Para ayuda de los estudiantes

1. • MATERIA
• CALCULO
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• NOMBRE:
• YAGAUL POTES RAFAEL DE JESUS
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• INSTITUTO TECNOLOGICO EURO AMERICANO
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2. Capitulo |V
Reglas para deri v ar funciones alge braícas
•Introducción.
Importancia de la regla general. 36. Derivada de una constante. 37 . Derivada de una variable con respecto a, si
misma, 38. Derivada de una suma, 38. Derivada del producto de una constante por una función,

3. .
Importancia de la regla general.
•La regla general para derivación, dada en el Artículo 27, es fundamental, puesto que se deduce directamente de la
definición de derivada, y es muy importante que el lector se familiarice completamente con ella. Sin embargo, el
procedimiento de aplicar la regla en la resolución de problemas es largo o difícil; por con¡>siguiente, se han deducido
de la regla general, a fin de facilitar la tarea, reglas especiales para derivar ciert.as formas normales que se presentan
con frecuencia.
•Es cómodo expresar estas reglas especiales por medio de fórmulas, de las cuales se da a continuación una lista . El
lector no sólo debe aprender de memoria cada fórmula cuando se ha deducido, sino también poder enunciar en
palabras la regla cOlTespondiente . En estas fórmulas 1l, v, w representan funciones derivables de x.

4. Derivada de una constante.
• Si se sabe que una función tiene el mismo valor para cada valor de la variable independiente, esta función es
constante, y podemos representarla por y = c . Cuando x toma un incremento .1x, el valor de la función no se
altera j es decir, .1y = O, Y Ay = O .1x . Pero , .1y dy hm --=-= o. 1"' -70 I1x dx I :. ~~ = o. La derivada de una
constante es cero.
• Este resultado se prevé fácilmente. En efecto, la gráfica de la ecuación y = c es una recta paralela a OX j luego
su pendiente es cero . Y como la pendiente es el valor de la derivada (Art. 28) resulta que la derivada es cero.

5. Derivada de una variable con respecto a sí misma.
• Sea y = x. Siguiendo la regla genera.! (Art. 27), tenemos:
• PRIMER PASO. y + f'..y = x + f'..x .
• SEGUNDO PASO. . f'..y = f'..x . f'..y Al. = o;¡;
• TERCER PASO. dy -= 1 dx . dx = 1. dx
• CUARTO PASO. dx = 1. dx
• La derivada de una variable con respecto a sí misma es la unidad. Este resultado se prevé
fácilmente. En efecto, la pendiente de la recta y = x es la unidad.

6. Derivada de una suma.
Sea 1! = u + v - -w . Según la regla general:
PRIMER PASO. y + f'..y = u + f'..u + v + f'..v - It' - f'..w.
SEGUNDO PASO. f'..y = f'..u + f'..v - f'..w.
TERCElt PASO. f'.. y = f'..u+ f'..v _ f'..U) f'..x I1x f'..x f'..x·
lím f'.. u = du lím f'..v = dv lím f'..1Jj = dw 6.>:-)0 f'..x dx' 6 :1:--70 f'..x dx' 6X--70 f'..x dx .
Luego, según (1) del Artículo 16 ,
CUARTO PASO. dy = du + dv_ dy; . dx dx dx dJ; III d . du dv dw -(u+v-- w) = -+---. dx dx dx dx

7. REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS
• Una demostración semejante es válida para la suma algebraica de cualquier número de
funciones.
• La derivada de la suma algebraica. de un n"Ílmero finito n de funciones es 1:gual a la suma
algebraica de las derivadas de las funciones.

8. . Derivada del producto de una constante por una función.
•Sea y = cv . Según la regla general:
• PRIMER PASO y + f1y = e (v + f1v) = cv + c/).
•SEGUNDO PASO f1y = cf1v f1
•TERCER PASO ,!/ f1v - =c - f1x /).x ·
•De donde, según (4) del Artículo 16, CUARTO PASO IV d dv - (ev) = e-. dx dx
•La derivada del producto de una constante por una función es 1·gual al producto de la constante por
la derivada de la función .

9. Derivada del producto de dos funciones.
• Sea y = uv. Según la regla general:
• PRIMER PASO y + f1y = (u + f1u) (v + f1v) .
• Efectuando la multiplicación:
• SEGUNDO PASO. V -=u-+v-+/).u-. /).x /).x /).x /).x
• TERCER PASO. ?J + l1y = uv + uf1v + vf1u + f1uf1v. f1y = uf1v + vf1u + f1uf1v . i1y /10 f1u /).V -=u-+v-
+/).u-. /).x /).x /).x /).x
• Aplicandn (2) Y (4) del Artículo 16, notando que lím l1u = O, 6X-70 I1v y que, por tant.o, el límite del producto l1u
I1x es cero, tenemo¡,;: CUARTO PASO. v dy = u dv + u du . dx dx d.l: d dv du -(uv) = u-+ v-o
Derivada·del producto de n funciones, siendo n un número fijo.
• La derivada del producto de n funciones, siendo n un número finito, es igual a la suma de los n productos que se
forman multiplicando la derivada de cada función por todas las otras funciones .
• Derivada de la potencia de una función, siendo el exponente
• En esta demostración VI hemos supuesto que n es número entero positivo. En el Artículo 65 se demostrará que
esta. fórmula. es válida ')nra cualquier valor de n, y nos serviremos desde ahora. de est,e resul tado general. La
derivada de la potencia de una función de exponente constante es ignal al producto del exponente por la función
elevada a un exponente disminuido en una unidad y por la derivada de la funáón.

10. Derivada de un cociente.
La derivada de un cociente de funciones es igual al producto del denominador por la derivada del numerador, menos
el producto del numerador por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador.
Derivada de una función de función.
A veces acontece que y no se define directamente como función de x, sino que se da como función de otra variable v
que se define como función de x. En est,p. (~a::;o, y es función de x por int.errnedio ele 1/ , Y :;;f> lIalJla. función d.: f;
nr:i,¡n . Los miembros de la izquierda expresan la razón del incremento de cada función al incremento de la variable
correspondiente, y los miembros de la derecha expresan las mismas razones en otra forma. Antes de pasar al límite,
formemos el producto de las dos razones.
Relación entre las derivadas de las funciones inversas.
.A menudo es posible, en el caso de las funciones que se consideran en e:-;I e libro, resolver la ecuación con respecto
a x y hallar es decir, poclemos también considerar V como la variable indepeudiente y x como la dependiente
Funciones implícitas.
Cuando se da una relación entre x y y por medio de una ecuación no resuelta para y, entonces y se llama función
implícita de x. Por ejemplo, la ecuación