El documento describe las progresiones aritméticas y geométricas, explicando sus definiciones y fórmulas para calcular términos específicos. Se brindan ejemplos de cada tipo de progresión y se ilustra su aplicación práctica en situaciones cotidianas, como competiciones deportivas. Además, se plantean ejercicios para encontrar términos en diferentes sucesiones aritméticas.

1. Toda progresión matemática es una
sucesión de números o términos algebraicos
entre los cuales hay una ley de formación
constante.

2. Se distinguen dos tipos de progresiones
que son:
~ Progresiones Aritméticas
~ Progresiones Geométricas

3. Progresión Aritmética:
Toda sucesión, en que cada termino se
obtiene sumando (restando) un mismo
numero llamado diferencia. Ejemplo:
3, 5, 7, 9,11…
3, -1, -5, -9…

4. La expresión para calcular el
termino
n-esimo o ultimo termino es:
𝑢 = 𝑎 + 𝑛 − 1 𝑑

5. Ejemplo:
En la progresión aritmética 3, 5, 7… halla
el 8vo termino.
𝑢 = 𝑎 𝑛 − 1 𝑑
a=3
d=2
n=8
U= 3 + (8-1) 2
U= 3 + (7) 2
U= 3 + 14
U= 17

6. Progresión Geométrica:
Una progresión geométrica es una secuencia
en la que el elemento se obtiene
multiplicando el elemento anterior por una
constante denominada razón o factor de la
progresión. Ejemplo:
2, 4, 8, 16…
3, 6, 12, 24…

7. Se puede obtener el valor de un elemento
arbitrario de la secuencia mediante la
expresión del término general:
𝑈 = 𝑎. 𝑟 (n-
1)

8. Ejemplo:
Halle el decimo termino de la progresión 1,
2, 4
𝑈 = 𝑎. 𝑟
Datos
a= 1
r= 2
n=10
(n-
1)
U= 1 x
2(10-1)
U= 1 x 29
U= 1 x 512
U = 512

9. Ejercicio:
Halla el termino pedido en las siguientes
progresiones aritmética.
a) El 10mo termino de la sucesión -10, -6, -2…
b) El 11vo termino de la sucesión 42, 32, 22…
c) El 19no termino de la sucesión 31, 38, 45…
d) El 8vo termino de la sucesión 15, 19, 23…

10. Las Sucesiones para la vida
Aunque a simple vista podemos pensar que las
sucesiones en general, y las progresiones en
particular, solo consisten en una serie de números
que no tienen ninguna aplicación práctica, lo
cierto es que podemos encontrar aplicaciones de
ellas en muchas ocasiones de la vida cotidiana.
Por ejemplo, piensa en una competición de tenis.
Hay siempre un ganador que sale de la
competición final en la que han participado los
dos finalistas.

11. Para llegar ahí, se han celebrado unas
semifinales en las que han participado 4
jugadores. En la etapa anterior han competido
8 tenistas y así sucesivamente, ya que en cada
etapa de la competición siempre se clasifican
para la siguiente la mitad.
Luego el número de participantes en cada
etapa siempre será la mitad que en la etapa
anterior pues en cada partido se elimina uno
de los jugadores.

12. Es decir, tenemos una progresión
geométrica de razón 1/2.
En una competición con 32 participantes
bastarían 5 rondas para conseguir un
ganador. Lo curioso es que bastarían 26
rondas para que pudiesen participar en una
competición de tenis todos los habitantes
de España y sobrarían puestos casi para
Portugal.
Vamos a ver en este último apartado
algunos ejemplos de progresiones
relacionadas con la vida cotidiana.