Este documento describe las reglas para construir el lugar geométrico de las raíces de una ecuación de lazo cerrado al variar la ganancia K. Explica que el lugar de las raíces incluye los puntos de origen (polos de GH(s) cuando K=0), puntos terminales (ceros de GH(s) cuando K=∞), y cómo determinar el número de ramas, asíntotas, intersecciones con el eje real, ángulos de salida y llegada, y más.

1. Lugar Geométrico de las
Raíces
Integrantes de equipo:
Carlos Alfredo Ventura Tepizila
Fernando García Ortiz
Heriberto Bueno Carrillo
Juan Carlos Jiménez Valera
Abraham Méndez Nochebuena

2. El lugar de las raíces se define como el lugar geométrico de las raíces de la
ecuación de lazo cerrado ( 1+GH(s) ) al variar la ganancia K, o algún otro
parámetro desde cero hasta infinito, partiendo de la ecuación de lazo abierto
GH(s):
Definición:
Condición de ángulo y magnitud
La ecuación característica
0)()(1 =+ sHsG 1)()( −=sHsG
por ser un polinomio en s (variable compleja) tiene tanto magnitud y ángulo:
1)()( =sHsG ,...2,1,0,360180)()( =°±°=∠ kksHsG
Condición de magnitud Condición de ángulo
Todas las raíces del lugar de las raíces cumplen con la condición de ángulo y
magnitud.

3. Reglas de construcción para el lugar de las raíces
Se expondrán las reglas con un ejemplo, encontrar el lugar de las raíces de
1.- Puntos de origen (k = 0)
Los puntos de origen del lugar de las raíces son los polos de GH(s). Los polos
incluyen los que se hayan en el plano S finito y en el infinito.
)5)(4(
)()(
++
=
sss
K
sHsG
polos finitos .5,4,0 −=−== sss
ceros finitos hayno
2.- Puntos terminales (k = ∞)
Los puntos terminales del lugar de las raíces son los ceros de GH(s). Los
ceros incluyen los que se hayan en el plano S finito y en el infinito.

4. 3.- Número de ramas separadas
P = # de polos finitos de GH(s), Z = # de ceros finitos de GH(s), N = # de
ramas separadas.
ZPN −=
303 =−=NRamas separadas
4.- Asíntotas del lugar de las raíces
N
jo
j
)12(180 +
=θ j = 0, 1, 2, 3, … hasta N -1= P - Z - 1
.2,1,0,3 == jN
°== 60
3
180
1
o
θ °== 180
3
)3(180
2
o
θ °== 300
3
)5(180
2
o
θ

5. 5.- Intersección de las asíntotas con el eje real.
N
∑−∑
=
GH(s)decerosderaícesGH(s)depolosderaíces
1σ
3
3
)0()540(
1 −=
−−−
=σ
6.- Lugar de las raíces sobre el eje real
Un punto del eje real del plano S pertenece al lugar de las raíces si el
número total de polos y ceros de GH(s) que hay a la derecha del punto
considerado es impar.

6. 7.- Ángulos de salida y llegada
El ángulo de salida del lugar de las raíces de un polo o el ángulo de llegada
de un cero de GH(s) puede determinarse suponiendo un punto S1 muy
próximo al polo o al cero aplicando la siguiente ecuación:
)12(180)( +=∑−∑=∠ jsGH o
zp φφ
En el caso del ejemplo, los polos están en el eje real y puede calcularse el
ángulo de salida por simple inspección. Si se usa la fórmula, se define un
punto muy cercano al polo o cero a calcular su ángulo de salida o llegada.
°
=−−− 180540 φφφ
°
=−−− 1800180 4φ
0φ
5φ
°
= 04φ
punto de prueba

7. 8.- Intersección del lugar de las raíces con el eje imaginario
Sobre el eje imaginario el valor de es , por eso se cambia en la
ecuación característica . Se obtiene el valor de y el de .ωjs → ω K
s ωj
0209)()(1 23
=+++=+ KssssHsG
0)(20)(9)( 23
=+++ Kjjj ωωω
0209 23
=++−− Kjj ωωω
1−=j
se separan las parte real e imaginaria
09 2
=+− Kω 0203
=+− ωω jj
0203
=+− ωω jj
20=ω180=K

8. 9.- Puntos de separación
Los puntos de separación o de ruptura es un valor donde dos polos dejan
de ser reales y se hacen imaginarios (o viceversa). Se determinan usando:
0=
ds
dK
ticacaracterísecuaciónladedespejaseK
sssK 209 23
−−−=
020183 2
=−−−= ss
ds
dK
020183 2
=++ ss
4724.1−=s5275.4−=s

9. 10.- Cálculo del valor de K en el lugar de las raíces
1)()( =sHsG
Se puede conocer que valor de K es necesario para obtener los polos de lazo
cerrado deseados, utilizando la condición de magnitud.

10. Paso 1
Paso 2
hayno
Paso 3
Paso 4
3=N
°= 601θ °=1802θ
°−= 602θ
Paso 5
31 −=σ
Paso 6
Inicio
3−

11. 3−
Paso 7
°
=1800φ °
= 04φ
°
=1805φ
Paso 8
20=ω180=K
20j
20j−
Paso 9
4724.1−=s
Este es el lugar de las
raíces del sistema.

12. Configuraciones típicas del lugar de las raíces
))((
)()(
bsass
K
sHsG
++
=
)54)(52(
)()( 22
++++
=
ssss
K
sHsG

13. )134(
)1(
)()( 2
++
+
=
ss
sK
sHsG
)134)(1(
)()( 2
+++
=
sss
K
sHsG

14. Sea el sistema de lazo cerrado
)7( +ss
K
+
-
Polos de lazo abierto:
7,0 −== ss
)(sC)(sR
En lazo cerrado
Kss
K
sR
sC
++
=
)7()(
)(
La ecuación característica es
072
=++ Kss
)(sB
En lazo abierto
)7()(
)(
+
=
ss
K
sE
sB
Las raíces de la ecuación característica
son los polos de lazo cerrado (p.l.c)
Ks −±−= 25.125.312
y dependen del valor de K

15. Para diferentes valores de K:
K cerradolazodepolos
5707.35.3 js +−= 5707.35.3 js −−=25
8541.6−=s 1459.0−=s1
5.3−=s 5.3−=s25.12
5−=s10 2−=s
5.14 5.15.3 js +−= 5.15.3 js −−=
25.112 105.3 js +−= 105.3 js −−=
1.0 98568.6−=s 014314.0−=s
Cada par de polos de lazo cerrado provoca una respuesta de salida diferente

16. Retomando el ejemplo anterior con 25.112=K
σ
ωj
10j
10j−
1A2A
)7(
25.112
)(
+
=
ss
sG clp .. 105.32 js −−=105.31 js +−=
1)(
21
==
AA
K
sG
1
)7(
25.112
105.3
=
+ +−= jsss
7−
Condición de magnitud
alp ..
alp ..
... clp
... clp Cumple con la condición de magnitud

17. °±°=∠ 360180)(sG
21)( θθ +=∠ sG
Condición de ángulo
σ
ωj
10j
10j−
1θ
2θ
7−
alp ..
alp ..
... clp
... clp





+°= −
10
5.3
90 1
1 tgθ 




= −
5.3
101
2 tgθ
°=∠ 180)(sG
Cumple con la condición de ángulolugar de las raíces
Cualquier otro polo de lazo cerrado fuera del lugar de las raíces no cumple
con la condición de magnitud ni de ángulo.
Cualquier otro polo de lazo cerrado dentro del lugar de las raíces cumple con
la condición de magnitud y de ángulo.