Este documento presenta un resumen de las matemáticas financieras. Cubre temas como el valor del dinero en el tiempo, tasas de interés, anualidades, gradientes, valor presente neto, tasa interna de retorno y relación beneficio-costo para la evaluación financiera de proyectos.

1. MATEMÁTICAS FINANCIERAS Profesor: Juan Bernardo Jaramillo J. Escuela de Ingeniería de Antioquia 2009

2. BIBLIOGRAFIA INGENIERIA ECONOMICA. Baca Currea, Guillermo. INGENIERIA ECONOMICA. Tarquin Antony. EVALUACION FINANCIERA DE PROYECTOS DE INVERSION. Infante, Arturo. FINANZAS PRACTICAS PARA PAISES EN DESARROLLO. Gutiérrez Luis Fernando.

3. CONTENIDO 1. El valor del dinero en el tiempo y las tasas de interés 2. Anualidades 3. Gradientes 4. Amortización 5. Capitalización 6. Valor Presente Neto (VPN) 7. Valor Anual Uniforme Equivalente (VAUE) 8. Tasa Interna de Retorno (TIR) 9. Relación Beneficio Costo (B/C) 10. Construcción del flujo de fondos 11. Evaluación Financiera del Riesgo 12. Fuentes de Financiación y Costo del Capital

4. 1. VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO Y TASAS DE INTERÉS VALOR DEL DINERO A TRAVES DEL TIEMPO “ No es lo mismo tener hoy $100,000 que tener $100,000 dentro de un año”. El dinero cambia de valor a través del tiempo. Inflación – Costo de Oportunidad Capítulo 1 – Valor del dinero en el tiempo y tasas de Interés

5. INTERES (I) : Suma de dinero que se paga por el uso del dinero prestado. TASA DE INTERES (i): % que se paga por el “alquiler” del dinero. En otras palabras cantidad de dinero a reconocer como interés por cada $100 pesos prestados. La tasa de interes normalmente se expresa en términos anuales. TIEMPO (n): Duración de la inversión. CAPITAL INICIAL (P): Cantidad de dinero que se invierte (Principal, Valor Actual, Valor inicial o Valor Presente) Definiciones Capítulo 1 – Valor del dinero en el tiempo y tasas de Interés

6. Flujo de caja Tiempo Fecha 1 Fecha 3 Fecha 2 Ingresos (+) Egresos (-) Capítulo 1 – Valor del dinero en el tiempo y tasas de Interés

7. EN EL INTERES SIMPLE NO SE GENERAN INTERESES SOBRE LOS INTERESES. LOS INTERESES SON PAGADOS CADA VEZ QUE SE LIQUIDAN. NO HAY CAPITALIZACION DE INTERESES BANCARIO: Tiempo = dias reales / 360 COMERCIAL: Tiempo = dias (meses 30 dias) / 360 RACIONAL: Tiempo = dias reales / 365 (ó 366) Interés Simple Capítulo 1 – Valor del dinero en el tiempo y tasas de Interés

8. LOS INTERESES CADA VEZ QUE SE LIQUIDAN SE ACUMULAN AL CAPITAL PARA FORMAR UN NUEVO CAPITAL DENOMINADO MONTO Y SOBRE ESTE MONTO SE VUELVEN A LIQUIDAR INTERESES. Interés Compuesto Capítulo 1 – Valor del dinero en el tiempo y tasas de Interés

9. i c : tasa efectiva de interés por subperíodo i: tasa efectiva de interés por período c: Número de subperíodos TASA DE INTERES POR PERIODO vs TASA DE INTERES POR SUBPERIODO 0 1 2 3 4 5 c -1 c i c P F F = P (1+i) 1 F = P (1+i c ) c Igualando: i = (1+i c ) c - 1 Capítulo 1 – Valor del dinero en el tiempo y tasas de Interés

10. TASA EFECTIVA (i): Es la tasa del período (mensual, trimestral, semestral, anual, etc.). Lo normal: anual (Superbancaria). TASA NOMINAL DEL PERIODO (r): Se define como la tasa efectiva del subperíodo multiplicada por el número de subperíodos (c). Esta tasa debe expresar cuántas capitalizaciones de intereses se van a dar en el período. r = i c x c ; i c = r/c Por lo tanto tenemos que: i = (1+i c ) c - 1 = (1+ r/c) c -1 TASA EFECTIVA vs TASA NOMINAL Capítulo 1 – Valor del dinero en el tiempo y tasas de Interés

11. Se trata de una tasa efectiva cuando el período del pago de los intereses coincide con el subperíodo de capitalización de los mismos TASA EFECTIVA vs TASA NOMINAL (Cont.) Capítulo 1 – Valor del dinero en el tiempo y tasas de Interés

12. En este caso el número de períodos de capitalización de intereses se incrementa (c tiende a infinito). Del cálculo diferencial: Lim (1+1/h) h = e = 2.71828+ h   Si en la ecuación i = (1+ r/c) c –1, consideramos que c   , tenemos: Lim (1+r/c) c -1 c   Si hacemos 1/h = r/c, y c = h r , tenemos que i = e r -1 CAPITALIZACION CONTINUA Capítulo 1 – Valor del dinero en el tiempo y tasas de Interés

13. Capitalización de intereses al principio del período con base en el saldo al principio del mismo período. DESFASE DE UN PERIODO EN LA LIQUIDACION DE LOS INTERESES (la tasa debe ajustarse). Si conocemos una tasa de interés por adelantado, estamos interesados en calcular la tasa efectiva equivalente. Tenemos dos casos: Cuando la tasa de interés se expresa por período y los intereses se capitalizan por adelantado en ese mismo período. Cuando la tasa de interés se expresa por período y la capitalización de intereses anticipados es por subperíodo. TASA ANTICIPADA vs TASA VENCIDA Capítulo 1 – Valor del dinero en el tiempo y tasas de Interés

14. r a : tasa de interés por período con cobro anticipado de intereses por período. i: tasa efectiva de interés por período (vencida) TASA POR PERÍODO E INTERESES POR ADELANTADO EN ESE PERÍODO 0 1 P – r a P P P = P – r a P F = P Esto implica que: P = (P – r a P) (1+i), Y simplificando obtenemos: Capítulo 1 – Valor del dinero en el tiempo y tasas de Interés

15. r ac : tasa efectiva de interés nominal por subperíodo con descuento de intereses por subperíodo (anticipados) r ac = r a / c i: tasa efectiva de interés por período (vencida) Si entonces = Adicionalmente sabemos que i = (1+i c ) c – 1, por lo que haciendo los respectivos reemplazos llegamos a: TASA POR PERÍODO E INTERESES POR ADELANTADO POR SUBPERÍODO          c r a c r a 1 Capítulo 1 – Valor del dinero en el tiempo y tasas de Interés a a r r i   1 ac ac c r r i   1

16. DEVALUACION: Pérdida del valor de una moneda frente a otra, generalmente el dólar. INFLACION: Fenómeno económico en el cual se presenta un aumento generalizado de precios. Fenómeno interno de los países. EN PRINCIPIO, LA INFLACION Y LA DEVALUACION SON FENOMENOS INDEPENDIENTES. INFLACION Y DEVALUACIÓN Capítulo 1 – Valor del dinero en el tiempo y tasas de Interés

17. Supongamos que se compran dólares y se abre una cuenta corriente en el exterior, donde reconocen una tasa de interés en dólares. El peso se devalúa frente al dólar ¿Cuál será el rendimiento de la inversión EN PESOS después de un tiempo cuando el capital en dólares se cambie de nuevo a pesos? i dev : tasa devaluación Para un período supongamos: i us : tasa de interés en dólares i: tasa efectiva de interés TASA DE INTERES EN LA COMPRA DE DOLARES Capítulo 1 – Valor del dinero en el tiempo y tasas de Interés

18. TASA DE INTERES EN LA COMPRA DE DOLARES (Cont.) Tenemos el rendimiento final en pesos y en dólares: P (1+i) pesos = [ P/K] USD (1+i us ), Pero: 1 USD = K (1+i dev ) pesos , entonces: P (1+i) pesos = [ P/K] USD (1+i us ) * K (1+i dev ) pesos (1+i) = (1+i us )(1+i dev ) i = i us + i dev + i us * i dev Capítulo 1 – Valor del dinero en el tiempo y tasas de Interés Período 0 Período 1 1 USD = K pesos 1 USD = K (1+i dev ) pesos P pesos P (1+i) pesos P/K USD [ P/K] USD (1+i us )

19. i CM : tasa efectiva de corrección monetaria por período i UVR : tasa de interés en UVR. i: tasa efectiva de interés La UVR se puede asimilar a otra moneda (por ejemplo dólares), por lo que por analogía con el caso anterior se llega a: i = i UVR + i CM + i UVR * i CM TASA DE INTERES DEL SISTEMA DE VALOR CONSTANTE (UVR) Capítulo 1 – Valor del dinero en el tiempo y tasas de Interés

20. i INF : tasa de inflación por período i d : tasa dura de interés (sin inflación) i: tasa efectiva de interés Por analogía con los casos anteriores: i = i d + i INF + i d * i INF TASA DURA vs TASA CORRIENTE Capítulo 1 – Valor del dinero en el tiempo y tasas de Interés

21. DEPÓSITOS A TERMINO FIJO TASAS COMBINADAS RENTABILIDAD DE ACTIVOS FINANCIEROS ACEPTACIONES ECUACIONES DE VALOR Capítulo 1 – Valor del dinero en el tiempo y tasas de Interés

22. 2. ANUALIDADES Serie de pagos con las siguientes características: Todos los pagos son de igual valor Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo. A todos los pagos se aplica la misma tasa de interés. El número de pagos es igual al número de períodos. Capítulo 2- Anualidades 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 0 No es anualidad 3 pagos – 2 períodos Anualidad vencida Anualidad anticipada

23. Fórmulas de anualidades ANUALIDADES VENCIDAS Valor final: (F/A,n,i%) = Valor actual: (P/A,n,i%) = ANUALIDADES ANTICIPADAS Valor final: (F/ Ä,n,i%) = (F/A,n,i%) (1+i) = Valor actual: (P/ Ä,n,i%) = (P/A,n,i%) (1+i) = Capítulo 2- Anualidades

24. A P 0 1 2 3 n-1 l n A P 0 1 2 3 n-1 A 0 1 2 3 n-1 l n = + Otro enfoque de las anualidades anticipadas Anualidad diferida A P 0 = l l l l n-1 n 1 2 i A P i 0 l l l l n-1 n 1 2 i 1. Se halla P i en el período cero (0) de la anualidad. 2. Se trae P i desde i hasta cero (0). Capítulo 2- Anualidades

25. Cuando existen muchos pagos (infinito). VP = Lim A [1 - [(1+i) -n ] / i = A / i n   ANUALIDADES PERPETUAS Y GENERALES ANUALIDAD PERPETUA ANUALIDAD GENERAL Si el período de interés no coincide con el período de pago Calcular los pagos equivalentes que deben hacerse en concordancia con el período de interés Usar tasas equivalentes (*) Capítulo 2- Anualidades

26. 3. GRADIENTES Serie de pagos con las siguientes características: Cumple con una ley de formación Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo. A todos los pagos se aplica la misma tasa de interés. El número de pagos es igual al número de períodos. De acuerdo con la ley de formación hay dos principales tipos de gradientes: - Gradiente aritmético (Ley de formación lineal) - Gradiente geométrico Las anualidades son un caso particular de los gradientes en el cual el crecimiento es cero, lo que hace que todos los pagos sean de igual valor. Capítulo 3 - Gradientes

27. Gradiente aritmético Capítulo 3 - Gradientes A 1 0 1 2 3 n-1 l n A 2 A 3 A k A n-1 A n Dados: Préstamo = P Tasa de interés = i Plazo = n Gradiente = g k ¿A k y S k ? A k ? A 1 = A 1 A 2 = A 1 + g A 3 = A 2 + g = A 1 + 2g A k = A 1 + (k-1).g GRADIENTE ARITMETICO INFINITO : P=A 1 /i + g/i 2

28. Gradiente geométrico Capítulo 3 - Gradientes A 1 0 1 2 3 n-1 l n A 2 A 3 A k A n-1 A n Dados: Préstamo = P Tasa de interés = i Plazo = n Inc. % cuotas = i g k ¿A k y S k ? A k ? A 1 = A 1 A 2 = A 1 + A 1 i g = A 1 (1+ i g ) A 3 = A 2 + A 2 i g = A 2 (1+ i g ) = A 1 (1+ i g ) 2 A k = A 1 (1+ i g ) k-1 (i  i g ) ; (i = i g ) GRADIENTE INFINITO : P=A1/ (i– ig) para ig < i. Cuando ig  i, P = 

29. Gradiente escalonado Es una serie de pagos que permanecen constantes durante cierto tiempo, pero crecen o decrecen periódicamente. Normalmente se hacen 2 gráficos: 1) Gradiente escalonado: se colocan los pagos en la misma forma en que van a ser pagados. 2) Gradiente simple: se coloca el valor final de cada una se las series de pagos iguales. Capítulo 3 - Gradientes

30. 4. AMORTIZACIÓN Abono de capital periódico que se va haciendo para cancelar un préstamo. Amortización con cuotas uniformes Amortización con cuotas uniformes y cuotas extras pactadas Amortización con cuotas uniformes y cuotas extras no pactadas Amortización con período de gracia Amortización constante a capital Amortización en valor constante Capítulo 4 - Amortización

31. 5. CAPITALIZACIÓN CAPITALIZACION DIFERIDA: Es la capitalización que tiene uno o varios períodos en los cuales no se efectúan depósitos, pero el capital ahorrado si gana intereses. CAPITALIZACIÓN CON CUOTAS EXTRAS PACTADAS FONDOS DE AMORTIZACIÓN: Fondo donde se hacen depósitos periódicos que van ganando intereses. Objetivo: Reunir un capital para una fecha específica. COSTO PERIODICO DE UNA DEUDA: Cuando el fondo está destinado a cancelar una deuda y los depósitos en el fondo son uniformes, entonces se denomina costo periódico a la cantidad que debemos disponer en cada período para pagar los intereses de la deuda y hacer el depósito correspondiente en el fondo. Capítulo 5 - Capitalización

32. 6. VALOR PRESENTE NETO Método más empleado para evaluar proyectos de inversión. Se le conoce también como FLUJO DE CAJA DESCONTADO Este método pone en dinero de hoy tanto los ingresos futuros como los egresos futuros, lo cual facilita la decisión. VPN =  VPN (ingresos) -  VPN (egresos) De acuerdo con lo anterior el VPN puede ser Mayor, Menor o Igual a cero. CLAVE: TASA DE DESCUENTO PARA TRAER A VPN LOS FLUJOS DE CAJA Si: VPN > 0 Rentabilidad > tasa de descuento. El negocio es bueno VPN = 0 Rentabilidad = tasa de descuento. Tasa de descuento = TIR. Indiferencia. VPN < 0 Rentabilidad < tasa de descuento. El negocio debe rechazarse. Capítulo 6 - VPN

33. Comparación de alternativas de Inversión ALTERNATIVAS CON VIDAS ÚTILES IGUALES O MUTUAMENTE EXCLUYENTES. En alternativas de Inversión, se debe seleccionar la de Mayor VPN. Si se trata de un programa de reducción de costos, se selecciona la de menor VPN, ya que en este caso lo normal es omitir el signo negativo de los costos para facilitar el trabajo. ALTERNATIVAS CON VIDAS UTILES DIFERENTES. En este caso se deben ajustar los flujos de caja de los proyectos para que todos tengan la misma duración y sean comparables. Se pueden aplicar dos metodologías: Horizonte común de planeación Mínimo Común Múltiple de las duraciones de los proyectos. ALTERNATIVAS CON VIDA ÚTIL INFINITA. Normalmente para proyectos con vida útil esperada mayor de 40 años. Capítulo 6 - VPN

34. 7. VALOR ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE Consiste en reducir todos los ingresos y egresos a una serie uniforme equivalente de pagos. De esta forma, los Ingresos netos (VAUE) o los costos (CAUE) durante un año o período de una alternativa se comparan con los de otra alternativa durante un año o período. Este método no exige tomar tiempos iguales como en el caso del VPN sino que únicamente se comparan los costos o ingresos netos que se hayan causado durante un año. Análogamente con el VPN. Podemos afirmar que si: VAUE > 0 Rentabilidad > tasa de descuento. El negocio es bueno VAUE = 0 Rentabilidad = tasa de descuento. Tasa de descuento = TIR. Indiferencia. VAUE < 0 Rentabilidad < tasa de descuento. El negocio debe rechazarse. Capítulo 7 - VAUE

35. 8. TASA INTERNA DE RETORNO (TIR) Mide la rentabilidad de una inversión. Tasa que hace el VPN = 0 Los resultados del cálculo de la TIR deben ser consistentes con el VPN. El procedimiento de cálculo varía dependiendo del número de alternativas a analizar y de la forma como se encuentren distribuidos los ingresos y los egresos a lo largo del horizonte de planeación. Capítulo 8 - TIR

36. Ley de los signos de Descartes. Cuando ocurren varios ingresos y varios egresos pero en forma entreverada, entonces puede ocurrir que existan varias tasas. En este caso el problema es puramente matemático y la regla de los signos de Descartes permite obtener el número máximo de raices positivas de la forma: A o X n + A 1 X n-1 + A 2 X n-3 + ... + A n = 0 (Análogo al polinomio para el cálculo del VPN de un flujo de caja) en donde n es un número entero y A 0 , A 1 ,A 2 , A 3 , ..., A n son constantes. El número máximo de raices positivas corresponde al número de cambios de signo de los coeficientes A 0 , A 1 ,A 2 , A 3 , ..., A n , siempre y cuando el polinomio esté ordenado en orden creciente o decreciente de potencias. Capítulo 8 - TIR

37. Relación entre VPN y TIR TIR Capítulo 8 - TIR

38. TIR CON REINVERSIÓN (TIR + R): Tasa que genera un capital en donde una parte está a la tasa TIR y otra a la tasa R. Si: Tasa Inversionista < TI R ----> TIR > TIR + R Tasa Inversionista > TIR ----> TIR < TIR + R Múltiples Tasas de Retorno Capítulo 8 - TIR

39. Características de la TIR Propia del proyecto. No depende del dueño del proyecto Mide la rentabilidad de los dineros que permanecen invertidos en el proyecto. No toma en cuenta lo que pueda ocurrir con los dineros devueltos por el proyecto Características de la TIR + R No es exclusiva del proyecto, pues incluye un factor externo que es la tasa del inversionista. Mide la rentabilidad promedio ponderada entre los dineros que continúan invertidos en el proyecto y los dineros que van saliendo del mismo, los cuales deben ir quedando reinvertidos a la tasa del inversionista. Puede variar de un inversionista a otro debido a que varía la tasa del inversionista TIR vs TIR + R Capítulo 8 - TIR

40. Para calcular la TIR es necesario que existan ingresos y egresos. Hay ocasiones que debe tomarse una decisión entre proyectos mutuamente excluyentes en los cuales no se conocen los ingresos o si se llegan a conocer son mínimos, entonces se justifica decidir por una alternativa de inversión mayor si el exceso de inversión comparado con la disminución de gastos produce una rentabilidad superior a la tasa del inversionista. El cálculo debe hacerse siguiendo los siguientes pasos: Coloque las alternativas en orden ascendente de inversión Saque las diferencias de flujo de caja entre las diferencias menor y la siguiente. Calcule la TIR de las difernecias Compare la TIR con otra tasa de referencia (Inversionista). Si la TIR es mayor se escoge la alternativa más costosa y en caso contrario la más barata. La alternativa seleccionada en el paso anterior se compara con la siguiente alternativa. Se repiten todos los pasos anteriores hasta que todas las alternativas hayan sido consideradas. TIR INCREMENTAL Capítulo 8 - TIR

41. 9. RELACION B/C Y PERIODO DE RECUPERACION RELACION BENEFICIO COSTO (B/C) RELACION B/C = VPN (INGRESOS) / VPN (EGRESOS) Si B/C < 1 Ingresos < Egresos. Rechazo el proyecto Si B/C = 1 Ingresos = Egresos. Indiferencia Si B/C > 1 Ingresos > Egresos. Acepto el proyecto Metodología muy usada por la Banca Multilateral. Es común hablar de BENEFICIO NETO, que es lo mismo que BENEFICIOS DEL PROYECTO+ EXTERNALIDADES - DESBENEFICIOS. Capítulo 9 - B/C - PR

42. PERIODO DE RECUPERACION DE LA INVERSIÓN (PR) No es tan exacto como VPN o TIR. Es el tiempo que debe utilizarse para recuperar la inversión, sin tener en cuenta los intereses; por ejemplo, si se invierten $600,000 en un proyecto que produce $200,000 anuales durante 8 años, el período de recuperación de la inversión es de 3 años. Capítulo 9 - B/C - PR

43. El flujo de fondos de un proyecto de inversión está compuesto por el flujo de inversiones (preoperativo) y por el flujo de producción u operación. 10. CONSTRUCCIÓN DEL FLUJO DE FONDOS Capítulo 10 –Construcción del flujo

44. Construcción del flujo Para la elaboración del flujo de fondos del proyecto deben proyectarse los estados financieros del proyecto (Balance General, Estados de Pérdidas y Ganancias y Estado de Origen y aplicación de fondos). El flujo de fondos proyectado del proyecto de inversión se obtendrá bien sea a partir del Estado de Pérdidas y Ganancias o a partir del Estado de Origen y Aplicación de Fondos. En el presente curso solo estudiaremos el primer caso. Capítulo 10 –Construcción del flujo

45. Construcción del flujo (cont.) Los estados financieros pueden proyectarse en moneda constante o corriente. Para efectos de este curso, por limitaciones de tiempo, trabajaremos con flujos de fondos en MONEDA CORRIENTE. Lo anterior implica que debemos investigar en fuentes confiables (Planeación Nacional, Fenalco, ANIF, Banco de la República) los estimativos que se tienen a corto, mediano y largo plazo para varialbes macroeconómicas tales como la inflación, la devaluación, la tasa de cambio y las tasas de interés, para determinar los ingresos y egresos del proyecto en moneda corriente de cada momento futuro. Los estados financieros que se proyecten así, deben igualmente considerar ajustes por inflación. Capítulo 10 –Construcción del flujo

46. Flujo de Fondos en la etapa preoperativa o de Inversiones Capítulo 10 –Construcción del flujo

47. Capítulo 10 –Construcción del flujo

48. Capítulo 10 –Construcción del flujo

49. 11. RIESGO E INCERTIDUMBRE El comportamiento de los flujos de caja es incierto, debido a que no se pueden predecir con absoluta certeza todos los hechos que pueden pasar y que influyen en los flujos. No se sabe qué pasará exactamente. Al no tener certeza, se entrará a situación de riesgo o incertidumbre Capítulo 11 - Riesgo e Incertidumbre

50. Riesgo e incertidumbre (cont.) Riesgo: Cuando hay una situación en la cual hay más de un posible resultado y la probabilidad asociada a cada resultado, se conoce o se puede estimar. Incertidumbre: Cuando esas probabilidades no se conocen o no se pueden estimar. Capítulo 11 - Riesgo e Incertidumbre

51. Riesgo en los proyectos El riesgo de un proyecto, se define como la variabilidad de los flujos de caja reales respecto a los estimados. El riesgo define una situación donde la información es de naturaleza aleatoria, en que se asocia una estrategia a un conjunto de resultados posibles, cada uno de los cuales tiene asignada una probabilidad. Capítulo 11 - Riesgo e Incertidumbre

52. Incertidumbre en los proyectos Cuando hay incertidumbre, no se conocen los posibles resultados y por tanto, las probabilidades de ocurrencia no son cuantificables. La incertidumbre puede ser consecuencia de: Información incompleta Exceso de datos Información inexacta, sesgada o falsa Elementos de incertidumbre: Calidad de materias primas, tecnologías de punta, variación de la demanda, comportamiento del mercado, etc. Capítulo 11 - Riesgo e Incertidumbre

53. Proceso para tratar el riesgo Hacer una lista de todos los posibles riesgos de un proyecto en sus diferentes etapas. Calificar los riesgos específicos de cada proyecto. Seleccionar los riesgos relevantes para la toma de decisiones (definir escala). Clasificar los riesgos: Los que se transfieren (p. ej. ventas a futuro) Los que se compensan (pago de seguros, pólizas, etc.) Los que se asumen (de mercado, de tarifas, de tecnología, etc.) Una inversión razonablemente segura, con una rentabilidad media puede ser, en muchos casos, preferible a una inversión más riesgosa, con un rendimiento esperado mayor Capítulo 11 - Riesgo e Incertidumbre

54. Medición del riesgo (1/4) La falta de certeza de las estimaciones del comportamiento futuro, se pueden asociar normalmente a una distribución de los flujos de caja generados por el proyecto. Se asigna un mayor riesgo, a aquellos proyectos que tengan mayor dispersión. Existen formas de calcular la dispersión, así: Desviación estándar (no se debe utilizar “sola”) Coeficiente de variación Capítulo 11 - Riesgo e Incertidumbre

55. La desviación estándar se calcula como:  =(  (A x -A) 2 *P x ) 1/2 Donde: A x es el flujo de caja de la probabilidad x P x es su probabilidad A es el valor esperado de la distribución y se calcula como: A=  (A x *P x ) Medición del riesgo (2/4) Si A corresponde al valor esperado del VPN, ante igualdad en el riesgo, se elige el proyecto que exhiba el mayor valor esperado. Capítulo 11 - Riesgo e Incertidumbre

56. Ejemplo: Una inversión produce un retorno en un tiempo dado. Ese retorno tiene 3 posibles resultados, como se muestra en la tabla: Medición del riesgo (3/4) X Probabilidad Px Flujo de Caja Ax 1 2 3 0,30 0,40 0,30 2.000 2.500 3.000 Calcular el valor medio del flujo de caja y su desviación estándar Capítulo 11 - Riesgo e Incertidumbre

57. El resultado es que el valor medio es 2.500 y la desviación estándar es de 387,3. Cualquier otra inversión con desviación estándar mayor tiene más riesgo debido a que tiene más dispersión entre sus resultados. La medición se complementa con el coeficiente de variación ya que dos alternativas con valores esperados diferentes, pueden tener igual desviación estándar. El coeficiente se calcula como:  =  /A Medición del riesgo (4/4) A mayor coeficiente de variación, mayor riesgo Capítulo 11 - Riesgo e Incertidumbre

58. Algunos métodos para tratar el riesgo Existen diferentes métodos, aunque cada uno conduce a resultados diferentes. La selección del método depende de la información disponible, la naturaleza del proyecto, etc. Algunos métodos son: Criterio subjetivo de expertos, no incorpora específicamente el riesgo. Se ha intentado mejorar este método incorporando el valor medio y la desviación estándar del VAN. Métodos estadísticos (distribución de probabilidades de los flujos futuros de fondos) Método del ajuste a la tasa de descuento Método del árbol de decisión Capítulo 11 - Riesgo e Incertidumbre

59. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA DE LOS FLUJOS DE CAJA EN EL TIEMPO FLUJOS DE CAJA INDEPENDIENTES: VE (VAN) =  A t * (1+i) -t - I o i: Tasa de descuento libre de riesgo  = {   t 2 * (1+i) -2t } 1/2 que implica que:  = {  (  (A x -A) 2 * P x ) t ) * (1+i) -2t } 1/2 Es posible calcular la probabilidad de que el VAN sea mayor o menor a cierto monto de referencia así: z = ( X - VE (VAN) ) /  z: variable estandarizada o el número de desv. estandar de la media. Capítulo 11 - Riesgo e Incertidumbre

60. Para determinar la probabilidad de que el VAN del proyecto sea menor o igual a x, se acude a una tabla de distribución normal que muestra el área de la distribución normal que es x desviaciones estándar hacia la izquierda o la derecha de la media. Capítulo 11 - Riesgo e Incertidumbre

61. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA DE LOS FLUJOS DE CAJA EN EL TIEMPO FLUJOS DE CAJA DEPENDIENTES: Existe dependencia entre los resultados de dos períodos. Es importante saber si existe o no dependencia entre los flujos, por las consecuencias que tienen sobre el análisis del riesgo. Si son dependientes, es decir están correlacionados a través del tiempo, la desviación estándar de la distribución de probabilidades de los valores actuales netos probables es mayor que si fueran independientes. A mayor correlación, mayor dispersión de la distribución de probabilidades. Los flujos de fondos estarán perfectamente correlacionados si la desviación del flujo de fondos de un período alrededor de la media de la distribución de probabilidades en ese período implica que en todos los períodos futuros el flujo de fondos se desviará exactamente de igual manera. Capítulo 11 - Riesgo e Incertidumbre

62. METODO DEL AJUSTE DE LA TASA DE DESCUENTO A mayor riesgo, mayor debe ser la tasa para castigar la rentabildad del proyecto. De esta manera, un proyecto rentable evaluado a la tasa libre de riesgo puede resultar no rentable, si se descuenta a una tasa ajustada. El principal problema consiste en determinar la tasa de descuento apropiada para cada proyecto. CURVA DE INDIFERENCIA DEL MERCADO VAN =  BNt * (1+f) -t - I o donde: f = i + p i: tasa libre de riesgo p: prima por riesgo (subjetiva: preferencias) Capítulo 11 - Riesgo e Incertidumbre

63. METODO DEL ARBOL DE DECISIÓN Técnica gráfica que permite representar y analizar una serie de decisiones futuras de carácter secuencial a través del tiempo. Cada decisión se representa gráficamente con un cuadrado con un número dispuesto en una bifurcación del árbol de decisión. Cada rama que se origina en ese punto representa una alternativa de acción. Además de los puntos de decisión, en el árbol se expresan mediante círculos los sucesos aleatorios que influyen en los resultados. A cada rama que parte de estos sucesos se le asigna una probabilidad de ocurrencia. De esta forma, el árbol representa todas las combinaciones posibles de decisiones y sucesos, permitiendo estimar un valor esperado del resultado final, como un valor actual neto, utilidad u otro. Capítulo 11 - Riesgo e Incertidumbre

64. METODO DEL ARBOL DE DECISIÓN EJEMPLO: Se estudia el lanzamiento de un nuevo producto. Las posibilidades en estudio son introducirlo en nivel nacional o nivel regional. Si se decide lanzar el producto regionalmente, es posible hacerlo posteriormente a nivel nacional, si el resultado regional así lo recomendara. En la figura, se representa un diagrama de un árbol de decisión para este caso, en el cual cada ramificación conduce a un cierto VAN diferente. SUCESO VE(VAN) SUCESO VE(VAN) C 1900 A 1730 D 1650 B 1620 Se opta por una introducción inicial en el nivel regional que luego se ampliaría a nivel nacional, ya que es la que maximiza el VAN Capítulo 11 - Riesgo e Incertidumbre

65. METODO DEL ARBOL DE DECISIÓN Capítulo 11 - Riesgo e Incertidumbre