El documento describe diferentes tipos de progresiones matemáticas y cómo se presentan en la naturaleza, las artes y las ciencias. Explica que la progresión geométrica se ve con frecuencia en la economía, el crecimiento de organismos y otros sistemas que crecen de manera exponencial. También discute diferentes formas de representar datos, como escalas lineales, logarítmicas y semilogarítmicas, y cómo cada una puede ser más útil para ciertos propósitos.

1. Agustín Rela Conexiones entre la física, la matemática y otras ciencias.

2. Progresiones geométricas en artes y ciencias Ejemplo 1 (Gracias a Beatriz Martinelli)

3. Progresión aritmética: Progresión geométrica: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... 1, 10, 100, 1000, 10.000, ... Casos de progresiones

4. Aritmética

5. Geométrica

6. Reglas Pim La regla aritmética, la más común de las escalas lineales 1 10 11 12 13 14 15 8 0 2 3 4 5 6 7 9

7. Escalas lineales o aritméticas, usadas en algunos instrumentos de medición 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

8. Amperímetro de corriente continua, de bobina móvil. Su escala es lineal o aritmética.

9. Limbos circulares con escalas lineales

10. La progresión geométrica aparece frecuentemente en la naturaleza y la sociedad.

11. Los préstamos a interés constante generan deudas que crecen geométricamente. Más grande el capital, más intereses crea.

12. El nautilo

13. Radiografía de un nautilo

14. Los septos de un nautilo crecen geométricamente con el tiempo: cuanto más grande es el molusco, con tanta mayor velocidad aumenta de tamaño.

15. Uno de los septos

16. En una escala lineal o aritmética, el crecimiento de los septos del nautilo se representa por una curva. Se puede distorsionar la escala para que la representación esté dada, en cambio, por una recta.

17. La representación en perspectiva cónica, central o fotográfica ofrece al ojo una experiencia mecánica similar a la que brindaría la realidad.

18. La Anunciación, de Guido di Pietro Da Mugello (Fra Angelico, 1400 –1455). Su representación en perspectiva utiliza la progresión geométrica.

21. Visión de una esquina a través de un vidrio plano transparente Vidrio Observador

22. Vidrio El ojo barre 90 grados cuando pasa de un punto de fuga al otro. Eso ocurre sólo desde cierta distancia del dibujo.

23. Calcado de una fila regular de objetos iguales sobre un vidrio (en azul en la figura). Elijamos O de modo que el dibujo del objeto más cercano duplique en tamaño el del mas lejano. O B C A D

24. Vidrio El dibujo del poste más cercano tiene un tamaño doble del que corresponde al más alejado. (En verde, las diagonales de una supuesta fila de baldosas cuadradas, a 45 grados de la fila de postes.)

25. Trece tubos de la misma medida que los dibujos anteriores suenan como la escala musical dodecafónica del Clave bien temperado , de J. S. Bach. En rojo, la nota do .

26. Tubos Tapones optativos Dividen por dos la frecuencia

27. El antiguo siku, antara o zampoña andina, es conocido universalmente

28. Siku de tubos ajustables para afinar el tono. Los de cañas tapadas abajo se pueden afinar con arena.

29. Longitudes de las cañas en progresión alineal.

32. Sikus, y más sikus.

33. Por su estructura de cavidades resonantes, el oído percibe con sensaciones parecidas dos sonidos cuyas frecuencias sean una el doble de la otra. La forma de la cóclea, o caracol,se parece a la del nautilo

34. Oído externo e interno.

35. Pronunciemos la palabra fatídica...

36. La que produce temor, alarma y espanto...

37. ¡Logaritmo!

38. ¡Aghhh...!

39. El logaritmo, en algunos casos, es sólo la cantidad de ceros: log(1.000.000) = 6 log(100) = 2 log(10) = 1 log(1) = 0 log(0,1) = –1 log(0,001) = –3

40. Escala doble logarítmica, de una década por una década.

41. Otra escala doble logarítmica, de 4 décadas por 5 .

42. Escala semilogarítmica, compuesta por un eje aritmético y otro geométrico (o uno lineal y el otro logarítmico).

43. Animal g ml O 2 / (h.g) Musaraña 4,8 7,40 Ratón de campo 9.0 2,50 Ratón canguro 5,2 1,80 Ratón 25 1,65 Ardilla terrestre 96 1,03 Rata 290 0,87 Gato 2500 0,68 Perro 11.700 0,33 Cordero 42.700 0,22 Humano 70.000 0,21 Caballo 650.000 0,11 Elefante 3.800.000 0,07 Ballena azul 20.000.000 0,03 Metabolismo de mamíferos

44. Representación lineal o aritmética Masa (g) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Tasa metabólica, ml O 2 / (h.g) 10 7 8  10 6 4  10 6 6  10 6 0 2  10 6

45. Representación logarítmica, o geométrica ml O 2 / (h.g) Masa (g) 1 10 100 1000 10.000 0,01 1 3 100.000 1.000.000 10.000.000 0,1 1 10 Tasa metabólica

46. En síntesis, la progresión geométrica se presenta en las artes, las ciencias, la economía y la naturaleza, y eso facilita el estudio.

47. ¿Hay representaciones verdaderas y falsas? ¿Son algunas más útiles que otras?

48. Perspectiva engañosa. La parte de arriba parece un pórtico rectangular: la de abajo, tres columnas redondas.

49. Sólo dos de estos cuerpos son iguales. Para fines industriales y prácticos la proyección ortogonal, o rectangular, es más útil que la perspectiva.

50. Vistas ortogonales de cualquiera de los cuerpos 2 ó 4.

51. La vista en corte de la derecha, en proyección rectangular, es poco fotográfica, pero real.

52. Otra perspectiva falsa. Objeto imposible, diseñado por Mauritis Cornelis Escher (1898 –1972).

53. Figura geométrica fiel, pero engañosa. Las líneas son rectas.

54. Parecen espirales, pero son círculos.

55. Este lugar, visto desde un satélite.

56. Más detalle.

57. El Compumap , menos fiel, pero más útil.

58. Dibujos en tiza en la calle, por Julian Beever

59. La ilusión que genera la perspectiva es formidable. Pero sólo hay un punto desde el que se la puede apreciar.

60. Aproximación Ejemplo 2

61. 0 °C 100 °C 20 °C

62. 0 °C 100 °C 20 °C

63. 0 100 T (°C)

64. 0 T (°C) 100

67. Alinealidad Ejemplo 3

69. 400 / 1 = 400 800 / 4 = 200 1600 / 16 = 100

70. Palanca Ejemplo 4

71. La gran utilidad que tiene la matemática para la física es una muestra de qué poco es lo que sabemos del mundo. Bertrand Rusell

75. a a b b 2 a + 2 b a + b a + b a + b b a

76. Peso a Peso b Longitud b Longitud a

78. 221.Ago.200722:50H Fin