Métodos para desarrollar la inversión de matrices, información sobre los determinantes. Algebra lineal.

1. Algebra Lineal G100
Algebra Lineal G100
Jafet Salomón Valencia Ospina
Jafet Salomón Valencia Ospina
Matrices:
Matrices:
Inversión y
Inversión y
determinantes
determinantes

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Determinante
Determinante
Inversión
Inversión

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Determinante
●
Es un número de la matriz que permite resolver ecuaciones por el
método de cramer, solucionar valores para figuras geométricas y
demás. Se obtiene solo en matrices cuadradas.
●
Se obtiene al hacer la sumatoria de unos valores multiplicados
por una signatura. Para obtener la signatura se verifica el
número de cambios necesarios del grupo elegido para
transformarse en la combinación principal, uno a uno en el
conjunto de permutaciones.
●
Número de permutaciones = n!
Número de permutaciones = n!
●
Siendo n el número de columnas o filas en una matriz cuadrada.
Siendo n el número de columnas o filas en una matriz cuadrada.
Matriz 3*3 = 6 permutaciones {+123, -132, -213, +231, +312, -321}
Matriz 3*3 = 6 permutaciones {+123, -132, -213, +231, +312, -321}

4. 4
Método por definición
●
Para una matriz 2*2 las permutaciones y signaturas son
Pn = {+(12), -(21)} a continuación la sumatoria de la
fórmula general {A(1,p1)*A(2, p2)...*A(N, pn)} se
convierte para una matriz 2*2 como:
|A| = {A(1,1)*A(2,2)} -{A(2,1)*A(1,2)}

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Método de Pièrre Sarrus
●
Se aprovecha de un diagrama de flechas para facilitar
la representación del cálculo de determinante.
Matriz 2*2
|A|=(a11*a12)-(a12*a21)
Matriz 3*3
|A|=(a11*a22*a33)+(a21*a32*a13)
+(a23*a12*a31)-(a13*a22*a31)
-(a23*a32*a11)-(a21*a12*a33)
Matriz 4*4 combine los elementos del conjunto con las permutaciones:
Matriz 4*4 combine los elementos del conjunto con las permutaciones:
|A|={a(1),a(2),a(3),a(4)}*[{1,2,3,4}-{1,2,4,3}-{1,3,2,4}+{1,3,4,2}+{1,4,2,3}-{1,4,3,2}-
|A|={a(1),a(2),a(3),a(4)}*[{1,2,3,4}-{1,2,4,3}-{1,3,2,4}+{1,3,4,2}+{1,4,2,3}-{1,4,3,2}-
{2,1,3,4}+{2,1,4,3}+{2,3,1,4}-{2,3,4,1}-{2,4,1,3}+{2,4,3,1}+{3,1,2,4}-{3,1,4,2}-{3,2,1,4}
{2,1,3,4}+{2,1,4,3}+{2,3,1,4}-{2,3,4,1}-{2,4,1,3}+{2,4,3,1}+{3,1,2,4}-{3,1,4,2}-{3,2,1,4}
+{3,2,4,1}+{3,4,1,2}-{3,4,2,1}-{4,1,2,3}+{4,1,3,2}+{4,2,1,3}-{4,2,3,1}-{4,3,1,2}+{4,3,2,1}]
+{3,2,4,1}+{3,4,1,2}-{3,4,2,1}-{4,1,2,3}+{4,1,3,2}+{4,2,1,3}-{4,2,3,1}-{4,3,1,2}+{4,3,2,1}]

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|A|=2+12+36-32-3-9=6
|A|=18-(-1*4)=22

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Inversión
●
Implica la búsqueda de una matriz (B) para (A) tal que su multiplicación
Implica la búsqueda de una matriz (B) para (A) tal que su multiplicación
resulte en la matriz identidad así:
resulte en la matriz identidad así: A*B=I=B*A.
A*B=I=B*A.
●
Debido a que
Debido a que A*B ≠ B*A
A*B ≠ B*A una matriz invertida no tendría sentido si no es
una matriz invertida no tendría sentido si no es
cuadrada. El orden importa porque A(n*m)*B(p*q)=AB(n*q) mientras
cuadrada. El orden importa porque A(n*m)*B(p*q)=AB(n*q) mientras
B(p*q)*A(n*m)=BA(p*m).
B(p*q)*A(n*m)=BA(p*m).
●
A(1*3)*B(3*1)=AB(1*1)
A(1*3)*B(3*1)=AB(1*1)
●
B(3*1)*A(1*3)=BA(3*3)
B(3*1)*A(1*3)=BA(3*3)
●
Entonces, solo las matrices cuadradas podrían ser inversibles
Entonces, solo las matrices cuadradas podrían ser inversibles
●
En las matrices cuadradas |A|≠0 es requisito suficiente para
En las matrices cuadradas |A|≠0 es requisito suficiente para
saber que es inversible.
saber que es inversible.

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Método de Gauss
●
Utiliza las operaciones elementales:
●
Intercambio de Filas o Columnas
●
Suma o resta con otra Fila o Columna
multiplicada por un número real (1)
●
Multiplicación por un escalar
Pasos:
●
1) Coloca la matriz de trabajo y la matriz identidad en
paralelo.
●
2) Usa las operaciones elementales en espejo entre
ambas matrices para transformar la matriz de trabajo
en matriz identidad.
●
3) Cuando ha terminado la matriz inversa ocupa el
espacio de la matriz identidad.
●
Si al terminar resulta una matriz con columna o fila de
Si al terminar resulta una matriz con columna o fila de
ceros, esta no será inversible.
ceros, esta no será inversible.
Advertencia: Si trabaja con filas
no opere con columnas o
viceversa. Debe mantener su
elección hasta finalizar la
operación.

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Método de Adjuntos y Determinantes
●
Consiste en hallar los determinantes de los cofactores de la matriz y crear una nueva matriz
con estos valores. Si la matriz A(n*m) es inversible, el signo para multiplicar cada elemento
de la matriz de adjuntos se determina como
●
(+) Positivo si (n+m)MOD(2) = 0; es decir si n+m es número par.
●
(-) Negativo si (n+m)MOD(2)≠0; es decir si n+m es impar.
●
Finalmente la matriz de adjuntos se traspone y los valores se dividen por el determinante
de la matriz original.

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¿Cómo obtener el determinante de cada cofactor?
●
Se debe hacer por cada número en la matriz.
●
Seleccione el número
●
Ignore los elementos de la columna y fila del número seleccionado
●
Elabore una matriz con los números restantes en ese mismo orden
●
Al determinante de esta matriz antepóngale el signo que corresponde a (+) si la
coordenada es par o (-) si es impar

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●
Continúe hasta terminar la matriz adjunta

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●
Una vez que encuentre la matriz adjunta, hágala traspuesta y
finalmente multiplique cada valor por 1
Det ( A)

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