econo¿a

1. INGENIERÍA ECONÓMICA
CÓDIGO: 50413312
MODALIDAD: PRESENCIAL (CLASES REMOTAS)
No. DE CRÉDITOS: 3
PROGRAMA: INGENIERÍA INDUSTRIAL
PROFESOR: HENRY GONZÁLEZ BECERRA
CORREO: henry.egb@uan.edu.co

2. UNIDAD 3. TEMA COMPLEMENTARIO FECHA FOCAL
INGENIERÍA ECONÓMICA

3. - DEFINICION
- PRINCIPIO GENERAL
- ECUACION DE VALOR
- LOCALIZACION
- EJEMPLOS
FECHA FOCAL

4. FECHA FOCAL
Ecuación de Valor
PRINCIPIO: Dos sumas
ubicadas en diferentes
fechas no son equivalentes.
Igualdad entre un
conjunto de pagos
localizados en periodos
diferentes.
Un valor está localizado
antes de la fecha focal se
traslada a su VF
equivalente.
Un valor localizado
después de la fecha focal
se traslada a su valor
presente equivalente.

5. Se tienen tres documentos por cobrar en diferentes fechas. El primero por valor de $6.000.000 a tres
meses, el segundo por la suma de $10.000.000 a seis meses, y el último por $20.000.000 a ocho meses.
Se desea cambiar estos documentos por uno solo pagadero a cinco meses. Si la operación se realiza con
una tasa de interés simple del 3% mensual, ¿cuál es el valor del nuevo documento?. Se toma como fecha
focal el periodo 5.
EJERCICIO 1
Doc 1 = $6.000.000 (3 meses)
Doc 2 = $10.000.000 (6meses)
Doc 3 = $20.000.000 (8meses)
Fecha focal = 5 meses
i = 3% mensual ≈ 0.03
Nuevo Documento = ?
1 2 3 4 8
7
6
$20 M
X
$10 M
$6 M
5
0
f.f
Aplicando el concepto del valor del dinero en el tiempo, no es
posible comparar estas tres sumas de dinero, sin utilizar una
fecha única para la solución del problema planteado.

6. EJERCICIO 1
RECUERDE QUE: Aplicando el concepto del valor del dinero en el tiempo, no es posible comparar estas tres sumas de
dinero. Se DEBE utilizar una sola fecha para la solución del problema planteado.
Planteamiento de la ecuación
de valor
El valor del documento 1 constituye un
valor presente que se debe convertir a
valor futuro en la fecha focal (f.f)
El valor de los documentos 2 y 3 constituyen
un valor futuro que se debe convertir a
valor presente en la fecha focal (f.f)
V𝐹 = 𝑉P (1 + ni) 𝑉𝑃 =
𝑉𝐹
(1 + 𝑛𝑖)
≈
Se tienen tres documentos por cobrar en diferentes fechas. El primero por valor de $6.000.000 a tres meses,
el segundo por la suma de $10.000.000 a seis meses, y el último por $20.000.000 a ocho meses. Se desea
cambiar estos documentos por uno solo pagadero a cinco meses. Si la operación se realiza con una tasa de
interés simple del 3% mensual, ¿cuál es el valor del nuevo documento?. Se toma como fecha focal el periodo
5.

7. EJERCICIO 1 (Continuación)
Planteamiento de la ecuación
de valor
El valor del documento 1
constituye un valor presente que
se debe convertir a valor futuro
en la fecha focal (f.f)
El valor de los documentos 2 y
3 constituye un valor futuro que
se debe convertir a valor
presente en la fecha focal (f.f)
1 2 3 4 8
7
6
$20 M
X
$10 M
$6 M
5
0
f.f
VP ⇒ VF VP ⇐ VF
V𝐹 = 𝑉P (1 + ni) 𝑉𝑃 =
𝑉𝐹
(1 + 𝑛𝑖)
≈
X = $6.000.000 𝑥 (1 + 2 x 0,03) +
$10.000.000
(1+1 𝑥 0,03)
+
$20.000.000
(1+3 𝑥 0,03)
X = $6.360.000 + $9.708.737,86 + 18.348.623.85
X = $34.417.361,72

8. EJERCICIO 2
Una persona compra una vivienda por valor de $400.000.000, a ser pagada en las siguientes condiciones:
El 12.5% del valor total como cuota inicial, y dos pagos iguales en los meses 6 y 12 respectivamente. Si la
tasa de interés es del 3% mensual simple, ¿cuál es el valor de los dos pagos?.
La fecha focal (f.f) está localizada en el periodo 0.
Valor total = $400.000.000
Cuota inicial= 12.5%Vt
i = 3% mensual ≈ 0.03
Cuota 1 = X (6 meses)
Cuota 2 = X (12 meses)
V𝐹 = 𝑉P (1 + ni) 𝑉𝑃 =
𝑉𝐹
(1 + 𝑛𝑖)
≈

9. EJERCICIO 2
Una persona compra una vivienda por valor de $400.000.000, a ser pagada en las siguientes condiciones:
El 12.5% del valor total como cuota inicial, y dos pagos iguales en los meses 6 y 12 respectivamente. Si la
tasa de interés es del 3% mensual simple, ¿cuál es el valor de los dos pagos?.
La fecha focal (f.f) está localizada en el periodo 0.
V𝐹 = 𝑉P (1 + ni) 𝑉𝑃 =
𝑉𝐹
(1 + 𝑛𝑖)
≈
Planteamiento de la ecuación
de valor
El valor de la cuota inicial es un
valor presente que se localiza
en la fecha focal (f.f)
El valor de las cuotas 2 y 3 constituye
un valor futuro que se debe convertir a
valor presente en la fecha focal (f.f)
El valor total es un valor
presente que se localiza en la
fecha focal (f.f)

10. EJERCICIO 2 (Continuación)
Planteamiento de la ecuación
de valor
El valor de la cuota inicial es un
valor presente que se localiza
en la fecha focal (f.f)
El valor de las cuotas 2 y 3
constituye un valor futuro que
se debe convertir a valor
presente en la fecha focal (f.f)
El valor total es un valor
presente que se localiza en la
fecha focal (f.f)
V𝐹 = 𝑉P (1 + ni) 𝑉𝑃 =
𝑉𝐹
(1 + 𝑛𝑖)
≈
$400.000.000 = $50.000.000 +
𝑋
(1+6 𝑥 0,03)
+
𝑋
(1+12 𝑥 0,03)
$350.000.000 =
𝑋
(1+6 𝑥 0,03)
+
𝑋
(1+12 𝑥 0,03)
$350.000.000 = 0,847458X + 0,735294X
$350.000.000 = 1,582752X
X =
$350.000.000
1,582752
= $221.133.822,61

11. UNIDAD 3. INTERÉS COMPUESTO
INGENIERÍA ECONÓMICA

12. INTERES COMPUESTO: DEFINICION
CAPITALIZACION:
Proceso mediante el cual
los intereses causados se
adicionanal capital.
PERIODO DE CAPITALIZACION:
Periodo en el que los intereses
se transforman en capital.
PERIODO DE PAGO:
Periodo en el que se debe
efectuar el pago de la obligación.
No siemprecoinciden:
ⱡ

13. INTERES Y VALOR
FUTURO A INTERES
COMPUESTO
0 - 1 P I1 = Pi F1 = P + I1
F1 = P + (P x i)
F1 = P (1 + i)
1 - 2 P (1 + i) I2 = (P x i) x i F2 = F1 + I2
I2 = P x i (1 + i) F2 = P (1 + i) + P x i (1 + i)
F2 = P (1 + i)2
2- 3 P (1 + i)2
I3 = (P x i)2
x i F3 = F2 + I3
I3 = P x i (1 + i)2
F3 = P (1 + i)2
+ P x i (1 + i)
F3 = P (1 + i)3
(n - 1) – n P (1 + i)n-1
In = P x i (1 + i)n-1
Fn = P (1 + i)n
PERIODO CAPITAL INICIAL INTERES / PERIODO CAPITAL FINAL
…… …… …… ……

14. CARACTERISTICAS DEL INTERES COMPUESTO
• El capital sobre la obligación cambia en cada periodo, debido a que
los intereses que se causan se capitalizan (se convierten en capital).
• En consecuencia, la tasa de interés se aplica cada periodo sobre un
capital diferente (variable).
• Si no hay abono a capital durante la vigencia de la obligación, los
intereses periódicos serán cada vez mayores.

15. ANALISIS DEL INTERES COMPUESTO
• Los intereses que se causan periodo a periodo se capitalizan (es decir,
no se pagan al final de cada periodo, sino que se suman al capital
anterior para formar un “nuevo” capital).
• Los intereses se reinvierten a la misma tasa de interés (supuesto de
reinversión)

16. EJERCICIO 1: VALOR PRESENTE A VALOR FUTURO - INTERES COMPUESTO
Si se invierte $1.000.000, durante seis meses, en una entidad financiera que reconoce una tasa de interés
del 3% capitalizable mensualmente, ¿cuánto dinero se tendrá al final del periodo?
VF = VP (1 + i)n
VF = $1.000.000(1 + 0,03)6
CAPITAL INICIAL $1.000.000,00
FINAL DEL PRIMER MES: VF1 = $1000.000 x 0,03 = $1.030.000,00
FINAL DEL SEGUNDO MES: VF2 = $1.030.000,00 x 0,03 = $1.060.900,00
FINAL DEL TERCER MES: VF3 = $1.060.900,00 x 0,03 = $1.092.727,00
FINAL DEL CUARTO MES: VF4 = $1.092.727,00 x 0,03 = $1.125.508,81
FINAL DEL QUINTO MES: VF5 = $1.125.508,81 x 0,03 = $1.159.274,07
FINAL DEL SEXTO MES: VF6 = $1.159.274,07 x 0,03 = $1.194.052,30
VF = $1.194.052,30

17. EJERCICIO 2: VALOR PRESENTE A VALOR FUTURO - COMPARATIVO INTERES COMPUESTO & SIMPLE
Se depositan $35.500.000, durante dos años, en una entidad financiera que reconoce una tasa de interés
del 2.75% mensual. ¿Cuánto dinero se tendrá al final del año?
Con interés simple Con interés compuesto
V𝐹 = 𝑉P (1 + ni) VF = VP (1 + i)n
V𝐹 = $58.930.000 V𝐹 = $68.075.726,72

18. VF = VP (1 + i)n
Despejando VP, se
obtiene la formula de
valor presente.
𝑉𝑃 =
𝑉𝐹
(1 + 𝑖)n El factor (1 + i)n se conoce como ‘’Factor de capitalizaciónen pago único’’.
VALOR FUTURO A VALOR PRESENTE - INTERES COMPUESTO
VP = VF (1 + i) -n El factor (1 + i) -n se conoce como ‘’Factor de descuento’’.
≈

19. EJERCICIO 3: VALOR FUTURO A VALOR PRESENTE - INTERES COMPUESTO
Una persona necesita la suma de $47.450.000 dentro de un año para adelantar un pago sobre la compra
de un apartamento. Si una entidad bancaria le ofrece un producto financiero que le reporta una tasa de
interés del 3.5% capitalizable mensualmente, ¿cuánto debe depositar hoy para alcanzar este objetivo?.
𝑉𝑃 =
𝑉𝐹
(1 + 𝑖)n
𝑉𝑃 =
$47.450.000
(1 + 0,0285) 12
VF = $47.450.000
i = 2,85%mensual ≈ 0.0285
n = 12 meses
VP = ?
𝑉𝑃 = $33.867.618,9

20. EJERCICIO 4: VALOR FUTURO A VALOR PRESENTE - INTERES COMPUESTO
Una persona necesita $55.785.000 dentro de año y medio para adelantar un pago extraordinario sobre
la compra de un vehículo de carga. Si una entidad bancaria le ofrece un fondo de inversión que le reporta
una tasa de interés anual del 27% capitalizable mensualmente, cuánto debe depositar hoy para alcanzar
este objetivo?.
𝑉𝑃 =
𝑉𝐹
(1 + 𝑖)n
𝑉𝑃 =
$55.785.000
(1 + 0,0225) 18
𝑉𝑃 = $37.374.701,9

21. CALCULO DE LA TASA DE INTERES COMPUESTA
VF = VP (1 + i)n
Despejando:
1 + 𝑖 n =
𝑉𝐹
𝑉𝑃
Sacando la raíz n a
ambos lados de la
igualdad, se obtiene:
n
VP
VF
i =
+ )
1
(
1
−
= n
VP
VF
i
IMPORTANTE: Esta formula solo se puede aplicar cuando existe un solo
valor al comienzo y al final de la operación.

22. EJERCICIO 5: CALCULO DE LA TASA DE INTERES (INTERES COMPUESTO)
Una persona deposita hoy una suma de $18.500.000 en una entidad bancaria que le reportará un valor
de $32.000.000? A dos años, ¿cuál es la tasa de interés mensual de esta operación? ¿Cuál es el valor del
interés pagado en esta operación financiera?
1
−
= n
VP
VF
i
i =
2 32.000.000
18.500.000
- 1 i = 31.52%

23. CALCULO DEL NUMERO DE PERIODOS
VF = VP (1 + i)n
Despejando:
1 + 𝑖 n =
𝑉𝐹
𝑉𝑃
IMPORTANTE: Esta formula solo se puede aplicar cuando existe un solo
valor al comienzo y al final de la operación.
𝑛 =
𝐿𝑜𝑔𝑉𝐹 − 𝐿𝑜𝑔𝑉𝑃
𝐿𝑜𝑔(1 + 𝑖)
𝐿𝑜𝑔 1 + 𝑖 n = 𝐿𝑜𝑔
𝑉𝐹
𝑉𝑃
𝐿𝑜𝑔 1 + 𝑖 ∗𝑛 = 𝐿𝑜𝑔𝑉𝐹 − 𝐿𝑜𝑔𝑉𝑃

24. EJERCICIO 6: CALCULO NUMERO DE PERIODOS A INTERES COMPUESTO
Una persona deposita hoy una suma de $25.000.000 en una entidad bancaria que le ofrece un tasa de
interés del 2.5% capitalizable mensualmente, ¿cuánto tiempo debe esperar para disponer de
$32.000.000?.
𝑛 =
𝐿𝑜𝑔𝑉𝐹 − 𝐿𝑜𝑔𝑉𝑃
𝐿𝑜𝑔(1 + 𝑖)
𝑛 =
𝐿𝑜𝑔 𝑉𝐹 − 𝐿𝑜𝑔𝑉𝑃
𝐿𝑜𝑔(1 + 𝑖)
𝑛 = 9.99  10

25. EJERCICIO 7. EJERCICIO FECHA FOCAL CON INTERÉS COMPUESTO
Una persona compra una vivienda por valor de $400.000.000, mediante un crédito hipotecario con una
entidad financiera, a ser pagada en las siguientes condiciones: El 12.5% del valor total como cuota inicial,
y dos pagos iguales en los meses 6 y 12 respectivamente. Si la tasa de interés es del 3% mensual
compuesto, ¿cuál es el valor de los dos pagos?.
La fecha focal (f.f) está localizada en el periodo 0.
V𝐹 = 𝑉P (1 + ni) 𝑉𝑃 =
𝑉𝐹
(1 + 𝑛𝑖)
≈
Planteamiento de la ecuación
de valor
El valor de la cuota inicial es un
valor presente que se localiza
en la fecha focal (f.f)
El valor de las cuotas 2 y 3 constituye
un valor futuro que se debe convertir a
valor presente en la fecha focal (f.f)
El valor total es un valor
presente que se localiza en la
fecha focal (f.f)