La representación gráfica de una función cuadrática produce una curva llamada parábola. La parábola puede abrirse hacia arriba o hacia abajo dependiendo del signo del coeficiente de x^2. El vértice de la parábola es un punto máximo o mínimo. El valor del coeficiente de x^2 también indica qué tan estrecha o ancha es la parábola.

1. Al re­pre­sen­tar grá­fi­ca­men­te una fun­ción cua­drá­ti­ca se ob­tie­ne una cur­
va lla­ma­da pa­rá­bo­la.
La pa­rá­bo­la que re­pre­sen­ta una fun­ción cua­drá­ti­ca se pue­de abrir ha­cia
arri­ba o ha­cia aba­jo.
·· Si en la fun­ción y  ax2
 bx  c, a  0, en­ton­ces, la pa­rá­bo­la abre
ha­cia arri­ba (figura 1).
En es­te ca­so, el vértice es un punto mínimo.
·· Si en la fun­ción y  ax2
 bx  c, a  0, en­ton­ces, la pa­rá­bo­la abre
ha­cia aba­jo (figura 2).
En es­te ca­so, el vér­ti­ce es un pun­to má­xi­mo.
La rec­ta pa­ra­le­la al eje y que pa­sa por el vér­ti­ce de la pa­rá­bo­la
se de­no­mi­na eje de si­me­tría.
El va­lor de a en la fun­ción y  ax2
 bx  c tam­bién in­di­ca la aber­tu­ra
de la pa­rá­bo­la. Así, si:
·· a  1, la pa­rá­bo­la es más es­tre­cha en re­la­ción con la pa­rá­bo­la
don­de a  1.
·· 0 < a < 1, la pa­rá­bo­la es más an­cha en re­la­ción con la pa­rá­bo­la
don­de a = 1.
Re­pre­sen­ta­ción grá­fi­ca de la fun­ción cua­drá­ti­ca
Al gra­fi­car una fun­ción cua­drá­ti­ca se tie­nen en cuen­ta cua­tro ca­sos:
f(x)  ax2
, f(x)  ax2
 c, f(x)  ax2
 bx y f(x)  ax2
 bx  c.
Ade­más, pa­ra ca­da fun­ción, se iden­ti­fi­ca el vér­ti­ce y se ela­bo­ra una
ta­bla de va­lo­res que de­ter­mi­ne la for­ma de la pa­rá­bo­la.
gráfica de una función cuadrática
concepto
x
y
Vértice
Fi­gu­ra 1.
mínimo
x
y
Vértice
Fi­gu­ra 2.
máximo
Realiza el gráfico
de la función y = x2
,
e indica qué figura
se ha formado y qué
características observas.
Conocimientos previos
Una fun­ción cua­drá­ti­ca es aque­lla fun­ción de la for­ma
y  f(x)  ax2
 bx  c con a, b, c   y a  0.
Por ejem­plo, las fun­cio­nes
f(x)  3x2
 2x  1, f(x)  x2
 3 y f(x)  x2
 3x son fun­cio­nes
cua­drá­ti­cas.
Las fun­cio­nes cua­drá­ti­cas tam­bién re­ci­ben el nom­bre de fun­cio­nes de
se­gun­do gra­do, de­bi­do a que el ex­po­nen­te del tér­mi­no ax2
es 2.
dominio y recorrido de la función cuadrática
El dominio de una función cuadrática son los números reales, y el
recorrido se toma desde el punto máximo o mínimo (Vértice da la
parábola) hacia +∞ o –∞, según corresponda.
​ 1 __
2
​ ​ 2 __
5
​
66
Función cuadrática
• Reconocer la gráfica de una
función cuadrática como una
parábola a través del significado
geométrico de los parámetros
que la definen. (P)
• Comprender que el vértice
de una parábola es un máximo
o un mínimo de la función
cuadrática cuya gráfica
es la parábola. (C)
• Comprender que la determi-
nación del recorrido de una
función cuadrática f es equi-
valente a construir la imagen
y a partir de x, elemento del
dominio. (C)
• Determinar el comportamien-
to local y global de la función
cuadrática a través del análisis
de su dominio, recorrido,
crecimiento, decrecimiento,
concavidad y simetría, y de la
interpretación geométrica de
los parámetros que la definen.
(C, P)
Destrezas con
criterio de desempeño:
BECU_M1_B2_P62_107.indd 66 4/22/14 11:52 AM

2. ·· Ca­so 3. f(x)  ax2
 bx, don­de c  0.
En es­te ca­so el eje de si­me­tría de la pa­rá­bo­la es una rec­ta pa­ra­le­la al
eje y.
Pa­ra re­pre­sen­tar grá­fi­ca­men­te es­ta fun­ción, se ela­bo­ra una ta­bla de
va­lo­res, te­nien­do en cuen­ta que las coor­de­na­das del vér­ti­ce se ha­llan
ha­cien­do x = ​ –b ___
2a
​y rem­pla­zan­do di­cho va­lor en la fun­ción da­da.
·· Ca­so 1. f(x)  ax2
, don­de b  0 y c  0.
Es­te ti­po de pa­rá­bo­la tie­ne vér­ti­ce en el pun­to (0, 0). El eje de si­me­tría
es el eje y.
Si a  0, abre ha­cia arri­ba, y si a  0, abre ha­cia aba­jo.
Ade­más, si a  0, en­ton­ces, la pa­rá­bo­la se cie­rra en re­la­ción con la
pa­rá­bo­la y  x2
; y si a  1, en­ton­ces, la pa­rá­bo­la se abre en re­la­ción
con la pa­rá­bo­la y  x2
.
Por ejem­plo, las pa­rá­bo­las
y  2x2
, y  ​ 1 __
2
​ x2
(figura 3) y y  2x2
, y   ​ 1 __
2
​ x2
(figura 4).
·· Ca­so 2. f(x)  ax2
 c, don­de b  0.
La grá­fi­ca de la fun­ción ax2
 c se ob­tie­ne tras­la­dan­do c uni­da­des a la
grá­fi­ca de la fun­ción ax2
.
Si c  0, la tras­la­ción es ha­cia arri­ba.
Si c  0, la tras­la­ción es ha­cia aba­jo.
El eje de si­me­tría es el eje y y el vér­ti­ce de la pa­rá­bo­la es el pun­to
(0, c) o el pun­to (0, c), se­gún sea la tras­la­ción.
Gra­fi­car las fun­cio­nes y  x2
 2 y y  x2
 2.
So­lu­ción
Se gra­fi­ca la pa­rá­bo­la y  x2
; lue­go, pa­ra gra­fi­car y  x2
 2, se tras­la­da
2 uni­da­des arri­ba; y pa­ra gra­fi­car y  x2
 2, se tras­la­da 2 uni­da­des aba­jo.
x
y
-2 2
2
7
-1 1 3 4-3-4
1
-1
4
5
6
3
y ‫؍‬ 2x 2
y ‫؍‬ x 2
y ‫؍‬ x 21
2
x
y
-2 2
-7
-2
-1 1 3 4-3-4
1
-1
-5
-4
-3
-6
y ‫؍‬ -2x 2
y ‫؍‬ -x 2y ‫؍‬ - x 21
2
x
y
-2 2
2
-2
-1 1 3 4-3-4
1
-1
7
3
4
6
5
y 2
‫؍‬ x 2
؊ 2
y ‫؍‬ x 2
y ‫؍‬ x 2 ؉ 2
Fi­gu­ra 3.
x 1 2 –1 –2
–2x2
–2 –8 –2 –8
– ​ 1 _
2
​ x2
– ​ 1 _
2
​ –2 – ​ 1 _
2
​ –2
x 1 2 –1 –2
2x2
2 8 2 8
​ 1 __
2
​ x2
​ 1 __
2
​ 2 ​ 1 __
2
​ 2
Fi­gu­ra 4. x 0 1 2 1 2
x2
 2 2 3 6 3 6
x 0 1 2 1 2
x2
 2 2 1 2 2 2
67
El estudio de las
funciones cuadráticas
se aplica en la ingeniería
civil, para resolver
problemas específicos
como la construcción de
puentes colgantes que se
encuentran suspendidos
por cables amarrados
a dos torres.
Los biólogos utilizan
las funciones cuadráticas
para estudiar los efectos
nutricionales de los
organismos.
Actualízate
Ejemplo
BECU_M1_B2_P62_107.indd 67 4/22/14 11:52 AM

3. 1. Re­pre­sen­tar grá­fi­ca­men­te la fun­ción y  2x2
 4x.
So­lu­ción
Co­mo a  2, la pa­rá­bo­la abre ha­cia aba­jo.
Pa­ra de­ter­mi­nar las coor­de­na­das del vér­ti­ce, se rem­pla­zan los va­lo­res
de a  2 y b  4 en la fór­mu­la, así:
x = ​ –b __
2a
​= – ​ 4 _____
2(–2)
​ 1
El va­lor de y es:
y  2x2
 4x  2(1)2
 4(1)  2
Lue­go, el vér­ti­ce es­tá en el pun­to (1, 2).
Eje de si­me­tría, rec­ta x  1.
2. En­con­trar, sin ha­cer la grá­fi­ca, ha­cia dón­de abre la pa­rá­bo­la, el vér­ti­ce y los
pun­tos de cor­te con el eje x, de la pa­rá­bo­la f(x)  3x2
 6x.
So­lu­ción
·· En la fun­ción f (x)  3x2
 6x, a  3  0, entonces la pa­rá­bo­la abre ha­cia arri­ba.
·· Pa­ra de­ter­mi­nar las coor­de­na­das del vér­ti­ce, se rem­pla­za
a  3 y b  6 en x = – ​ b __
2
​a, así:
x = – ​ 6 ___
2(3)
​= ​ –6 __
6
​ 1 y  3x2
 6x  3(1)2
 6(1)  3
Lue­go, el vér­ti­ce es­tá ubi­ca­do en el pun­to (1, 3).
·· Pa­ra de­ter­mi­nar los pun­tos de cor­te, y de­be ser igual a ce­ro, es de­cir:
si y  0, en­ton­ces 3x2
 6x  0, de don­de
3x2
 6x  0
3x (x  2)  0
3x  0 o x  2  0
x  0 o x  2
Lue­go, los pun­tos de cor­te son (0, 0) y (2, 0).
x 1 0 1 2 3
y 6 0 2 0 6
·· Ca­so 4. f(x)  ax2
 bx  c.
La grá­fi­ca de una fun­ción y  ax2
 bx  c se pue­de ob­te­ner a par­tir
de la pa­rá­bo­la que re­pre­sen­ta la fun­ción y  ax2
 bx, tras­la­dan­do la
grá­fi­ca c uni­da­des ha­cia arri­ba si c  0, o c uni­da­des ha­cia aba­jo si
c  0.
Por ejem­plo, la fun­ción y  x2
 2x  4 es una tras­la­ción de la fun­
ción y  x2
 2x (figura 5).
x
y
-2 2
2
-2
-1 1 3 4-3-4
1
-1
-5
-4
-3
-6
x
y
-2 2
2
-2
-1 1 3 4-3-4
1
-1
7
3
4
6
5
y ‫؍‬ x 2
؊ 2x
y ‫؍‬ x 2 ؊ 2x ؉ 4
Fi­gu­ra 5.
Grá­fi­ca de y  x2
 2x  4
Ejemplos
68
Grafica las siguientes
funciones.
ƒ(x) = 3x – x2
ƒ(x) = 2x2
+ 11x + 5
Trabajo individual
• Dominio y recorrido
de la función
cuadrática
• El dominio de la
función del ejemplo son
los reales.
• El recorrido de la
función del ejemplo
es el intervalo ]– ∞, 2]
Toma en cuenta
BECU_M1_B2_P62_107.indd 68 4/22/14 11:52 AM

4. 1. Identifica cuáles de las siguientes expresiones
corresponden a funciones cuadráticas.
a. y  x2
 2x  5 d. y  4x  6x4
b. f(x)  x  2 c. y  2x3
 5x
2. Indica hacia dónde abre la parábola que representa
cada función cuadrática.
a. f(x)  x  x2
d. f(x)  3x2
 2x  1
b. y  3x2
 6x  2 e. y  5x2
 6x  2
c. f(x)  4  2x2
f. f(x)  7x2
 4
3. Traza el eje de simetría de cada parábola. Luego,
escribe la ecuación de dicho eje.
a. c.
b. d.
4. Escribe V (verdadero) o F (falso). Justifica.
a. La función y  x  3x2
se representa con una
parábola que abre hacia abajo y sobre su eje de
simetría se ubica el máximo.
b. La gráfica de la función f(x)  2x2
tiene un
máximo sobre el eje x.
c. La función cuadrática f(x) = ​ 1 __
2
​x2
abre hacia
abajo, ya que el coeficiente de x2
es una fracción.
5. Grafica los siguientes conjuntos de funciones cua­
dráticas. Utiliza un plano para cada conjunto.
a. y  x2
, y  2x2
, y  3x2
, y  4x2
.
b. y  x2
, y  ​ 1 __
2
​ x2
, y  ​ 1 __
3
​ x2
, y  ​ 1 __
4
​ x2
.
c. y  x2
, y  2x2
, y  3x2
, y  4x2
.
6. Para cada función cuadrática, dibuja otra función
cuadrática con la condición indicada. Luego, escribe
su ecuación correspondiente.
a.
b.
c.
7. Halla el vértice y los puntos de corte con el eje x
de las siguientes parábolas. Luego, grafica.
a. f(x)  5x2
 10x f. y  x2
 6x
b. y  x2
 4x g. f(x)  x2
 8x
c. f(x)  3x2
 6x h. y  4x2
 16x
d. y  2x2
 8x i. f(x)  x2
 5x
e. f(x)  x2
 2x j. f(x)  7x2
 14x
8. Toma como referencia las parábolas del ejercicio
anterior, para construir la gráfica de las siguientes
parábolas.
a. f(x)  5x2
 10x  1 f. y  x2
 6x  3
b. y  x2
 4x  3 g. f(x)  x2
 8x  16
c. f(x)  3x2
 6x  2 h. y  4x2
 16x  1
d. y  2x2
 8x  4 i. f(x)  x2
 5x  2
e. f(x)  x2
 2x  6 j. f(x)  7x2
 14x  1
3
2
6-2 21 3 5
x
y
-2
-1
4
5
6
1
4
-1
3
2
-3 -2 21 3-4
x
y
-2
-1
4
-4
-3
1
4
-1
3
2
-3 -2 21 3
x
y
-2
-1
5
6
1
4
-1
f (x)  x 2
3
2
-3 -2 21 3
x
y
-2
-1
5
6
1
4
-1
3
2
6-2 21 3 5
x
y
-2
-1
4
5
6
1
4
-1
3
2
6-2 21 3 5
x
y
-2
-1
4
5
6
1
4
-1
Trasladar la
gráfica una
unidad
hacia arriba.
3
2
-3 -2 21 3
x
y
-2
-1
5
6
1
4
-1
f (x) ‫؍‬ ؊x 2 ؉5
3
2
-3 -2 21 3
x
y
-2
-1
5
6
1
4
-1
Trasladar la
gráfica 3
unidades
hacia abajo.
3
2
4-2 21 3
x
y
-2
-1
5
6
1
4
-1
f (x) ‫؍‬ (x ؊1)2
3
2
4-2 21 3
x
y
-2
-1
5
6
1
4
-1
Trasladar la
gráfica 2
unidades
hacia arriba.
Actividades
Analiza funciones cuadráticas por medio de sus coeficientes.
Determina el eje de simetría.
Analiza el valor de verdad de proposiciones.
Grafica funciones cuadráticas.
Determina el vértice y los cortes con el eje x.
Grafica funciones cuadráticas mediante traslaciones.
69
BECU_M1_B2_P62_107.indd 69 4/22/14 11:52 AM