La relación entre la música y las matemáticas ha sido estudiada desde la antigüedad. Pitágoras descubrió que existía una relación numérica entre los tonos musicales. Las escalas musicales se construyen según distancias entre tonos y semitonos que pueden expresarse matemáticamente. Hoy en día, la teoría de ondas permite analizar matemáticamente la percepción de los sonidos musicales.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR
PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
COLEGIO UNIVERSITARIO
FRANCISCO DE MIRANDA
PARTICIPANTES: MARÍA PÉREZ
ARQUIMEDES
BARRETO
CARACAS, ABRIL 2014

2. LA TEORÍA DE
PITÁGORAS
MATEMÁTICA EN LA
MÚSICA
La primera propiedad excepcional que tienen en común la música y la matemática es
que ambas son lenguajes universales.
La segunda es que la teoría física de las ondas juega un papel fundamental en nuestra
percepción de las ondas, y esta teoría puede ser analizada matemáticamente.
Y la tercera, es que según Bertrand Russel: el matemático puro como el músico, es el
creador libre de su mundo de belleza ordenada.
Fue Pitágoras quien descubrió que existía una relación numérica entre tonos que
sonaban “armónicos” y fue el primero en darse cuenta de que la música, siendo uno de
los medios esenciales de comunicación y placer, podía ser medida por medio de
razones de enteros.

3. 4/40 EN LA
MÚSICA
El «la 440» es el nombre que se le da coloquialmente al sonido que produce una vibración a
440 HZ y sirve como estándar de referencia para afinar la altura musical.
El «la 440» es la nota musical la o A que se encuentra cinco teclas blancas a la derecha del do
central del piano.
De acuerdo con los diferentes índices acústicos, el «la 440» recibe diferentes nombres:
la4 (la-cuatro) según la notación internacional, que se utiliza en todos los países de América,
Asia y Europa (excepto Bélgica y Francia); la3 (la-tres) según la notación franco-beiga, que se
utiliza en Bélgica, Francia y algunas regiones de España).
En 1936, una conferencia internacional recomendó que el la que se encuentra a la derecha del
do central del piano se afinara a 440 Hz. Este patrón fue tomado por la Organización
Internacional de Normalización (ISO en sus siglas en inglés) en 1955 (y reafirmado por ellos en
1975) como ISO 16.
Desde entonces ha servido como la frecuencia de sonido de referencia para la afinación de
todos los instrumentos musicales (piano, violines, etc.).

4. RELACIÓN DE LAS ESCALAS MUSICALES CON LAS
MATEMÁTICAS
Escala musical occidental (actual)
Se llama escala musical a la sucesión de
sonidos constitutivos de un sistema (tonalidad)
que se suceden regularmente en sentido
ascendente o descendente, y todos ellos con
relación a una nota que da nombre a la escala,
o tónica.
La sucesión de sonidos en una escala es por
movimiento conjunto, y se hace según las
leyes de la tonalidad.
La construcción de la escala musical
La escala diatónica es la formación de una escala
a partir de las distancias de tono y semitono. Son
las más conocidas y usadas y la mayoría de ellas
están formadas por siete notas, pero las hay
también de seis u ocho.
Ordenadas las notas así: do, re, mi, fa, sol, la, si, y
al añadirle un octavo sonido, de nuevo do, hemos
formado una escala diatónica:

5. ESCALA PENTATÓNICA
Los músicos antiguos, que no tenían el concepto de escala natural, intuitivamente
ajustaban (afinaban) las cuerdas (o en el caso de instrumentos de viento, adecuaban
su longitud y grosor, distancia entre agujeros, etc.) de manera que produzcan un
sonido lo más agradable posible para el oído humano.
Dentro de una octava, la combinación de sonidos más pura es la quinta, es decir, el
intervalo musical entre dos notas cuyas frecuencias se relacionan como 3:2. (En
nuestro ejemplo, estas notas son A y E.) Al escoger como la base la nota A4, iremos
dos quintas arriba y abajo, tenemos la siguiente serie de 5 sonidos:
195.5556, 293.3333, 440, 660, 990
ESCALA DIATÓNICA
Ya sabemos que dos notas de una quinta producen juntas un sonido muy agradable.
Dentro de la quinta, se encuentra un sonido más formando un triplete en que las
frecuencias se relacionan como 4:5:6. Este triplete se llama armonía. La escala natural
tiene una sola combinación armónica, las notas A-C-E. Al descubrir la armonía, los
músicos antiguos empezaron a afinar sus instrumentos de manera que toda la escala
musical fue compuesta de armonías continuas.

6. Frecuencia Razón nota anterior
Tónica F Do
Segunda 9/8·f 9/8=1,125 Re
Tercera 81/64·f 9/8=1,125 Mi
Cuarta 4/3·f 256/243=1,053 Fa
Quinta 3/2·f 9/8=1,125 Sol
Sexta 27/16·f 9/8=1,125 La
Séptima 243/128·f 9/8=1,125 Si
Octava 2f 256/243=1,053 D
Estas son las 7 notas de la escala diatónica (que se corresponden a las teclas blancas del
piano), la octava es la misma que la anterior una octava más alta. De cualquier forma, en una
octava se utilizan 12 notas.
Las 5 notas restantes se simbolizan añadiendo a la derecha el carácter # (sostenido) o b (bemol).

7. JUEGO DE DADOS DE MOZART-EMPLEADO ACTUALMENTE EN LA
ENSEÑANZA MUSICAL
Una de las relaciones matemático-musicales de Mozart más llamativas e interesantes para la docencia es el “ Juego
de Dados ”. Consiste en la composición de un minueto a partir de la asignación de números de dados a compases. Las
posibilidades combinatorias de este juego son muy numerosas (más de 45,949 billones, 11 elevado a 16), no es
necesario tener conocimientos musicales, tan solo entender las normas de la combinación y azar del juego. ¡Siempre
suena bien!.
EJEMPLO ACTUAL DE LA MÁTEMÁTICA EN LA MÚSICA
Los sonidos musicales son producidos por algunos procesos físicos que tienen un
carácter periódico - una cuerda vibrando, el aire en el interior de un instrumento de
viento, etc. Aun siendo muy diferentes entre ellos, estos procesos pueden ser
descritos con un mismo modelo matemático. La característica más fundamental de
esos sonidos es su "altura" o frecuencia.
Es común escuchar que “hay Matemática en la Música porque cuando se abre una
partitura ésta está llena de numeritos”, es decir, de los números del compás y las
digitaciones. Obviamente esta observación es muy simple. Se dice que hay
Matemática en la Música, que la Música y la Matemática están muy relacionadas.

8. Bartok escribió que seguía a la naturaleza en la composición y que
fue guiado indirectamente por fenómenos naturales para descubrir
estas regularidades. Constantemente aumentaba su colección de
plantas, insectos y especímenes minerales. El girasol era su planta
favorita y se ponía muy feliz cuando encontraba piñas de abeto en
su escritorio. Consideraba que la música folclórica también era un
fenómeno de la naturaleza y que sus formaciones se desarrollaban
tan espontáneamente como otros organismos vivientes: las flores,
los animales, etc. Por esto su música le recuerda al oyente de
escenas naturales. Por ejemplo, el girasol tiene 34 pétalos y sus
espirales tienen los valores 21, 34, 55, 89,144.
En cuanto a la Forma y la Armonía, Bartok utiliza el principio de la razón áurea.
Por ejemplo, en el primer movimiento de la Sonata para dos pianos y
percusiones, que consta de 443 compases, si se multiplica este número por .
618... se obtiene el compás 274, el cual será el centro de gravedad del
movimiento. Así la re exposición o recapitulación ocurre en el compás 274.
Análogamente sucede con el primer movimiento de Contrastes, el cual consta
de 93 compases, número que si se multiplica por 618... da el compás 57 justo
donde comienza la re exposición.
EL APORTE DE BÉLA
BARTOK

9. Elaborado por: Arquímedes Barreto
María Pérez
Sección: A05-402

10. Elaborado por: Arquímedes Barreto
María Pérez
Sección: A05-402