Programa de refuerzo del IES Juan García Valdemora de matemáticas orientadas a las enseñanzas aplicadas a 4º ESO

1. Departamento de Matemáticas
PROGRAMA DE REFUERZO
ASIGNATURA: MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS
ENSEÑANZAS APLICADAS 4º de ESO
Para poder superar la prueba extraordinaria de septiembre y así
aprobar la asignatura, el alumno/a deberá adquirir los contenidos
básicos de la misma.
Para poder adquirir dichos contenidos se recomienda la realización de
las actividades enumeradas a continuación.

2. ARITMÉTICA
1. Calcula y simplifica:
a) 












9
5
11
14
3
:
7
1
6
5
3
1
9
28
:
18
14
2
(Solución: – 1/2)
b) 


























23
2
3
4
2
10
9
:
15
6
12
9
25
1
4
2
7
(Solución: – 17/8)
c) 














4
3
5
7
13
10
9
4
:
12
10
4
1
19
5
(Solución: 1/8)
d) 

















 1
18
7
:
10
7
:
10
7
5
2
3
4
3
81
13
2
(Solución: 7/16)
e) 



























81
64
3
4
9
3
1
1
2
1
7
5
:
7
4
4
23
(Solución: – 7/30)
2. Simplifica (utilizando las propiedades de las potencias) las siguientes expresiones y después calcula:
a) 




64
437
152527
541018
b) 




34
34
1253210
820
c) 




32
646
219
3637
Soluciones: a) 15 b) 1/20 c) 1/21
3. Reduce a una única potencia de exponente natural y después calcula:
a) 






3
4
4
8
20
27
2
6
3
3
:)3(
b) 


































 
332
179
8
7
3
:
3
7
:)7(3
3
1
c)
   
 





216125
)2(:)2(:)5()4(
3537
5131818
d)        223266
)10:10(5:50
e) 
































 102228
10
3
3
2
:
3
2
:
5
1
f) 










































 8232315
9
7
3
1
:
3
1
3
7
Soluciones: a) 3 –2
= 1/9 b) – (7/3) 2
= – 49/9 c) 10 – 3
= 1/1000 d) 10 – 2
= 1/100
e) (10/3)2
= 100/9 f) – 9/7
4. Resuelve los siguientes problemas:
a) Lola se ha comprado un ordenador y lo está pagando a plazos. En el primer plazo pagó los tres octavos
del total, en el segundo los siete décimos del resto y todavía le quedan por pagar 300 €. ¿Cuál es el
precio del ordenador?(Solución: 1600 €)
b) Un camión sale de viaje temprano. Cubre por la mañana las dos terceras partes de su recorrido y por la
tarde tres octavos del resto. Aún le faltan 130 kilómetros por recorrer. ¿Cuál es la longitud total del
trayecto? ¿Qué distancia recorre por la mañana? ¿Y por la tarde?
(Solución: La longitud total es 624 km / Por la mañana recorre 416 km y por la tarde 78 km)

3. 5. Escribe en forma de intervalo, en forma algebraica y representa en la recta real los siguientes conjuntos
numéricos:
a) Números reales menores que 3
b) Números reales comprendidos entre – 5 y 4 ambos incluidos
c) Números reales comprendidos entre –2 y 7 incluido 7
d) Números reales mayores o iguales que 6
6. Representa los conjuntos A y B en la recta real y halla BA  y BA  dando el resultado en forma de
intervalo
a)  5, A y  3,9B b)  4,1A y  12,4B
7. Representa los conjuntos A y B en la recta real y halla BA  y BA  dando el resultado en forma de
intervalo
c)  10,2A y   ,7B d) }5/{  xxA y }85/{  xxB
RADICALES
8. Calcula y simplifica todo lo posible:
a) 32598128372  b)  50
5
7
12
2
5
27
3
1
32
4
5
c) 2002128
4
5
243
9
5
329  d)
  

8
28
3 4
3
46
e)  3 23 2
:168 aaaa
f) 
 3
22
2
g)
  

4 3 2
3
46 4
xx
xx
h)
 


2
3
33
2
82
ab
baab
i) 



  33
228:128 j)    4 3 23
46 4
:416 aaaa
Soluciones
a) 29 b) 3622  c) 3526  d) 2 e) 3
8 a
f) 3/1
2 g) x h) a2 i)
2
1
2 1

j) 6
24a

4. PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES
9. Para construir 4 jardines se tardan 30 días, trabajando en ellos 120 jardineros. ¿Cuántos jardineros se
necesitarán para construir 5 jardines empleando 45 días? (Solución: 100 jardineros)
10. Un depósito puede suministrar 12 litros diarios de agua para 25 familias durante 160 días. ¿Cuántos litros
podrán suministrar a 40 familias durante 200 días? (Solución: 6 litros)
11. Tres cosechadoras en tres horas han segado un campo de 27 hectáreas. ¿Cuántas cosechadoras serán
necesarias para segar en dos horas 36 hectáreas? (Solución: 6 cosechadoras)
12. Al sacar 2000 litros de agua de un depósito, que estaba lleno, el nivel ha bajado un 8%. ¿Cuál es la
capacidad del depósito? (Solución: 25000 litros)
13. Responde a las siguientes cuestiones:
a) El precio del kilogramo de tomates ha disminuido un 5% respecto al año pasado. Si el precio del
kilogramo de tomates el año pasado era 1,80 €, ¿cuál es su precio actualmente? (Solución: 1,71 €)
b) El nivel de agua de un embalse ha aumentado un 8 % respecto al mes anterior. Si en la actualidad hay
459 hm3
de agua, ¿cuáles eran las reservas del embalse el mes anterior? (Solución: 425 hm3
)
c) Por una camisa que valía 30 €, Luis ha pagado en las rebajas 25,20 €. ¿Qué porcentaje de descuento le
han aplicado? (Solución: 16%)
14. Iván recibe un sueldo de 80 € semanales por ayudar en el negocio familiar en los ratos libres. A partir del
mes que viene, su padre le subirá su asignación en un 20%, lo que le permitirá apuntarse a clases de guitarra
que le cuestan 50 € mensuales. Calcula cuánto dinero le quedará disponible cada semana. (Solución: 83,50 €)
15. El precio de una camiseta primero aumentó un 6% y después disminuyó un 20%.
a) Calcula el índice de variación global y explica cuál ha sido la variación global o final del precio en %
b) Si actualmente la camiseta cuesta 16,96 €, ¿cuál era su precio inicial?
Solución: a) IVG = 0,848 ha bajado un 15,2 % b) 20 €
16. Se ha analizado la variación de la audiencia de un programa de televisión a lo largo de las tres últimas
semanas. La primera semana la cuota de pantalla bajó un 12 %, la segunda semana bajó un 5 % y en la
tercera semana sufrió nuevamente una bajada del 15 %. Si inicialmente el número de espectadores era de
2.000.000, ¿cuántos espectadores vieron el programa la última semana? ¿Cuál ha sido la variación
porcentual global en la audiencia del programa? (Solución: 1.421.200 € / disminución del 28,94 %)

5. POLINOMIOS
17. Opera y reduce:
a)  )23()5()13()12(3 222
xxxxxxx
b)  )12()23()34(2)3()52( 2222
xxxxxxx
c)  )34()43(4)22()3( 232
xxxxxxx
d)  )42()13()52()3()32()7( 222
xxxxxxx
18. Desarrolla las siguientes identidades notables:
a)  2
)27( x
b)  2
)31( x
c)  22
)45( x
d)  24
)27( a
e)  22
)43( xx
f)  23
)32( xx
g)  22
)25( aa
h)  25
)6( xx
i) 






2
2
4
2
3
x
j) 






2
4
3
1
3 x
k)  )12()12( xx
l)  )54()54( 33
xx
m)  )3()3( 22
xyxy
n)  )23()23( 33
xx
o)  )54()54( 5353
yabyab
19. Opera y reduce (utiliza las identidades notables cuando sea posible):
a)  232422
)23()73()252()35()35( xxxxxx
b)  222323
)3(2)53()53(3)12( xxxxxx
c)  )42()23()32()12()12( 2222
xxxxxx
d)  222223
)3(5)34()34()51( xxxxxx
20. Efectúa las siguientes divisiones:
a)     2:13523 32456
xxxxxxx
b)     123:5107113 2345
xxxxxx
c)     2:24242 456
xxxxx
d)     1:423 2346
xxxxxx
21. Factoriza los siguientes polinomios e indica las raíces en cada caso:
a) 153218 24
 xxx
b) xxxxx 3992 2345

c) 12175 234
 xxxx
d) 18215 234
 xxxx
e) xxxx 122332 234

f) 2345
1538236 xxxx 
g) 24503510 234
 xxxx
h) 61112126 2345
 xxxxx
i) xxxx 101862 234

j) xxxx 61132 234


6. SOLUCIONES POLINOMIOS
Ejercicio 17
a) 11363 234
 xxxx
b) 1712456 234
 xxxx
c) 6826 23
 xxx
d) 1019310 23
 xxx
Ejercicio 18
a) 42849 2
 xx
b) 2
961 xx 
c) 164025 24
 xx
d) 84
42849 aa 
e) 234
16249 xxx 
f) 642
9124 xxx 
g) 432
42025 aaa 
h) 1062
1236 xxx 
i) 1612
4
9 24
 xx
j) 84
9
1
29 xx 
k) 14 2
x
l) 2516 6
x
m) 42
9xy 
n) 49 6
x
o) 1062
2516 yba 
Ejercicio 19
a) 273563113 2346
 xxxxx
b) 26181294 2346
 xxxxx
c) 58443 234
 xxxx
d) 155539525 3456
 xxxx
Ejercicio 20
a) 533Cociente 23
 xxx 11144Resto 2
 xx
b) 13Cociente 23
 xx 48Resto  x
c) 128422Cociente 235
 xxxx 26Resto 
d) 342Cociente 345
 xxxx 3Resto
Ejercicio 21
a) )5()1()3( 2
 xxx }5(doble),1,3{Raíces 
b) )2/1()3()1(2 2
 xxxx }2/1,3(doble),1,0{Raíces 
c) 2
)1()3()4(  xxx }(doble)1,3,4{Raíces 
d) )1()3()2( 2
 xxx }1,(doble)3,2{Raíces 
e) )2/1()3()4(2  xxxx }2/1,3,4,0{Raíces 
f) )3/1()2/3()5(6 2
 xxxx }3/1,2/3,5(doble)0{Raíces 
g) )4()3()2()1(  xxxx }4,3,2,1{Raíces 
h) )1()3()2()1( 2
 xxxx }3,2,1{Raíces 
i) )5()1(2 2
 xxx }5(doble),1,0{Raíces 
j) )2/1)(3)(2(2  xxxx }2/1,3,2,0{Raíces 

7. ECUACIONES
22. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:
a) xxxxxx  )124()4(3)52(2 (No tiene solución)
b) 22
)2()12()12()76()23(  xxxxxx (Solución: x = 9)
c)
6
12
3
5
3
42
18
32 



 xxx
(Solución: x = 3/2)
d)
2
1
4
4
93
3
32 



 xxx
(Solución: x = 39/5)
e) 












 
4
2
3
4
3
5
6
21
2
32
9
1
x
xx
(Solución: x = 3/2)
f)
5
1
525
82
5
)1( 22



 xxx
(Solución: x = -1)
23. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:
1) 0822
 xx
2) 062
 xx
3) 01572 2
 xx
4) 0232 2
 xx
5) 0486 2
 xx
6) 03 2
 xx
7) 074 2
 xx
8) 028 2
 xx
9) 0502 2
x
10) 094 2
x
11) 0205 2
x
12) 04812 2
 x
Solución
1) 42  xx 2) 23  xx 3) 2/35  xx 4) No solución
5) 80  xx 6) 3/10  xx 7) 7/40  xx 8) 4/10  xx
9) 55  xx 10) 2/32/3  xx 11) No solución 12) 2/12/1  xx
24. Resuelve las siguientes ecuaciones: (Recuerda que para resolver este tipo de ecuaciones igualamos cada uno
de los factores a cero y resolvemos la ecuación resultante)
a) 0)5()182()3250()812( 2222
 xxxxxx
b) 0)248()321()246()65( 2222
 xxxxxx
c) 0)455()37()82()156( 2222
 xxxxxx
d) 0)918()3114()64(3 2223
 xxxxxx
Soluciones
a) 55/45/43/2(doble)0  xxxxx
b) 337/10225/61  xxxxxxxx
c) 337/303/12/1  xxxxxx
d) 222/34/130  xxxxxx
25. Expresa en forma general y resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) 2
)2(3)2)(4(1  xxxx (Soluciones: x = 3 x = – 1/2)
b)
23
1
2
2
4
22
xxxx




 (Soluciones: x = 2 x = – 4/3)
c)
9
4
3
13
9
)21( 2



 xx
(Soluciones: x = 0 x = 13/4)
d)
4
)2(
36
43
3
)12)(12( 22




 xxxxx
(Soluciones: x = 0 x = 13/4)

8. 26. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:
a) 222
5)91(1 xxx 
b) 13)32(6 4222
 xxx
c) xxxxx 71)21)(21()1(7 22

d) 4
910)23()14(2 xxxx 
e) 2)12()23(7 222
 xxx
f)
6
38
9
)23(
2
)12)(12(
9
22 222






xxxx
a) 3/3x b) No tiene solución c) 2/12/1  xx d) 3/13/1  xx
g) 2/12/1  xx h) 11  xx
SISTEMAS DE ECUACIONES
27. Resuelve por sustitución y clasifica según su solución:
a)





1032
14
yx
yx
(Sistema compatible determinado con solución x = – 1/2 y = 3)
b)





525
132
yx
yx
(Sistema compatible determinado con solución x = – 1 y = 0)
28. Resuelve por igualación y clasifica según su solución:
a)





1723
232
yx
yx
(Sistema compatible determinado con solución x = 9 y = – 5)
b)





274
143
yx
yx
(Sistema compatible determinado con solución x = 1/5 y = 2/5)
29. Resuelve por reducción y clasifica según su solución:
a)





472
145
yx
yx
(Sistema compatible determinado con solución x = 1/3 y = – 2/3)
b)





792
165
yx
yx
(Sistema compatible determinado con solución x = – 1 y = 1)
30. Expresa en forma general y después resuelve por sustitución, igualación y reducción respectivamente:
a)









7
4
3
2
1
4)1(4)(2
yx
yyx
b)












5
5
)5(2
3
3
11)2(3
4
4
yx
y
x
c)












9
5
32
2
)6(3
40
3
53
)4(2
yx
y
x
Solución
a) 59  yx b) 512  yx c) 216  yx

9. 31. Expresa en forma general y después resuelve por el método que consideres más adecuado:
a)





)2(552
6)1(3)(2
xyx
xyx
(Sistema compatible determinado con solución x = 1 y = – 2)
b)








4
13
1
2
32
)(211
yx
yxy
(Sistema compatible determinado con solución x = 1/2 y = – 1)
c)
















23
23
2
)(2
15
42
3
2
y
x
yx
y
x
yx
(Sistema compatible determinado con solución x = 0 y = – 1/2)
PROBLEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
32. La edad de un hijo más la mitad de la edad un padre suman 31 años. Dentro de seis años la edad del padre
será el triple de la del hijo. ¿Cuál es la edad actual de cada uno?
(Solución: el padre tiene 42 años y el hijo 10 años)
33. La edad de un hijo más la tercera parte de la edad del padre suman 22 años. Dentro de 6 años la edad del
padre excederá en 10 años al doble de la edad del hijo en ese momento. ¿Cuál es la edad actual de cada
uno? (Solución: el padre tiene 36 años y el hijo 10 años)
34. Si Luis le da 5 € a Laura entonces ambos tendrán la misma cantidad de dinero. Si Laura le da 10 € a Luis
entonces él tendrá el doble de lo que le queda a ella. ¿Cuánto dinero tiene cada uno? (Solución: Laura tiene
40 € y Luis 50 €)
35. En un almacén hay 45 litros de aceite de oliva distribuidos en dos bidones. Si se traspasan 6 litros del
primer bidón al segundo bidón, entonces éste último tendrá el doble de litros de aceite que el primero.
¿Cuántos litros de aceite hay en cada bidón? (Solución: el primer bidón tiene 21 litros y el segundo 24 litros)
36. La base de un rectángulo excede en 5 cm al doble de la altura y su área es de 52 m2
. ¿Cuáles son sus
dimensiones? (Solución: La altura mide 4 cm y la base 13 cm)
37. En un triángulo rectángulo un cateto mide 5 cm y la hipotenusa 1 cm más que el otro cateto. Halla el
perímetro y el área del triángulo.
(Solución: Los lados del triángulo miden 5cm, 12 cm y 13 cm. Su perímetro es 30 cm y su área 30 cm2
)
38. Halla un número sabiendo que la diferencia entre la mitad del número siguiente y la quinta parte del número
anterior es 4. (Solución: el número es 11)
39. Tengo 15 monedas, unas de 5 céntimos y otras de 10 céntimos. ¿Cuántas monedas hay de cada clase si en
total suman 1,40 €? (Solución: 2 monedas de 5 céntimos y 13 monedas de 10 céntimos)
40. En un almacén hay 34 bidones de agua de dos capacidades distintas: unos de 20 litros y otros de 15 litros. Si
en total hay almacenados 580 litros de agua, ¿cuántos bidones hay de cada clase? (Solución:14 bidones de 20
litros y 20 bidones de 15 litros)
41. A un aceitero le encargan 600 litros de aceite a 3,80 €/litro. Para ello debe mezclar aceite de 4,20 €/litro con
aceite de 3 €/litro. ¿Qué cantidad mezclará de cada tipo de aceite? (Solución:400 litros del primer aceite (4,20
€/l) y 200 litros del segundo aceite (3 €/l))

10. FUNCIONES
42. Estudia las características de las siguientes funciones: dominio, recorrido, continuidad (dominio de
continuidad y discontinuidades), puntos de corte con los ejes, signo, intervalos de crecimiento,
decrecimiento y constantes, máximos y mínimos absolutos y relativos.
A)
B)
43. Clasifica las siguientes funciones. Determina para cada una ellas el valor de la pendiente y la ordenada en el
origen explicando su significado. Represéntalas gráficamente.
a) 2
3
4
 xy b) 32  xy c)
2
3
2 xy  d) xy
2
5
3 
e) xy 2 f) xy
2
3
 g) 2y h) 5y
44. Representa las siguientes parábolas (5 pasos):
a) 542
 xxy b) 232
 xxy c) xxy 42


11. 45. Responde a las siguientes cuestiones:
a) Representa la parábola 642 2
 xxy
b) Representa la función









2si6
21si642
14si2
)( 2
x
xxx
xx
xf . Estudia sus características.
46. Representa gráficamente las siguientes funciones definas a trozos. Indica dominio, recorrido, continuidad
(dominio de continuidad y clasificación de discontinuidades), puntos de corte con los ejes, intervalos de
crecimiento, decrecimiento y constantes, máximos y mínimos relativos y absolutos.
a)









95si6
53si3
3si2
)(
2
xx
x
xxx
xf b)









93si122
31si3
1si56
)(
2
xx
xx
xxx
xf
47. Determina la ecuación punto-pendiente, explícita e implícita de la recta que:
a) tiene pendiente 3 y pasa por el punto )8,2(P
b) su ordenada en el origen es
5
3
 y pasa por el punto )1,2( P
c) pasa por los puntos )5,3(P y )6,6(Q .
d) pasa por los puntos )2,3( P y )4,6(Q .
e) pasa por los puntos )4,1( P y )3,2( Q .
f) pasa por el punto )1,2( P y es paralela a la recta 012  yx
g) pasa por el punto )1,3( P y es paralela a la recta 0932  yx
48. Estas son las tarifas de dos empresas de alquiler de taxis:
Empresa A: 4 euros por la bajada de bandera y 0,8 euros por km recorrido
Empresa B: 1 euro por km recorrido
a) Encuentra, para cada empresa, la expresión analítica de la función que relaciona el desplazamiento (km)
realizado por uno de sus taxi y su coste (euros)”. Indica cuál es la variable independiente y cuál la
variable dependiente. Indica también el dominio y el recorrido teniendo en cuenta que en ambas
compañías la distancia máxima que admiten en sus desplazamientos es de 100 km.
b) ¿Cuántos km se han de recorrer para que el coste sea el mismo en ambas compañías? ¿Cuál será dicho
coste?
c) Representa gráficamente ambas funciones en un mismo sistema de ejes cartesianos. Analiza cuál de las
dos compañías es más ventajosa según el desplazamiento realizado.

12. ESTADÍSTICA
49. Las calificaciones obtenidas en la primera evaluación los 40 alumnos de 4º de ESO de un instituto de
Enseñanza Secundaria han sido las siguientes:
3 2 5 7 7 8 7 8 9 8 6 7 6 9 7 7 7 6 4 10
6 10 5 6 3 5 7 7 5 5 7 9 6 8 8 6 4 7 4 4
a) ¿Qué variable estamos estudiando y de qué tipo es?
b) Construye la tabla de frecuencias y porcentajes y responde, razonadamente, a las siguientes cuestiones:
 ¿Cuál es la frecuencia absoluta acumulada de 4 y qué significado tiene?
 ¿Cuántos alumnos sacaron como máximo un 7?
 ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvieron más de un 8?
 ¿Cuántos alumnos aprobaron?
c) Representa los datos en un gráfico adecuado (indica su nombre) y construye el polígono de frecuencias
correspondiente.
d) Calcula la media, la moda y la mediana explicando su significado
e) Calcula los cuartiles explicando su significado.
f) Calcula el rango, la desviación típica y el coeficiente de variación.
g) Para este mismo grupo de alumnos hemos estudiado su peso obteniendo de media kg5,63x y de
desviación típica kg3,4 . ¿Respecto a qué variables es más homogéneo el grupo, la nota obtenida en
la prueba de Matemáticas o el peso?
GEOMETRÍA
50. La diagonal de un rectángulo mide 25 m y el lado menor 1,5 dam. Calcula su perímetro y su área.
(Solución: Perímetro = 70 m / Área = 300 m2
)
51. El perímetro de un triángulo isósceles es 64 cm y su lado desigual mide 1,4 dm. Halla la longitud de la
altura sobre el lado desigual y su área. (Solución: Altura sobre el lado desigual = 24 cm / Área = 168 cm2
)
52. La diagonal mayor de un rombo mide 3 dam y su perímetro es 68 m. Halla la longitud de la diagonal menor
y el área del rombo.(Solución: Diagonal menor = 16 m / Área = 240 m2
)
53. Las bases de un trapecio rectángulo miden 1,1 m y 30 cm respectivamente, y el lado oblicuo 89 cm. Halla
su perímetro y su área. (Solución: Perímetro = 268 cm / Área = 2730 cm2
)
54. El lado de un hexágono regular mide 8 cm. Halla su perímetro y su área.
(Solución: Perímetro = 48 cm / Área = 166,28 cm2
)
55. Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras planas:
a) b)
Solución:
a) Perímetro = 28,46 hm / Área = 37,13 hm2
b) Perímetro = 168,84 cm / Área = 228,13 cm2