Este documento presenta nociones preliminares sobre polinomios completos, ordenados y la división euclidiana de polinomios. Explica que un polinomio completo incluye todos los términos posibles y un polinomio ordenado mantiene un orden ascendente o descendente de los grados. Luego, introduce los métodos de Ruffini y Horner para dividir polinomios, y finalmente el Teorema de Descartes para hallar el resto de una división sin efectuarla.

1. DIVISIÓN EUCLIDIANAPROFESOR: JOSÉ LUIS HUATUCO CUYA

2. NOCIONES PRELIMINARESPOLINOMIO COMPLETO Es aquel polinomio que presenta todos los términos algebraicos, desde el mayor, hasta el menor. Ejemplo:P(x)  5x3 + 2x – 4x2 + 7

3. P(x) = 2x + 3

4. P(x) = 2x5 – 4x2 + 5x4 – 2x + 7 – x3

5. P(x) = x3 – 2x2 + 5x – 4 POLINOMIO ORDENADOEs aquel que guarda un orden ascendente o descendente referido a los grados relativos. Ejemplo:P(x) = x2 + 2x3 – x5

6. P(x) = x7 – 4x + 3

7. P(x) = x17 – x25 + x50

8. P(x) = 14x – 2 POLINOMIO COMPLETO Y ORDENADO Es aquel polinomio que cumple los dos criterios anteriores. Ejemplo:P(x) = 5x4 – 3x3 + x2 + x + 3 (Observemos que es completo por que presenta todos los exponentes de “x” y además están ordenados en forma descendente)P(x) = 2 + 3x – 4x2 + 15x3 (Polinomio completo y ordenado en forma ascendente)

9. POLINOMIO ENTRE POLINOMIOPara poder dividir un polinomio entre polinomio. Generalmente de una variable (División Euclidiana) se utilizan métodos prácticos como Horner, Ruffini con la finalidad que verifique la siguiente identidad.D(x)  d(x) . q(x) + R(x)Grado D(x) > Grado d(x) Donde: Se conoceD(x) :Dividendod(x) :Divisorq(x) :CocienteR(x) :Residuo o Resto

10. MÉTODO DE RUFFINIDividendox + b = 0 -b1 LugarCocienteRestoSe utiliza cuando el divisor es mónico y de primer grado.d(x) = x + b b 0 Esquema:

11. Ejercicio de AplicaciónDividir: q(x) = 2x4 – 6x3 + 3x2 – 9x + 7R(x) = -13

12. Coeficientes del DividendoDel divisor++CoeficientesCon signo cambiado·Coeficientes delCocienteCoeficientes del RestoMÉTODO DE HORNERPara poder aplicar este método los polinomios dividendo y divisor deben ser completos y ordenados descendentemente y si faltase algún término se completará con ceros. Esquema: