, se resuelven inecuaciones individuales representando la recta correspondiente y determinando en qué semiplano la solución cumple la inecuación. Luego, para sistemas, se encuentra la intersección de los semiplanos solución de cada inecuación. También presenta ejemplos resueltos de sistemas y problemas de texto relacionados con inecuaciones.

1. SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES Alejandro Camblor Fernández Departamento de Matemáticas IES Rey Pelayo Cangas de Onís

3. La solución de una inecuación de dos incógnitas es un semiplano . Los pasos a seguir para resolverla son: 1 er paso : representar la recta (cambiamos el símbolo por un igual) 2º paso : elegir un punto del plano (que no esté en la recta anterior) y estudiar cómo responde a la inecuación. 3 er paso : colorear el semiplano solución. 1 / 4 

4. Resuelve la inecuación: Represento la recta: Despejo la variable y: Tabla de valores: Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está es la solución . 2 / 4  x y 1 -1 3 -6

5. Algunas inecuaciones son sencillas: Si la inecuación tiene una sola variable, la recta es paralela a alguno de los ejes. Asocia cada inecuación con su solución b a c d e 3 / 4 

6. Resuelve las inecuaciones: Asocia cada inecuación con su solución b a c d 4 / 4 

7. La solución de un sistema de inecuaciones de dos incógnitas es una región (si existe). Los pasos a seguir para resolverla son: 1 er paso : representar la recta (cambiamos el símbolo por un igual) 2º paso : elegir un punto del plano (que no esté en la recta anterior) y estudiar cómo responde a la inecuación. 3 er paso : colorear el semiplano solución. 1 / 5 

8. Resuelve el sistema de inecuaciones: Represento la recta: Despejo la variable y: Tabla de valores: Elijo el punto (2,2), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: Como el punto (2,2) NO RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está NO ES LA SOLUCIÓN . 1 er paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación 2 / 5 x y 1 4 -2 -5

9. Resuelve el sistema de inecuaciones: Represento la recta: Despejo la variable y: Tabla de valores: Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: Como el punto (0,0) NO RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está NO ES LA SOLUCIÓN . 2º paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación 1 er paso: Tengo el semiplano solución de la primera inecuación 3 / 5 x y 2 1 -2 3

10. Resuelve el sistema de inecuaciones: 2º paso: Tengo el semiplano solución de la segunda inecuación 1 er paso: Tengo el semiplano solución de la primera inecuación 3 er paso: Busco la intersección de los dos semiplanos anteriores 4 / 5 

11. Resuelve los sistemas de inecuaciones: Asocia cada sistema con su solución b a c d 5 / 5 

12. Problemas de texto con inecuaciones Los pasos a seguir para resolverlo son: 1 er paso : plantear el sistema de inecuaciones. 2º paso : resolver el sistema dibujando la región solución. 3 er paso : resolver el problema, dando la solución con una frase si es posible.  1 / 9

13. Para fabricar una tarta de chocolate necesitamos medio kilo de azúcar y 5 huevos ; para fabricar la de manzana necesitamos un kilo de azúcar y 6 huevos . Si en total tenemos 60 huevos y 9 kilos de azúcar , ¿qué cantidad de cada tipo de tarta se pueden elaborar? 1 er paso: Organizamos los datos en una tabla y hallamos las inecuaciones 2º paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación Represento la recta: Despejo la variable y: Tabla de valores: Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN . 2 / 9 Tarta Cantidad Azúcar (kg) Huevos (u.) Chocolate x 0’5x 5x Manzana y 1y 6y Disponible 9 60 x y 2 8 6 6

14. 3 er paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación Represento la recta: Despejo la variable y: Tabla de valores: Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN . 4º paso: Busco los semiplano solución de las últimas inecuaciones 3 / 9 x y 6 5 12 0

15. 5º paso: Busco la región solución del sistema como intersección de los semiplanos anteriores La solución del sistema y del problema está representado en esta región . Realmente, sólo valen los valores x e y no decimales (los puntos de intersección de las cuadrículas) 4 / 9 

17. Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de acabado, ¿cuántas puede fabricar de cada tipo? Definimos las incógnitas: Planteamos las inecuaciones: Hallamos y representamos los semiplanos solución de cada inecuación, y la región solución del sistema: 6 / 9 

18. Una panadería fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Si se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema, ¿cuántos bollos de cada tipo puede elaborar? Definimos las incógnitas: Planteamos las inecuaciones: Hallamos y representamos los semiplanos solución de cada inecuación, y la región solución del sistema: 7 / 9 

19. Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. ¿Cuántas puede fabricar de cada tipo? Definimos las incógnitas: Planteamos las inecuaciones: Hallamos y representamos los semiplanos solución de cada inecuación, y la región solución del sistema: 8 / 9 

20. ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4 autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. ¿Cuántos vehículos de cada tipo puede utilizar? Definimos las incógnitas: Planteamos las inecuaciones: Hallamos y representamos los semiplanos solución de cada inecuación, y la región solución del sistema: 9 / 9 

21. Problemas de programación lineal Los pasos a seguir para resolverlo son: 1 er paso : plantear el sistema de inecuaciones e identificar la función objetivo . 2º paso : resolver el sistema de inecuaciones dibujando la región solución . 3 er paso : dibujar el vector de la función objetivo , y buscar el punto de la región solución que la optimiza . 4º paso : escribir la solución con una frase si es posible.  1 / 6

22. Para fabricar una tarta de chocolate necesitamos medio kilo de azúcar y 5 huevos ; para fabricar la de manzana necesitamos un kilo de azúcar y 6 huevos . La tarta de chocolate se vende a 12 € y la de manzana a 15 €. Si en total tenemos 60 huevos y 9 kilos de azúcar , ¿qué cantidad de cada tipo de tarta se debe elaborar para que la venta sea máxima? 1 er paso: Organizamos los datos en una tabla y hallamos las inecuaciones 2 / 6 La función objetivo es la que queremos optimizar . En este caso queremos que la venta sea la mayor posible: Tarta Cantidad Azúcar (kg) Huevos (u.) Chocolate x 0’5x 5x Manzana y 1y 6y Disponible 9 60

23. 2º paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación Represento la recta: Despejo la variable y: Tabla de valores: Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN . 3 / 6 3 er paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación Represento la recta: Despejo la variable y: Tabla de valores: Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN . x y 2 8 6 6 x y 6 5 12 0

24. 4º paso: Busco los semiplano solución de las últimas inecuaciones 4 / 6 6º paso: Dibujo el vector de la función objetivo 5º paso: Busco la región solución del sistema como intersección de los semiplanos anteriores La solución del problema está en esta región . Realmente, sólo valen los valores x e y no decimales (los puntos de intersección de las cuadrículas). El vector de la función objetivo es: Se dibuja desde el origen (0,0) hasta el punto (-5,4).

25. 5 / 6  7º paso: Trazo paralelas al vector de la función objetivo, sobre la región factible, y observo cuál está más alejado. Los puntos (x,y) de cada recta paralela dan el mismo valor a la función objetivo. Con cada recta paralela cambia el valor de la función objetivo: paralelas hacia un lado aumentan la función objetivo, y hacia el otro lado la disminuyen. En los punto de la región factible más alejados están los valores óptimos: máximo y mínimo . Se observa que el punto (6,5) es el que maximiza la función objetivo. Recuerda que los valores decimales de x e y no tienen sentido en este problema. SOLUCIÓN : Si se elaboran 6 tartas de chocolate y 5 de manzana , las ventas son mayores y se obtienen 147 € .