3limites

El concepto de “límite” describe
el comportamiento de una
función cuando su argumento se
“acerca” a algún punto o se
vuelve extremadamente grande

( )
( )
Sea una función y un número real.
La expresión
lim
significa que se puede hacer tan cercano a como se
quiera haciendo suficientemente cercano a .
Se dice "el límite de en , cuand
x c
y f(x) c
f x L
f x L
x c
f x
→
=
=
( )
( )
o se aproxima a , es ".
Lo anterior es cierto aún si
Más aún, puede no estar definida en .
x c L
f x L
f x c
∗ ≠
∗

( )
( )
2
2
2
Nota 1.- El dominio
: 5 7
¿Cuál es e
de la función
l límite de esta función c
son todos los números
reales
Nota 2.- El contradominio de la función
uando tiende
o se acerca a 2?
¿lim 5 7 ?
son tod
x
g R R g x x
x
x
→
→ = −
−
os los
números reales
Nota 3.- El rango de la función es el intervalo [ 7, ) R− ∞ ⊂

( ) 2
: 5 7g R R g x x→ = −
( )2
2
¿lim 5 7 ?
x
x
→
−

( ) 2
: 5 7g R R g x x→ = −
13
( )2
2
¿lim 5 7 ?
x
x
→
−

( )
( )
2
2
2
: 5 7
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
o se acerca a 2?
lim 5 7 13
x
g R R g x x
x
x
→
→ = −
− =

( )
( )
( ) ( )
2
2
2
: 5 7
o se acerca a 2?
lim 5 7 1
E
3
n este caso, lim
x
x c
g R R g x x
x
x
f x f c
→
→
→ = −
−
=
=

{ } ( )
1
Nota 1.- El dominio de la función son todos los números
reales positivos menos e
1
: (0, ) 1
1
¿Cuál es el límite de esta función
l 1
Nota 2.-
cuando tiende
o se acerca a 1?
1
¿lim ?
E
1
l
x
x
Q R Q x
x
x
x
x→
−
∞ − → =
−
− 
 ÷
− 
( )
contradominio de la función son todos los
números reales
Nota 3.- El rango de la función es el intervalo 1, R∞ ⊂

{ } ( )
1
:(0, ) 1
1
x
Q R Q x
x
−
∞ − → =
−
1
1
¿lim ?
1x
x
x→
− 
 ÷
− 

{ } ( )
1
1
:(0, ) 1
1
o se acerca a 1?
De la gráfica es claro que
1
lim 2
1x
x
Q R Q x
x
x
x
x→
−
∞ − → =
−
− 
= ÷
− 

{ } ( )
1
1
: (0, ) 1
1
o se acerca a 1?
1
lim 2
1
Sin embargo, la función ni siquiera está definida en
1
x
x
Q R Q x
x
x
x
x
x
→
−
∞ − → =
−
− 
= ÷
− 
=

( )
( )
2
5
reales
Nota 2.- El contradominio de
3 4 5
:
5
o se acerc
la fu
a a 1?
¿li
nción
m ?
x
x x
a R R a x
x x
x
a x
→
− ≤
→ = 
>
son todos los
números reales
Nota 3.- El rango de la función son todos los números reales
menos el intervalo (11,25]

( ) 2
3 4 5
:
5
x x
a R R a x
x x
− <
→ = 
>
( )
5
¿lim ?
x
a x
→

( )
( )
2
5
3 4 5
:
5
o se acerca a 5
Si nos acercamos por la izquierda
No exi
tiende a 11
Si nos acercamos por la derecha tiende a 25
?
l steim
x
x x
a R R a x
x x
x
a x
→
− <
→ = 
>
=

{ } ( )
0
Nota 1.- El dominio de la
1
: 0
¿Cuál es el lím
función son todos
ite de esta función cuando tiende
o
los números
reales menos el cero
Nota
se acerca a 0?
1
¿
2.- El contradom
l
i
im ?
nio de la funci
x
E R R E x
x
x
x→
− → =
ón son todos los
números reales
Nota 3.- El rango de la función son todos los números reales

{ } ( )
1
: 0E R R E x
x
− → =
0
1
¿lim ?
x x→

{ } ( )
0
No existe
Si
1
: 0
¿
nos
Cuál es
acercamo
el límite de est
s por la izquier
a función cuando tiende
o se ac
da tiende a
Si nos acercamo
e
s
rca a
por la derecha tiende a
1
+
0?
lim
x
E R R E x
x
x
x→
− ∞
− → =
=
∞

{ } ( )
1
: 0E R R E x
x
− → =

{ } ( )
1
: 0
a , es decir, cuando se hace arbitrariamente grande?
E R R E x
x
x
− → =
∞

{ } ( )
( )
1
: 0
a , es decir, cuando se hace arbitrariamente grande?
l 0im
x
E R R E x
x
x
E x
→∞
− → =
∞
=

( )
( )
La expresión
lim
quiera haciendo suficientemente cercano a por la izquierda.
Se dice "el límit
x c
y f(x) c
f x L
f x L
x c
−
→
=
=
( )
( )
e de en , cuando se aproxima a por
la izquierda, es ".
f x x c
L
f x L
f x c
∗ ≠
∗

( )
( )
La expresión
lim
quiera haciendo suficientemente cercano a por la derecha.
Se dice "el límite
x c
y f(x) c
f x L
f x L
x c
+
→
=
=
( )
( )
de en , cuando se aproxima a por
la derecha, es ".
f x x c
L
f x L
f x c
∗ ≠
∗

{ } ( )
0
reales menos el cero
Nota 2.- El contrad
sin
: 0
o se acerca
ominio
a 0?
si
d
n
¿li
e
m ?
x
x
f R R y f x
x
x
x
x→
− → = =
[ ]
la función son todos los
números reales
Nota 3.- El rango de la función es el intervalo -1,1 R⊂

{ } ( )
sin
: 0
x
f R R y f x
x
− → = =
0
sin
¿lim ?
x
x
x→

{ } ( )
sin
: 0
x
f R R y f x
x
− → = =
( )
0
Si 0,
sin
y
sin
lim 1
x
x
x
f x
x
x
x−
→
>
=
=
( )
0
Si 0,
sin
y
sin
lim 1
x
x
x
f x
x
x
x−
→
<
= −
= −

{ } ( )
sin
: 0
x
f R R y f x
x
− → = =
El límite por la izquierda es 1−
El límite por la derecha es +1
0 0
sin sin
Dado que lim lim , el límite no existe
x x
x x
x x− +
→ →
≠

( ) 2
: 5 7g R R g x x→ = −
En todo el dominio, el límite
por la derecha y el límite por
la izquierda son iguales

{ } ( )
1
:(0, ) 1
1
x
Q R Q x
x
−
∞ − → =
−
En todo el dominio, el límite
por la derecha y el límite por
la izquierda son iguales

( ) 2
3 4 5
:
5
x x
a R R a x
x x
− ≤
→ = 
>
En todo el dominio, excepto en 5,
el límite por la derecha y el límite
por la izquierda son iguales.
En 5 son 25 y 11
respectivamente

{ } ( )
1
: 0E R R E x
x
− → =
En todo el dominio, excepto en 0,
el límite por la derecha y el límite
por la izquierda son iguales.
En 0 son +∞ y -∞
respectivamente

( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Sean : y :
Supongamos que existen los límites
lim y lim
i).- lim lim + lim
x x
x x x
f D R R g C R R
f x g x
af x bg x a f x b g x
ξ ξ
ξ ξ ξ
→ →
→ → →
⊂ → ⊂ →
 + = 

( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Sean : y :
lim y lim
ii).- lim lim lim
x x
x x x
f D R R g C R R
f x g x
f x g x f x g x
ξ ξ
ξ ξ ξ
→ →
→ → →
⊂ → ⊂ →
     =        

( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
Sean : y :
lim y lim
lim
iii).- lim / si lim 0
lim
x x
x
x x
x
f D R R g C R R
f x g x
f x
f x g x g x
g x
ξ ξ
ξ
ξ ξ
ξ
→ →
→
→ →
→
⊂ → ⊂ →
 
    = ≠   
  

De manera intuitiva podemos decir que una
función es continua cuando pequeños
cambios en la variable independiente
generan pequeños cambios en la variable
dependiente.
De manera imprecisa podemos decir que
son aquellas funciones que se “dibujan sin
separar el lápiz del papel”

( )
( )
( ) ( )
Una función es continua en el punto de su dominio si:
a) está definida, es decir, está en el
Si una función es continua en todos los
dominio
puntos de su
dominio se le denom
de
)
i
lim
x c
f x c
f c c f
b f x f c
→
=
na continua
Si una función no es continua entonces es discontinua

( )sin : sinR R y x→ =
Esta función es continua

( )
3
2
:
5 2
x x
h R R y h x
x
 < −
→ = = 
> −
•Es discontinua en x=-2
•Es continua en todos los
otros puntos del dominio

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
Si y son continuas en el punto de su dominio
y , son números reales arbitrarios, entonces:
i).- es continua en
ii).- es continua en
iii).- es continua en , siempre y cua
f x g x c
a b
af x bg x c
f x g x c
f x
c
g x
+
( )
ndo
0g c ≠

•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
•La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cancer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo
•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

Las funciones “describen” la
evolución de las variables
dinámicas de los sistemas

( ) 2
3 20y f x x x= = + +
x f(x)
0 20
1 24
-1 22
2 34
-2 30
3 50
-3 44

( ) 2
3 20y f x x x= = + +
¿Cómo cambia la función?
•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8 (decrece)

( ) 2
3 20y f x x x= = + +
¿Cómo cambia la función entre y ?x x′
( ) ( )f f x f x′∆ = −

( ) 2
3 20y f x x x= = + +
¿Cómo cambia la función?
•Cuando va de -2 a 0 crece en -10 (decrece)

( ) 2
3 20y f x x x= = + +
´¿Cómo cambia la función entre y ?x x
( ) ( )f x f x
f
x x
′ −
∆ =
′ −

( )
( ) ( )2
3 20
f x f x
y f x x x f
x x
′ −
= = + + ∆ =
′ −
x x′
( ) ( )f x f x′ −
x x′ −

( ) ( )f x f x′ −
x x′ −
θ
( ) ( )tan
f x f x
x x
θ
′ −
=
′ −

La recta azul es la
secante a la curva

La recta azul es la
tangente a la curva

La recta azul es la
tangente a la
curva
θ
•La pendiente de la tangente nos
dice
•La rapidez con que la función está
•cambiando en ese punto

( ) ( )
( )
( ) ( )
lim
lim
x x
x x
f x f x
m
x x
f x f xdf
x
dx x x
′→
′→
′ −
=
′ −
′ −
=
′ −

La recta azul es la
tangente a la curva
θ
( ) tan
df
m x
dx
θ= =

( )
( )
( ) ( )
0
0
0
0
0
lim
x x
f x
x
f x f xdf
x
dx x x→
−
=
−
Dada una función
se define su derivada en el punto como

x
( )y f x=
x x h+
θ
( ) ( )
secante tan
f x h f x
m
h
θ
+ −
= =
h
( ) ( )f x h f x+ −

x
( )y f x=
x
( ) ( ) ( )
tangente
0
tan lim
h
f x h f x df x
m
h dx
θ
→
+ −
= = ≡
θ

:f D R R⊂ →
( )
( ) ( )
0
0
0
0
lim
x x
f x f xdf
x x
dx x x→
−
= =
−
0x
( )f x
x
θ
( )0 tan
df
x x
dx
θ= =

( ):v R R v x a
a
v a
→ =
donde es un número real arbitrario, pero fijo.
Es decir, es una función constante igual a .

( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
0
0
0
0
0
0
0
:
0
0
lim
0
0
x x
da
x
d
v R R v x a
v x v x a a
v x v x
x x
v x v x
x x
x
→
→ =
− = − =
−
=
−
−
=
=
−
Esto es válido para todos los puntos del dominio

( ):v R R v x a
a
v a
→ =
donde es un número real arbitrario, pero fijo.
Es decir, es una función constante igual a .
La derivada es cero,
La función “no cambia”

( ) 0: v xR R
x
v a
dv
d
= =→

( )
( )
:l R R l x mx b
m b
l x mx b
m
→ = +
= +
∗
donde y son números reales.
Esta es la función lineal más general,
es decir, engloba todas
las rectas posibles.
El real es la pendiente de la recta, es decir,
la tangente del án X
b
Y
θ
∗
gulo que hace con el eje
El real es la ordenda al origen, es decir,
el punto en el cual la recta corta al eje

( ):l R R l x mx b→ = +
θ
b
tanm θ=

( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
0 0
0 0 0
0 0
0 0
0
0
0
0 0
:
lim lim
x x x x
l R R l x mx b
l x l x mx b mx b m x x
l x l x m x x
m
x x x x
l
d mx
x l x
m m
x x
bdl
x x m
dx dx
x
→ →
+
→ = +
− = + − + = −
− −
= =
= =
− −
−
= =
−
para todo en el dominio

( ):l R R l x mx b→ = +
( )0
Es lógico, la tangente
a la recta es ella misma.
El cambio está dado por
la inclinación de la recta
dl
x m
dx
=

( ): l x mx b
d
d
l R mR
l
x
→ = =+

( ) 2
:f R R f x ax→ =
Una parábola

( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
0
2
2 2 2 2
0
2
:
lim lim
lim lim 2
2
x x x x
x x x x
f R R f x ax
f x f x ax ax a x x a x x x x
f x f x a x x x x
a x x
x x x x
f x f x
a x x
x x
a x x a x x a x x ax
d axdf
x ax
dx dx
′→ →
′→ ′→
→ =
′ ′ ′ ′ ′− = − = − = − +
′ ′ ′− − +
′= = +
′ ′− −
′ −
′= + =
−
′ ′= + =
=
=
=
+ = +

( ) 2
: 2f x ax
df
ax
d
f R
x
R→ = =

( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
0
0
lim
lim
lim
x x
h
x
f x f xdf
x
dx x x
f x h f xdf
x
dx h
f x x f xdf
x
dx x
′→
→
∆ →
′ −
=
′ −
+ −
=
+ ∆ −
=
∆

( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 0
0
: sin
sin sin
sin cos cos sin sin sin cos 1 cos sin
sin cos 1 cos sin
cos 1 sin
lim 0 lim 1
lim co
c s
s
sin
o
h h
h
f R R f x x
f x h f x x h x
x h x h x x h x h
f x f x x h x h
h h
h h
h h
f x h
d x
x
f x
d
x
h
x
→ →
→
→ =
+ − = + − =
= + − = − +
′ − − +
=
−
= =
+
=
−
=

( )
( )sin
si
co
n
i ss n : x
d x
R R y f x
dx
x→ = = =

( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
0 0
0
exp : exp
exp exp 1
1exp exp
1 1
lim lim
exp exp
l
exp
p
i
x
m
e
x
x h x x h x x h
x h
x h h
x x
x
h h
h
R R x e
x h x e e e e e e e
e ex h x
h h
e e e
e e
h h
x h
d x
x
x
x
e
d
h
+
→ →
→
→ =
+ − = − = − = −
−+ −
=
− −
=
=
=
+ −
=

( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
0 0
0
ln : ln
ln ln ln
ln ln 1
ln
ln ln 1
lim lim
exp exp 1
l
ln 1
im
h
x x
h h
h
R R x
x h
x h x
x
x h x x h
h h x
x h x e
e e
h h
x h x
h
d x
dx x
x
→ →
→
→
+ 
+ − =  ÷
 
+ − + 
=  ÷
 
+ − −
=
+
=
=
=
−

( )
( )ln 1
ln : (0, ) ln
d x
R x
dx x
∞ → =

1
ln 1
n
n
x
x
dx
nx
dx
de
e
dx
d x
dx x
−
=
=
=
2
sin
cos
cos
sin
tan
sec
d x
x
dx
d x
x
dx
d x
x
dx
=
= −
=

http://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_derivatives

( )
( )
( )
df
x
dx
df x
dx
Df
f x′

( )y f x
y
=
En todo lo estudiado hasta ahora hemos supuesto
una representación explícita de la función, es decir,
hemos supuesto que
que la variable dependiente, , está escrita en términos
explicitos de la varia
( )
( )
3 2
* sin
* 2 8 3
* sinx
y x x
y x x x
y xe x
x
=
= − + −
=
ble independien .te

( ) ( )
( )
2 2
* 1
* sin cos
, ,x y x y
y x
x y
x y xy
σ τ
+ =
+ +
=
=
Sin embargo, no siempre es posible tener la
representación explicita de una función y se
tiene una representación implícita de la forma
que determina a como función de .
( )
( )* lnxy
xy
xye x=

( ) ( )
( ) ( )
, ,
, ,
x y x y
d x y d x y
dx dx
σ τ
σ τ
=
=
Si tenemos una representación implícita de la forma
lo que se hace para derivarla es:
1).- Diferenciar ambos lados de la ecuación para
obtener una nueva ecuación
2).- Resolver la
dy
dx
y x
ecuación anterior para .
La respuesta usualmente involucra a y a .

( ) ( )
( )
2
2
2
1 2
1 2
dy
x xy y
dx
d x xy d y
dx dx
d xydx dy
dx dx dx
dy dx dy
x y
dx dx dx
dy dy
x y
dx dx
+ =
+
=
+ =
+ + =
+ + =
Dada la ecuación , encontrar
1).-

2
1 2
1
2
dy
x xy y
dx
dy dy
x y
dx dx
dy
dx
dy y
dx x
+ =
+ + =
+
=
−
2).- De la ecuación nueva
despejamos ,

( )
3
3
2
2
cos
cos
cos
cos 3
cos sin 3
dy
x y y x
dx
d x y y dx
dx dx
dx d y dy
y x x
dx dx dx
dy dy
y x y x
dx dx
+ =
+
=
+ + =
− + =
1).-

3
2
2
cos
cos sin 3
3 cos
1 sin
dy
x y y x
dx
dy dy
y x y x
dx dx
dy
dx
dy x y
dx x y
+ =
− + =
−
=
−
2).- De la ecuación nueva
despejamos ,

∗
∗
∗
Se deriva una función
Lo que se obtiene es otra función,
la función derivada
La función derivada puede ser evaluada
en cualquier punto de su dominio

( )d af g df dg
a
dx dx dx
±
= ±
La derivada de una combinación lineal de
funciones es la combinación lineal de las
derivadas

( )d fg dg df
f g
dx dx dx
= +
La derivada de un producto es el primer factor
por la derivada del segundo más el segundo
factor por la derivada del primero

( )
( ) ( )
( )
2
2 2 2
sin sin sin cos sin
2 2
1 1 ln 1 1
ln ln ln 1 ln
2 2
x x x x x x
d d dx
x x x x x x x x
dx dx dx
d d dx
x e x e e x e xe xe x
dx dx dx
d d d x x
x x x x x x
dx dx dx x x x
= + = +
= + = + = +
 
= + = + = + ÷
 

( )
2
0
f df dgd g fg dx dx
dx g
g x
 
 ÷ −
  =
≠
siempre que

2
2 2 2
sin
sin
sin cos sin cos sin
d x d
x x x
d x x x x x xd
df dg
g f
d f dx d
x dx
dx x x
d
x x
x
x g g
x
−
−
− 
= = = − ÷
 
= ÷
 
 

( )
( ) ( ) ( ) ( )
d f g df dg
dx dg dx
f g x f g g x
=
′ ′ ′=
o
o
ó

( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2 2 2
1 1 1 2 3
3 2 3 2
2 23 2 3 2
sin cos 2 cos
exp1
exp exp
2
d d x
x x x x
dx dxx x x x
d d
x x x x x
dx dx
xd d
x x x
dx dx x
−
− + = − + =
− + − +
= =
  = =
 

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3
3 3
...
nD D D D
n
df d f d f d f
f x x x x x
dx dx dx dx
→ → → →
Dado que la derivada de una función
es a su vez una función, entonces
podemos derivarla nuevamente.
Esto da origen a las "derivadas de
orden superior".

( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5
5
4
2 5 4
3
2
3 5 2 4 3
2
3 2
4 5 3 4 2 3 2
4 3 2
5 5 4 4 3 3 2 2
5 4 3 2
6 5 5 4 4 3 3 2 2
6 5 4 3 2
:
5
5
20
5 20
60
5 20 60
120
5 20 60 120
120
5 20 60 120 12
f x x
d x
x
dx
d x d x
x
dx dx
d x d x d x
x
dx dx dx
d x d x d x d x
x
dx dx dx dx
d x d x d x d x d x
dx dx dx dx dx
d x d x d x d x d x d
dx dx dx dx dx
=
=
= =
= = =
= = = =
= = = = =
= = = = =
( )0
0
dx
=
.....
todas las derivadas que siguen son cero

( ) sin
0: sin
1: cos
2: sin
3: cos
4: sin
5: cos
6: sin
7: cos
8: sin
f x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
−
−
−
−

( ) sin
0: sin
1: cos
2: sin
3: cos
4: sin
5: cos
6: sin
7 : cos
8: sin
f x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
−
−
−
−
( )
( )
( )
2
1
2
sin
0,1,2,...
1 sin
sin
1 cos
n
n
n n
f x x
n
x nd
x
dx
x n
−
=
=

−
= 
 −
Para
par
impar

( )exp :
0
n
x x
n
x R R
d
e e
dx
n n
→
=
≥para todo entero con

( )
( ) ( )
0
0
2
02
:
0
0
f D R R
x D
df
x
dx
d f df
x x
dx dx
⊂ →
∈
=
< + −
Una función tiene un
máximo relativo en si
i)
ii) ó va de a

( )
( ) ( )
0
0
2
02
:
0
0
f D R R
x D
df
x
dx
d f df
x x
dx dx
⊂ →
∈
=
> − +
mínimo relativo en si
i)
ii) ó va de a

( )
( ) ( )
0
0
2
02
:
0
0
f D R R
x D
df
x
dx
d f df
x x
dx dx
⊂ →
∈
=
=
punto de inflexión en si
i)
ii) ó no cambia de signo

( ) 6 5 4 3 21 2 51 128
130 336 5
6 5 4 3
p x x x x x x x= − − + + − +
Encontrar los puntos críticos, en la recta real,
del siguiente polinomio

( ) 6 5 4 3 21 2 51 128
130 336 5
6 5 4 3
p x x x x x x x= − − + + − +

( )
( )
6 5 4 3 2
5 4 3 2
1 2 51 128
130 336 5
6 5 4 3
2 51 128 260 336
p x x x x x x x
dp x
x x x x x
dx
= − − + + − +
= − − + + −
Sacamos la derivada

( ) 5 4 3 2
2 51 128 260 336
dp x
x x x x x
dx
= − − + + −

( )
( )
6 5 4 3 2
5 4 3 2
1 2 51 128
130 336 5
6 5 4 3
2 51 128 260 336
p x x x x x x x
dp x
x x x x x
dx
= − − + + − +
= − − + + −
Sacamos la derivada
Los puntos críticos son aquellos donde l
5 4 3 2
2 51 128 260 336 0x x x x x− − + + − =
a derivada
se anula

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5 4 3 2
2 51 128 260 336 0
7 2 1 4 6 0
x x x x x
x x x x x
− − + + − =
+ + − − − =
Los puntos críticos son
-7, -2, 1, 4, 6

( )
2
4 3 2
2
5 8 153 256 260
d p
x x x x x
dx
= − − + +
Los puntos críticos son
-7, -2, 1, 4, 6
Hay que evaluar la segunda derivada
para saber que tipo de puntos críticos
son:

( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
4 3 2
2
2
2
2
2
2
5 8 153 256 260
7 5720
2 720
1 360
4 396
6 1040
d p
x x x
d p
x
dx
d p
x
dx
d p
x
dx
d p
x
dx
d p
x
d
x x
dx
x
= − =
=
= − = −
= =
= = −
− +
= =
− +
Mí
Los puntos críticos so
nimo
Máximo
Mínimo
Máxim
n
-7, -2, 1,
o
Mí
4, 6
nimo

a
Determinar las dimensiones y el volumen de un
cilindro circular recto de volumen máximo entre
los inscritos en una esfera de radio
h
r
a

( )
2
2
2 2
2
2
2
4
a
r h
h
r a
h
V h a
π
π
 
= −  ÷
 
 
= − ÷
 
Volumen del cilindro:
Ahora
Así que
[ ]0,2h h a∈
h
r
a

( ) [ ]
2
9 0,6
4
h
V h h hπ
 
= − ∈ ÷
 

( ) [ ]
[ ]
( ) ( )
2
2
2 2
3
0,2
4
3
0,2
4
2
0
3
2
0, ,2
3
2 4
0 0 2 0
3 3 3
h
V h a h h a
dV
a h h a
dh
dV a
h
dh
a
a
a
V V a V a
π
π
π
 
= − ∈ ÷
 
 
= − ∈ ÷
 
= ⇒ =
 
= = = ÷
 
Los puntos críticos son:
Ahora
h
r
a

34
3 3
2
3
a
a
a
π
El volumen máximo es
El radio del cilindro es
La altura del ci
2
3
a
lindro es
h
r
a

Se va a construir un rectangulo que debe tener un
perimetro de 80 cm. ¿Cuáles deben ser su largo y
su ancho de manera que el área sea máxima?

a
l
su a
Sea el ancho del rectán
ncho de manera que el área
gulo
Sea el largo del re
sea máxima?
ctángulo
Sea
( ) ( )
2 2 80 40
40
A
l a a l
A l al l l
+ = = −
= = −
el área del rectangulo
Tenemos que , así que
El área es

( ) ( )
( )
( )
40
40 2
0
20
A l al l l
dA l
l
dl
dA l
dl
l
= = −
= −
=
=

( ) ( )
( )
( )2
2
40
0 20
2 0
A l al l l
dA l
l
dl
d A l
dl
= = −
= ⇒ =
= − <

Una serie de Taylor es una
representación o una
aproximación de una función
como una suma de términos
calculados de los valores de sus
derivadas en un mismo punto

( )
( )
( )
( )
( )
0
,
!
n
n
n
f x
a r a r
f a
x a
n
∞
=
− +
−∑
La serie de Taylor de una función real
infinitamente diferenciable, definida en un
intervalo abierto , es la serie
de potencias

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
3
3
3
1
1
2!
1 1
... ...
3! !
1
!
x a x a
n
n
n
x a x a
n
n
n
n x a
df d f
f x f a x a x a
dx dx
d f d f
x a x a
dx n dx
d f
f x x a
n dx
= =
= =
∞
= =
= + − + − +
+ − + + − +
= −∑

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
1
0
0
0
sin
sin sin
s
0
in : sin
sin
sin 0 0 y cos
1
!
sin
1
n
n
n a
x
n
x
x
x
d
R R y f
d f
x x
f x x a
n
d x
x
x
x x
dx
x x
d
dx
x
=
=
∞
= =
=
→
≈
= =
=
+
= =
= −
≈
∑

x sin(x) x
0.500 0.479 0.500
0.400 0.389 0.400
0.300 0.296 0.300
0.200 0.199 0.200
0.100 0.100 0.100
0.000 0.000 0.000

( )
( ) ( )
2 2
0
1
2
0
sin sin
sin sin0
sin : sin
1
!
2
n
n
n
n x a
x x
d f
f x x
R R y f x x
d x x d x
x x
d
n
x d
a
dx
x
∞
=
= =
=
= −
+
→
≈
= =
+
∑

( )
0
2 2
2 2
2
0
2 2
0
0
2
sin sin
cos cos0
sin sin
sin sin
sin sin0 co
sin sin
s
sin : s
s0 sin0
in
0 0
in 0
2
2
0
sin
x
x x
x
d x x d
d x d x
x
dx dx
d x d x
x
dx d
x
R R y f x x
x
x x x x
x
x dx
x
x
d =
=
=
=
→ =
≈ +
= ⇒ =
= − ⇒
≈ + − = +
=
=
−
−
=
+

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )2 32
3
2 3
0 0
1
0
sin sin sin1
sin sin
sin
0
2
!
: sin
6
1
x x
n
n
n
n x
x
a
d f
f
d x d x d xx
x x x
dx dx
x x a
R R y f x
n
x
d
x
x
d
∞
=
=
=
= =
≈ +
→
+
= =
−
+
= ∑

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
2 32
3
2 3
0 0 0
3
3 3
0
2 3
3
si
s
sin sin sin1
sin sin 0
2 6
1
sin si
n :
in sin
cos
n 0 cos 0 sin 0 cos 0
2 6 6
cos 0
sin
x x x
x
d x d x d xx
x
R R y f x
x x
dx dx d
x x
x x
d x d x
x
dx d
x
x
x
x
x
=
=
= =
= −
→ = =
≈ + − − =
⇒ = −
+
−
≈ + +

x sin(x) x-x^3/6
0.500 0.479 0.479
0.400 0.389 0.389
0.300 0.296 0.296
0.200 0.199 0.199
0.100 0.100 0.100
0.000 0.000 0.000
( )
3
in
6
s
x
xx −

3 5 7 9
sin 0
cos 1
sin 0
cos 1
sin 0
cos 1
sin 0 0 0 0 0 ...
3! 5! 7! 9!
x
x
x
x
x
x
x x x x
x x
→
→
− →
− → −
→
→
≈ + + − + + + − + + +

3 5 7 9
sin
3! 5! 7! 9!
x x x x
x x≈ − + − +

( )2 3 41 1 3 5
1
2 8 161
1
0.5, 1.414213562
1
1 1,
1 0.25 1.25,
1 0.25 0.09375 1.34375,
1 0.25 0.09375 0.030518 1.37427
x x x O x
x
x
x
= + + + +
−
= =
−
=
+ =
+ + =
+ + + =

( )ln : ln
Hacer el desarrollo de Taylor del logaritmo
alrededor del 1.
R R y x+
→ =

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
11
2
2 2
11
3
3 3
11
1 1
11
ln : ln
Hacer el desarrollo de Taylor del logaritmo
alrededor del 1.
ln 1 0
ln 1
1
ln 1
1
ln 2
2
ln 1 !
1 1 1 !
xx
xx
xx
n
n n
n n
xx
R R y x
d x
dx x
d x
dx x
d x
dx x
d x n
n
dx x
+
==
==
==
− −
==
→ =
=
= =
= − = −
= =
−
= − = − −

( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 3 4
1
ln : ln
1 1 1 1
ln 1 ... 1 ...
2 3 4
n
n
R R y x
x x x x
x x
n
+
−
→ =
− − − −
= − − + − + + − +

( )
( ) ( )
ln : ln
ln 1
R R y x
x x
+
→ =
≈ −

( )
( ) ( )
( )
2
ln : ln
1
ln 1
2
R R y x
x
x x
+
→ =
−
≈ − −

( )
( ) ( )
( ) ( )
2 3
ln : ln
1 1
ln 1
2 3
R R y x
x x
x x
+
→ =
− −
= − − +

( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 3 4
ln : ln
1 1 1
ln 1
2 3 4
R R y x
x x x
x x
+
→ =
− − −
= − − + −

( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 3 4
ln : ln
1 1 1
ln 1
2 3 4
R R y x
x x x
x x
+
→ =
− − −
= − − + −
x ln(x) x-1
x-1-(x-
1)^2/2
x-1-(x-1)^2/2+(x-
1)^3/3
x-1-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3-
(x-1)^4/4
0.500 -0.693 -0.500 -0.625 -0.667 -0.682
0.600 -0.511 -0.400 -0.480 -0.501 -0.508
0.700 -0.357 -0.300 -0.345 -0.354 -0.356
0.800 -0.223 -0.200 -0.220 -0.223 -0.223
0.900 -0.105 -0.100 -0.105 -0.105 -0.105
1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
1.100 0.095 0.100 0.095 0.095 0.095
1.200 0.182 0.200 0.180 0.183 0.182
1.300 0.262 0.300 0.255 0.264 0.262
1.400 0.336 0.400 0.320 0.341 0.335
1.500 0.405 0.500 0.375 0.417 0.401

{ } ( )
1
: 1
1
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
f R R y f x
x
− → = =
−

{ } ( )
( )
( )
( )
3/ 2
00
2
5 / 2
2 2
00
3
7 / 2
3 3
00
1
: 1
1
1 1 1
1
2 21
1 1 3 1 3
1
2 2 21
1 1 3 5 1 3 5
1
2 2 2 21
1
xx
xx
xx
n
n
f R R y f x
x
d
x
dx x
d
x
dx x
d
x
dx x
d
dx
−
==
−
==
−
==
− → = =
−
 
= − = ÷
− 
  × 
= − = ÷  ÷
−   
  × ×  
= − = ÷  ÷ ÷
−    
( )
0
2 1 !!
21
n
x
n
x =
− 
= ÷
− 

{ } ( )
( )2 3
1
: 1
1
2 1 !!1 1 3 5
1 ... ...
2 8 16 !21
n
n
f R R y f x
x
n
x x x x
nx
− → = =
−
−
= + + + + + +
−

2 3 435
128
1
1
6
3
82
1
1
5
1
x x
x
x x≈ + + ++
−

( )exp : exp
x
R R y x e→ = =

( )
( )
( )
( )
( )
0
0
2
2 0
0
3
3 0
0
0
exp : exp
1
1
1
1
x
x x
x
x
x x
x
x
x x
x
x
n
x
n
x
R R y x e
d
e e
dx
d
e e
dx
d
e e
dx
d
e
dx
=
=
=
=
=
=
=
→ = =
= =
= =
= =
=

( )
2 3
exp : exp
1 1 1
1 ... ...
2 6 !
x
x n
R R y x e
e x x x x
n
→ = =
= + + + + + +

( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0
0
0
0
0
0
0
0 0 0
lim
x x
f x f xdf
x
dx x x
f x f xdf
x
dx x x
df
f x f x x x x
dx
→
−
=
−
−
≈
−
≈ + −

( )
( )
( ) ( )
Lo opuesto de una derivada es una
La integral indefinida de una función
se denota co
ant
mo
iderivada
y está definida por la propied
o integral indef
d
d
a
ini a
f x
f x
d
f x dx f x
d
d
x
x
=∫
∫

( ) ( )
Si una función es diferenciable, su derivada es única
Una función tiene un número infinito de integrales,
que difieren por una constante aditiva
d
f x dx f x
dx
=
∗
∗
∫

La integral indefinida de una función cuya derivada
es identicamente cero es una constante,
es decir,
0
donde es una constante arbitraria.
La integral indefinida de una función identicamente
cero es
dx c
c
=∫
una constante.

( )
Función constante:
: donde a es una constante
La integral indefinida de la función constante es
donde es una constante arbitraria
f R R f x a
adx ax c
c
→ =
= +∫

( )
2
Función identidad
: :
La integral indefinida de la función identidad es
2
I I R R I x x
x
xdx c
c
→ =
= +∫

( )
1
: entero, 1
La integral indefinida de la función es
1
n
n
n
n
f R R f x x n n
x
x
x dx c
n
c
+
→ = ≠ −
= +
+∫

{ } ( )
( )
1
: 0
Dado que
1
ln
se tiene que
ln
f R R f x
x
d
x
dx x
dx
x c
x
c
− → =
=
= +∫

sin
cos
cos
sin
d x
x
dx
d x
x
dx
=
= −
De:
sin cos
cos sin
xdx x
xdx x
= −
=
∫
∫
es claro que:

( ) ( )
( ) ( )
exp exp
exp exp
d
x x
dx
x dx x c
c
=
= +∫
Tenemos que
así que

( ) ( ) ( ) ( )
Para cada una de las identidades de la derivada
corresponde una identidad para las integrales
- La integral indefinida de una combina
indefini
ción li
das:
neal
af x bg x dx a f x dx b g x dx + = + ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
1
1
indefinid
- De la regla de la cadena t
a
enemos
así que
c
s:
1
a a
a
a
d
f x a f x f x
dx
f x
f x f x dx c
a
−
+
′   =   
  ′  = +  +∫ on 1a ≠

( )
( )
( )
( )
( )
( )
indef
- De la derivada del logar
1
ln para 0
ini
itmo
ln
tenemos
ln
das:
f xd
f x
d
dx f x
f x
dx f x c
f x
x x
dx x
′
  =
=
 
′
= +
≠
∫

( ) ( )( ) ( )
( )
De la regla de la cadena se tiene
donde
f d f g x g x dx
g x
ξ ξ
ξ
′=
=
∫ ∫

( ) ( )( ) ( ) ( )De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g xξ ξ ξ′= =∫ ∫
( )2
Ejemplo 1: cosx x dx∫

( )2
2
Ejemplo 1: cos
Escogemos
x x dx
xξ =
∫

( )2
2
Ejemplo 1: cos
Escogemos
Por tanto, se tiene
2
x x dx
x
d xdx
ξ
ξ
=
=
∫

( )
( ) ( )
2
2
2 2
Ejemplo 1: cos
Escogemos y tenemos 2
Así que
1
cos 2 cos
2
x x dx
x d xdx
x x dx x x dx
ξ ξ= =
=
∫
∫ ∫

( )
( ) ( ) ( )
2
2
2 2
Ejemplo 1: cos
Así que
1 1
cos 2 cos cos
2 2
x x dx
x d xdx
x x dx x x dx d
ξ ξ
ξ ξ
= =
= =
∫
∫ ∫ ∫

( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2 2
Ejemplo 1: cos
Así que
1 1
cos 2 cos cos
2 2
1
sin
2
x x dx
x d xdx
x x dx x x dx d
c
ξ ξ
ξ ξ
ξ
= =
= = =
= +
∫
∫ ∫ ∫

( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 2
2
Ejemplo 1: cos
Así que
1 1
cos 2 cos cos
2 2
1 1
sin sin
2 2
x x dx
x d xdx
x x dx x x dx d
c x c
ξ ξ
ξ ξ
ξ
= =
= = =
= + = +
∫
∫ ∫ ∫

( )
( ) ( )
2
2 2
Ejemplo 1: cos
1
cos sin
2
Es fácil evaluar la derivada, con la regla
de la cadena, para comprobar la exactitud
del resultado
x x dx
x x dx x c= +
∫
∫

( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
De la regla para obtener la derivada de un producto
se tiene
df x dg xd
f x g
df x dg xd
f x g x dx g x dx f x dx
dx dx dx
x g x f x
dx dx dx
  = + 
  = + ∫ ∫ ∫

( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
pe
De
ro por la definición misma de la integral indefinida
la regla para obtener la derivada de un producto
se tiene
df x dg xd
f x g x g x f x
dx dx dx
df x dg xd
f x g x d
d
f x g x dx f x
x g x dx f x dx
dx dx dx
g x
dx
  = +
  = 
 
  = + 
∫
∫ ∫ ∫

( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
De la expresión
tenemos entonces
df x dg xd
dx dx d
df x dg x
f x g x g x dx f x dx
dx
x
dx
  = + 
= +
∫ ∫
∫
∫
∫

( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
De la expresión
tenemos
Despejando
que es la formula de integración por pa
entonc
rtes
es
df x dg xd
dx dx dx
df x dg x
f x g x g x dx f x dx
dx dx
df x dg x
g x dx f x g x f x dx
dx dx
  = + 
= +
= −
∫ ∫
∫
∫
∫
∫
∫

( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )df x dg x
dx dx
= −∫ ∫
Ejemplo 1: x
xe dx∫

( )
( )
Ejemplo 1:
Identificamos
y
x
x
xe dx
df x
e g x x
dx
= =
∫
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )df x dg x
dx dx
= −∫ ∫

( )
( )
Ejemplo 1:
y
Entonces
x
x
x x x
xe dx
df x
e g x x
dx
dx
xe dx xe e dx
dx
= =
= −
∫
∫ ∫
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )df x dg x
dx dx
= −∫ ∫

( )
( )
Ejemplo 1:
y
De donde
x
x
x x x
x x x
xe dx
df x
e g x x
dx
dx
xe dx xe e dx
dx
xe dx xe e dx
= =
= −
= −
∫
∫ ∫
∫ ∫
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )df x dg x
dx dx
= −∫ ∫

( )
( )
( )
Ejemplo 1:
y
Finalmente
1
x
x
x x x x x
x x x x
xe dx
df x
e g x x
dx
dx
xe dx xe e dx xe e dx
dx
xe dx xe e x e
= =
= − = −
= − = −
∫
∫ ∫ ∫
∫
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )df x dg x
dx dx
= −∫ ∫

( )
Es muy fácil verificar que el resultado
es correcto haciendo la deriva
1
da
x x
xe dx x e= −∫
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )df x dg x
dx dx
= −∫ ∫

x
( )f x
( )
b
a
f x dx∫
a b

x
( )f x
( )
b
a
f x dx∫
a b
Esta área

x
( )f x
( )
b
a
f x dx∫
a b
Esta área
La integral de a a b de la función f, es el área bajo la
curva de la gráfica de la función entre a y b

( ) 2 3
2 3f x x x x= − + −

( )
( )
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 3
2:5 2:5 2:5 2:5 2:5
2 3 2 3
1.0 1.0 1.0 1.0 1.0
2.5 2.5 2.5
2.5 2 3 4
1.0
1.0 1.0 1.0
2 2 3 3 4 4
2 3
2 3 2 3
1 1 1
2 3
2 3 4
1 1
2 2.5 1.0 2.5 1.0 2.5 1.0 2.5 1.0
2 4
1
2 1.5 6.25 1
2
f x x x x
x x x dx dx xdx x dx x dx
x x x x
= − + −
− + − = − + − =
     
= − + − =          
= − − − + − − − =
= − −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
.0 15.625 1.0 39.063 1.0
4
1 1
3.0 5.25 14.625 38.063
2 4
3.0 2.625 14.625 9.5158 5.4842
+ − − − =
= − + − =
= − + − =

Valor aproximado 6.1172
Valor exacto 5.4844
=
=
1n =

5.4844exactoValor
5.6426aproximadoValor
=
=
2n =

Valor exacto 5.4844
=
=
4n =

Valor exacto 5.4844
=
=
10n =

Valor exacto 5.4844
=
=
50n =

Valor exacto 5.4844
=
=
100n =

( )0
0
lim
i
N
i i
x
i
f x x
∆ →
=
∆∑

( ) ( )0
0
lim
i
bN
i i
x
i a
f x x f x dx
∆ →
=
∆ =∑ ∫

( ) ( ) ( ) ( )
Linearidad
b b b
a a a
rf x sg x dx r f x dx s g x dx + = + ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )
División del rango de integración
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫

( ) ( )
Antisimetría
b a
a b
f x dx f x dx= −∫ ∫

( )
( ) [ ] ( )
4 4 4
4
2
2 2 2
: 2
2 2 2 2 4 2 2 2 4
f R R f x
f x dx dx dx x
→ =
= = = = − = × =∫ ∫ ∫
2 2 4× =

( )
( ) ( )
[ ]
( )
( )
( )
0 0 0 0
3 3 3 3
0 22 2
0
3
3
: 3 2
3 2 3 2
30
3 2 3 2 0 3
2 2 2
9 27 15
3 2 3 6
2 2 2
g R R g x x
g x dx x dx xdx dx
x
x
− − − −
−
−
→ = −
= − = − =
 − 
 = − = − − − − =    
    
 
= − = − = ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫

623 =×
3 9 27
2 2
×
=
27 15
6
2 2
+ =

( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 3 23 2 3 2
2 2
: 8 3
8 3 8 3
2 22 2
8 3 8 3
3 2 3 3 2 2
8 8 4 4 16 128
8 3 8
3 3 2 2 3 3
h R R h x x x
h x dx x x dx x dx xdx
x x
− − − −
− −
→ = +
= + = + =
   − −   
= + = − + − =      
          
     
= + + − = = ÷  ÷  ÷
     
∫ ∫ ∫ ∫

•Longitudes, áreas, volumenes
•Se emplea en todas las áreas de la física
•En general en toda la matemática aplicada
la integral es ampliamente empleada

[ ]
( ) ( )
Si y son funciones continuas en el intervalo
, y se cumple que
en todo el intervalo, entonces el área de la región
limitada por las gráficas de y , y las rectas
verticales y , es:
f g
a b
g x f x
f g
x a x b
A f
≤
= =
= ( ) ( )
b
a
x g x dx − ∫

a) Es importante darse cuenta de que la validez de la fórmula del
área depende sólo de que y g sean continuas y de que ( ) ( ).
b) Las gráficas de y pueden estar situadas de cualquier manera
res
f g x f x
f g
≤
pecto del eje .
c) Si, cómo suele ocurrir, unas veces se cumple que ( ) ( )
y otras veces que ( ) ( ), entonces el área de la región
comprendida entre y sobre el intervalo [ , ], viene dado po
OX
g x f x
f x g x
f g a b
≤
≤
( ) ( )
r la
fórmula:
b
a
A g x f x dx = − ∫

2
Hallar el área de la región lim ( )itada por y ) .(g xf x x x==

[ ]
[ ]
2
Hallar el área de la región limitada por ( ) y ( ) .
* El intervalo de integración es 0,1 que son los dos puntos
en los cuales las curvas se intersectan.
* Es claro que en el intervalo 0,1 se cu
f x x g x x= =
[ ]
2
1
2
0
mple
* En el intervalo 0,1 las dos funciones son continuas
Por tanto, el área entre las dos curvas es
x x
x x dx
≤
 − ∫

2
1 11 1 1
2 2 3/ 2 3
0 00 0 0
Hallar el área de la región limitada por ( ) y ( )
2 1 2 1 1
3 3 3 3 3
El área entre las dos curvas es igual a 1/3
f x x g x x
x x dx xdx x dx x x
= =
 − = − = − = − = ∫ ∫ ∫

Si una región de un plano se gira alrededor de un eje de ese
mismo plano, se obtiene una región tridimensional llamada sólido
de revolución generado por la región plana alrededor de lo que
se conoce co
E
mo eje de revolución. Este tipo de sólidos suele
aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de
producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes,
embudos, pilares, botellas y émbolos.
Existen distintas fórmulas para el volumen de revolución, según
se tome un eje de giro paralelo al eje o al eje . Incluso
a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que no son de
revolución.
OX OY

Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos
un sólido de revolución.
El más simple de ellos es el cilindro circular recto o disco, que
se forma al girar un rectángulo alrededor de un ej
2
e adyacente a
uno de los lados del rectángulo.
El volumen de este disco de radio y de anchura es:
Volumen del disco =
R
R
ω
π ω

( )
[ ]
( ) ( ){ }
Si tenemos una función continua y no negativa en el
intervalo , , entonces el sólido obtenido al hacer rotar
la región
, : ,0
alrededor del eje , tiene un volumen dado por la fórmula
f x
a b
R x y a x b y f x
X V
V π
= ≤ ≤ ≤ ≤
= ( )
2
b
a
f x dx  ∫

( ) ( )
Definimos la función
donde es una constante
y
es la variable independiente
x
a
F x f d
a
x
ζ ζ= ∫

( ) ( )
x
a
F x f dζ ζ= ∫( )f x
a
x

( ) ( )
( ) ( )
Se tiene
x
a
F x f d
d
F x f x
dx
ζ ζ=
=
∫

( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a= −∫

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