Este documento resume la teoría de Markowitz para dos activos. Explica cómo calcular la cartera óptima que maximiza la rentabilidad y minimiza el riesgo mediante la determinación de los porcentajes óptimos a invertir en cada activo usando fórmulas que involucran la media, varianza, covarianza y correlación de los activos. Además, presenta un ejemplo numérico utilizando datos de índices colombianos.

1. Aplicación de la Teoría Markowitz
Método Para dos activos
John Alejandro Bedoya Villegas
Estudiante de Ingeniería Administrativa
Universidad Nacional de Colombia sede Medellín
Marzo de 2011

2. En este documento se explica de manera sencilla, la teoría de Markowitz para dos
activos, no obstante requiere que el lector tenga un conocimiento previo de algunos
conceptos básicos de estadística como son:
Variable aleatoria
Rendimiento logarítmico
Media o esperanza
Desviación estándar (ó volatilidad)
Covarianza entre variables aleatorias
Correlaciones entre variables aleatorias
Aplicación de la Teoría Markowitz
Definicion
Método Para dos activos
Markowitz en su modelo de gestión de carteras, muestra cómo lograr una inversión
óptima, que no es más que la correcta distribución del capital entre las diferentes
opciones de activos, a esto Markowitz le llama cartera eficiente, que se define como,
una cartera que proporciona la máxima rentabilidad con un mínimo de riesgo.
Objetivo de este modelo es calcular una cartera eficiente, o en otras palabras
maximizar la rentabilidad, reduciendo el riesgo.
El modelo asume un comportamiento racional del inversionista, es decir el
inversionista desea rentabilidad y rechaza el riesgo.
Supuestos del modelo
• Para cada activo se expresa un el rendimiento logarítmico así:
Ecuación 1
Donde es el precio del activo al día de hoy y es el precio del activo al día
de ayer. La conveniencia de usar estos rendimientos es en primer lugar
aprovechar las propiedades de la función Ln y en segundo lugar supone que
existes muchos precios entre y , en otras palabras, el rendimiento es
continuo.
• La rentabilidad de cualquier titulo es una variable aleatoria, que se define
así,: ~
• Parámetro media o esperanza , se acepta como la media de rentabilidad y
se denota asi:

3. Ecuación 2
• Se acepta como media de riesgo, la dispersión, medida por la desviación
estándar, denotada así
Ecuación 3
• La varianza y la media se mantienen constantes por un periodo Δ , ósea que no
dependerán del tiempo t, así se acumulan los datos de la historia y se estimar la
distribución asociada a dichas variables.
Modelo para dos activos de Markowitz
Suponga que se cuenta con un capital k que se desea invertir en n activos financieros,
que tienen precios históricos.
El objetivo será determinar el porcentaje que deberá invertirse en cada activo, esto se
reduce a hallar un “optimo” que minimiza la varianza del portafolio.
Desarrollo del problema
Con los datos históricos, se puede calcular y . Además es
necesario estimar la covarianza y la las correlaciones entre los diferentes activos.
La covarianza entre dos variables aleatorias se expresa como:
, Ecuación 4
La correlación entre dos variables aleatorias se expresa como:
Ecuación 5
Markowitz para dos activos se define, el rendimiento, la media y la varianza del
portafolio.
Rendimiento del portafolio viene dado por:
Ecuación 6
Donde:
Es la rentabilidad del portafolio.
Es porcentaje de inversión, 0,1
, Es la rentabilidad del activo 1 y 2 respectivamente.

4. Rendimiento medio del portafolio viene dado por:
Ecuación 7
Donde:
Es el rendimiento medio del portafolio.
Es porcentaje de inversión, 0,1
, Es la rentabilidad media del activo 1 y 2 respectivamente.
Varianza del portafolio viene dada por:
1
Ecuación 8
Donde:
Es porcentaje de inversión, 0,1
, Es la desviación estándar del activo 1 y 2 respectivamente.
Es el rendimiento medio del portafolio.
Desviación estándar (ó volatilidad) viene dada por:
Ecuación 9
Ahora se puede encontrar el porcentaje de capital a invertir en cada activo, para
esto, se deriva la función de la varianza con respecto a y se iguala a cero.
0 ó 0
Operando y despejando a se tiene que el omega óptimo será:
Ecuación 10
Podemos reescribir a en términos de la volatilidad y la correlación así:
De la ecuación 5
Ecuación 11
Luego reemplazando la ecuación 11 en 10 se tiene que:
Ecuación 12

5. La varianza optima del portafolio , se define como:
Ecuación 13
Podemos reescribir la varianza óptima del portafolio en términos de la correlación y de
la varianza así, reemplazando la ecuación 12 en la ecuación 13 y simplificando, se
tiene:
Ecuación 14
La rentabilidad óptima del portafolio se define como:
Ecuación 15
Rendimiento medio óptimo del portafolio se obtiene así:
Ecuación 16
Desviación estándar (ó volatilidad) optima:
Ecuación 17
Nota: para este caso en particular lo que buscamos es que los dos activos que tengan
una correlación , , negativa o cercana a cero así garantizaremos que
,
Ejemplo de Markowitz con dos activos en Microsoft Excel
Lo primero en lo que se debe hacer claridad, es en el intervalo de tiempo que se desea
trabajar, días, semanas, meses o años. Con base en este de tiempo, calculamos las
volatilidades, que pueden ser, diarias, mensuales o anuales. Una de las metodologías
más sencilla y más cuestionada, es multiplicar la volatilidad ó desviación estándar por
la raíz de del periodo en días que se desea trabajar. Por ejemplo, si la volatilidad es
diaria, y la queremos anual solo bastara con multiplicar a por la raíz del periodo en
días, así: √255 y obtendremos una volatilidad anual. Esta volatilidad, también
depende del intervalo de tiempo en que se tomen los datos de los activos. Para este
ejemplo en particular los datos son diarios, así que la volatilidad es diaria y por tanto el
modelo es válido por un día, que sería el día 1.
Para este caso analizamos dos activos de la Bolsa de Valores Colombiana el índice
ColCap y las acciones de HelmBank (P). Para este análisis tomamos el intervalo de
tiempo desde 04/01/2010 hasta el 28/02/2011, teniendo un total de 285 precios de
cierre históricos que los podemos encontrar en la página del Grupo Aval (link al inicio).

6. Luego de hacer los cálculos previamente descritos y ayudados con la herramienta
“análisis de datos” incorporada en Microsoft Excel obtenemos los diferentes
coeficientes de media, varianza y los coeficiente de covarianza y correlación entre los
activos, estos últimos con la herramienta “análisis de datos”. Obtenemos.
Recuerde que los análisis para obtener los coeficientes se realizan sobre los
rendimientos logarítmicos.
Indice-Accion Media Varianza Desv. Estandar
(1) COLCAP 0,00085 0,000095 0,009737
(2) HelmBank (P) -0,00023 0,0001 0,012202
Tabla 1 Coeficientes de variables aleatorias
Ln(ri) COLCAP Ln(ri) HelmBank (P)
(1) Ln(ri) COLCAP 9,44834E-05 3,1245E-05
(2) Ln(ri) HelmBank (P) 3,1245E-05 0,000148364
Tabla 2 Matriz de Covarianza
Ln(ri) COLCAP Ln(ri) HelmBank (P)
(1) Ln(ri) COLCAP 1 0,263899222
(2) Ln(ri) HelmBank (P) 0,263899222 1
Tabla 3 Matriz de Correlación
Con estos datos y usando la ecuación 10 se puede calcular el omega óptimo así:
0,0001 3,1245E 05
0,649190231
0,000095 0,0001 2 3,1245E 05
De el anterior resultado, podemos concluir que 65% y que 1
35%, lo que quiere decir esto es que un 65% del capital será invertido en el activo uno
y el otro 35% en el activo dos, que para este ejemplo son, el Índice ColCap y la acción
del HelmBank (P) respectiva mente.
Luego la varianza del portafolio optimo , de la ecuación 13 será:
7,3E 05
Y la medida de riesgo, la volatilidad del portafolio óptima de la ecuación 17 será:
7,3E 05 8,5E-03

7. Por último, rentabilidad media del portafolio óptimo , en la ecuación 16 será:
0,000473
Análisis
Observe que la solución de la solución de Marcowitz pretende disminuir, la desviación
estándar de la cartera total o portafolio, para esto se busco la combinación adecuada
de capital a invertir en los diferentes activos, es a esto lo que Marcowitz llama
“Portafolio Optimo” , . Ahora, las desviaciones típicas deben cumplir que
. Entonces si un portafolio es optimo, por la solución de Marcowitz se cumple
que .
8,5E 03 0,009737 0,012202
Veamos cuanto se reduce la medida de riesgo (desviación estándar):
0,009737 8,5E 03
0,125476086 13%
8,5E 03
Recuerde que: “a mayor riesgo, mayor rentabilidad”, las soluciones de Markowitz lo
que pretenden es reducir el riesgo. Ahora si se invirtiera todo el capital en el activo
uno (índice ColCap), se obtendría una rentabilidad esperada de 0,00085, lo que a
simple vista es mucho mayor que la rentabilidad esperada obtenida con el Portafolio
Optimo que es de 0,000473.
Veamos en cuanto se reduce la media de la rentabilidad:
0,00085 0,000473
0,445144 45%
0,00085
Lo que quiere decir que as imple vista estamos sacrificando un 45% de rentabilidad por
una reducción en el riesgo de un 13%, sin embargo de acuerdo con Markowitz, la
solución es coherente, porque este es el máximo nivel de rentabilidad que puede
alcanzar a un menor riesgo.

8. Veamos esto de manera grafica
B
A
C
D
Análisis de la grafica
Desde Markowitz a la línea entre los puntos A y B se les llama “Frontera Eficiente”, por
tanto los portafolios ubicados sobre la frontera, son portafolios eficientes. Si miramos
el portafolio C ofrecería menos rentabilidad que el portafolio B, es decir ,
aunque ambos portafolios estarían expuestos al mismo nivel de riesgo (misma
volatilidad). Es por esta razón que solo se consideran los portafolios ubicados en la
parte superior de la frontera. Observe que en los portafolios obtenidos desde A hasta
B, a medida que aumenta la exposición al riesgo, aumenta la rentabilidad esperada y
viceversa.
El portafolio óptimo para este caso en particular es el portafolio A, que de acuerdo con
la solución tiene, 0,000473 de rendimiento medio y 8,5E 03 de volatilidad, esto se
puede apreciar de manera grafica, por que como vemos no existe ningún otro
portafolio que cumpla con estas condiciones.
Bibliografía
Prigent, J-L. (2007). Portfolio Optimization and Perfomance Analysis; Chapman &
‑
Hall/ CRC Financial Mathematics Series: ed 7, United states of America. ISBN‑13:
‑ ‑ ‑
978‑1‑58488‑578‑8 ‑