Este documento describe las sucesiones, sumatorias y progresiones aritméticas y geométricas. Define una sucesión como una lista de objetos, eventos o números dispuestos en orden. Explica que las sucesiones pueden ser finitas o infinitas, crecientes o decrecientes. Las progresiones aritméticas generan términos sumando una cantidad fija al anterior, mientras que las geométricas lo hacen multiplicando por un número. Además, presenta fórmulas para calcular la suma y el término general de ambos tipos de progres

1. Sucesiones, Sumatorias y Progresiones
(Aritméticas y Geométricas)
Profesora: Alumno(a):
Milagros Coraspe Palomo Desiree
C.I 26.720.913
Sección “41’’
Maturín, Febrero 2017
UNIVERSIDAD DE ORIENTE
NÚCLEO MONAGAS
DEPARTAMENTO SOCIO HUMANÍSTICO
MATEMÁTICA I

2. Intuitivamente podemos describir una sucesión como una
lista de objetos, eventos o números que vienen uno después del
otro, es decir, una lista de cosas dadas en algún orden definido.
Las sucesiones y progresiones se pueden encontrar en
multitud de situaciones de nuestra naturaleza como por ejemplo;
el aumento de velocidades por segundo en la prueba de una carro
de carreras, para la medición de infraestructuras,
para calcular el incremento en el que se ha dado la tasa de
mortalidad y natalidad de una ciudad.
Por eso surgen como instrumento matemático. Cada
objeto de una sucesión se llama término. Puede definirse una
sucesión como una función f cuyo dominio es el conjunto N de
enteros positivos

3. Es una función cuyo dominio es el conjunto de los números
naturales: {1, 2, 3, …}. Es decir, un conjunto de números dispuestos
uno a continuación de otro.
Los términos o elementos de una sucesión son denotados por medio
de una letra, por ejemplo a, y un subíndice i, que indica la posición que ese
término ocupa en la sucesión:
ejemplo: a1, a2, a3 ,..., an
Sucesiones:

4.  Las sucesiones pueden ser finitas (un número finito de términos) o infinitas.
 Crecientes si cada término es mayor que su anterior, es decir, an≤an+1an≤an+1
 O decrecientes si an≥an+1an≥an+1
 Atendiendo a su ley de formación se clasifican como: sucesiones aritméticas (o
progresiones aritméticas) y sucesiones geométricas(o progresiones geométricas)
 Las aritméticas, los términos se obtienen sumándole al término anterior un
número fijo.
 Son geométricas cuando cada término es el término anterior multiplicado por un
número en concreto.
Veamos las características que la definen:

5. Se llama término general an de una sucesión a la expresión o formula
que permite expresar un termino cualquiera en función del lugar que ocupa. En
la sucesión de números primos no existe ninguna formula que exprese el
termino general. Por costumbre, al término general de una sucesión se le
denota por an y se hablará de término n-ésimo.
Veamos un donde aparece una sucesión, y a la derecha su termino general:
Se muestra una serie de ejemplos de como hallar el término n-ésimo
(enésimo) de una sucesión matemática haciendo hincapié en que no existe una
forma definitiva para hacerlo.
sucesiones término general
1,3,4,19,25,36,…………… an= n2
0,1,2,3,4,……………………. an= n-1
2,4,-6,8,-10,12,…………… an=(-1)n . 2n
3,5,7,9,11,………………….. an= 2n+1
2,4,8,16,32,………………… 2n

6. Es una operación matemática que permite calcular la suma de muchos
o infinitos sumandos. Se expresa con la letra griega sigma mayúscula Σ, y se
representa así:
Expresión que se lee: " sumatoria de Xi, donde i toma los valores
desde 1 hasta n ".
 i es el valor inicial, llamado límite inferior.
 n es el valor final, llamado límite superior.
 Pero necesariamente debe cumplirse que: i ≤ n
Si la sumatoria abarca la totalidad de los valores, entonces no se
anotan sus límites y su expresión se puede simplificar:
La sumatoria:

7. Propiedades de las sumatorias
 La suma del producto de una constante por una variable, es igual a k
veces la sumatoria de la variable.
 La sumatoria hasta N de una constante, es igual a N veces la
constante.
 La sumatoria de una suma es igual a la suma de las sumatorias de
cada término.
 La sumatoria de un producto no es igual al producto de las
sumatorias de cada término.
 La sumatoria de los cuadrados de los valores de una variable no es
igual a la sumatoria de la variable elevado al cuadrado.

8.  Progresiones aritméticas:
Una progresión aritmética es una sucesión de números reales tal que
cada término, excepto el primero, se obtiene sumando al anterior una cantidad
constante llamada diferencia, que se representa por d.
Son progresiones aritméticas:
 Los múltiplos de números pares: 2, 4, 6, 8: la diferencia es d=2.
 Los múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15,. . . . . . .: la diferencias es d=3.
 Los múltiplos de a: a, 2a, 3a, 4a, 5a,. . . . . .: la diferencia es d=a.
El término general de la progresión an , que ocupa el número de orden
n en la misma, se puede determinar a partir del valor del primero de los
términos, a1.
an = a1 + (n - 1) d.
Toda secuencia ordenada de números reales recibe el nombre de
sucesión. En su clasificación existen dos particularmente interesantes por el
principio de regularidad que permite sistematizar la definición de sus
propiedades : las progresiones aritméticas y las progresiones geométricas.

9. Suma de los términos de una progresión aritmética
Para determinar la suma de un número finito de términos de una
progresión aritmética, denotada por a1, a2, a3, ..., an-2, an-1, an, basta con
considerar el principio de que los pares de términos a1 y an, a2 y an-1, a3 y an-2,
etcétera, son equidistantes, de manera que todos estos pares suman una misma
cantidad. Se tiene que la suma de todos los términos de una progresión
aritmética es igual a:
Interpolación de términos en una progresión aritmética
Entre cada dos términos a y b de una progresión aritmética es posible
interpolar otros m términos, llamados medios diferenciales, de manera que
todos ellos integren una nueva progresión aritmética (con m + 2 términos)
donde a y b sean los extremos. La diferencia de esta progresión se determinará
con arreglo a la siguiente fórmula:

10. Estas progresiones se definen como aquellas en las que cada término
se obtiene multiplicando el anterior por un valor fijo predefinido que se conoce
como razón.
El término general an de una progresión geométrica se escribe:
an = a1 . rn-1
Suma y producto de los términos de una progresión geométrica:
La suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica
puede calcularse a partir de cualquiera de las siguientes expresiones:
Esta fórmula sólo es válida si r ≠ 1, ya que si r = 1 todos los términos
de la progresión serían iguales, y la suma sería Sn = a1 × n. Cuando r > 1, la
progresión crece indefinidamente y la suma de sus términos tiende a infinito.
En cambio, si r < 1, cada término será menor que el anterior, y la progresión se
irá acercando a 0 conforme aumente el número de sus términos. Cuando | r | <
1, puede demostrarse que la suma se convierte en:
* Progresiones geométricas

11. Por otra que el producto de los n primeros términos de una progresión
geométrica es igual a:
Interpolación de términos en una progresión geométrica
Entre dos términos a y b de una progresión geométrica es posible intercalar m
términos, denominados medios geométricos o proporcionales, tales que todos
ellos (los m + 2 términos resultantes) constituyan una nueva progresión
geométrica de razón r determinada como:

12. Para concluir las definiciones de sucesiones y
progresiones son bastante sencillas aunque a simple vista
podemos pensar que las sucesiones en general, y las
progresiones en particular, solo consisten en una serie de
números que no tienen ninguna aplicación práctica, lo
cierto es que podemos encontrar aplicaciones de ellas en
muchas ocasiones de la vida cotidiana y así emplearlas en
la solución de problemas
Estas pueden determinar resultados futuros, de esta
forma se pueden tomar decisiones para cumplir con los
objetivos propuestos.