Bessel

1. Funciones de Bessel - F´ormulas
Agust´ın Nieto
Departamento de F´ısica
Universidad de Oviedo
25 de mayo de 2009
Resumen
Se dan f´ormulas relacionadas con las funciones de Bessel de primera, segunda y tercera especie,
las funciones de Bessel modificadas y las funciones esf´ericas de Bessel.
1. Funciones de Bessel de 1a
especie
1.1. Ecuaci´on de Bessel
La ecuaci´on de Bessel de orden ν es
z2
u (z) + z u (z) + (z2
− ν2
) u(z) = 0 . (1)
Cuando ν no es un n´umero entero, la soluci´on general es de la forma
u(z) = A Jν(z) + B J−ν(z) , (2)
donde A y B constantes y
Jν(z) =
∞
j=0
(−1)j
Γ(j + 1) Γ(j + ν + 1)
z
2
2j+ν
(3)
Si ν es un n´umero entero, v´ease la secci´on dedicada a las funciones de Neumann (funciones de Bessel de
2a
especie).
1.2. Propiedades
2 4 6 8
z
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
J0HzL
J1HzL
J2HzL
bessel.nb
1

2. Funciones de Bessel – A.Nieto 2
1.
J1/2(z) =
2
π z
sin z (4)
J−1/2(z) =
2
π z
cos z (5)
2. Cuando |z| → 0,
J0(z) ≈ 1 −
z
2
2
(6)
Jν(z) ≈
1
Γ(ν + 1)
z
2
ν
ν = 0 (7)
J0(z) ≈ −
z
2
(8)
Jν(z) ≈
1
2Γ(ν)
z
2
ν−1
ν = 0 (9)
3. Para las funciones de Bessel de orden entero n:
J−n(z) = (−1)n
Jn(z) (10)
Jn(−z) = (−1)n
Jn(z) (11)
4. Relaciones de recurrencia
Jν−1(z) + Jν+1(z) =
2ν
z
Jν(z) (12)
Jν−1(z) − Jν+1(z) = 2Jν(z) (13)
o, de forma equivalente,
Jν±1(z) =
ν
z
Jν(z) Jν(z) (14)
5. F´ormula wronskiana
Jν(z) J−ν(z) − Jν(z) J−ν(z) =
−2 sin(πν)
π z
(15)
6.
d
dz
zν
Jν(z) = zν
Jν−1(z) (16)
d
dz
z−ν
Jν(z) = −z−ν
Jν+1(z) (17)
7.
b
a
z Jν(kz)Jν(lz) dz =
1
k2 − l2
lz Jν(kz)Jν(lz) − kz Jν(lz)Jν(kz)
b
a
(18)
8.
z J2
ν (kz) dz =
1
2
z2
−
ν2
k2
J2
ν (kz) +
z2
2
Jν(kz)
2
(19)
9. La funci´on generatriz de las funci´ones de Bessel de 1a
especie es
g(z, t) ≡ exp
z
2
t −
1
t
=
+∞
n=−∞
Jn(z) tn
(20)

3. Funciones de Bessel – A.Nieto 3
10.
Jn(x + y) =
+∞
k=−∞
Jk(x) Jn−k(y) (21)
11.
eiz sin θ
=
+∞
n=−∞
Jn(z) einθ
(22)
o
cos(z sin θ) = J0(z) + 2
+∞
k=1
J2k(z) cos(2kθ) (23)
sin(z sin θ) = 2
+∞
k=0
J2k+1(z) sin [(2k + 1)θ] (24)
(25)
12. Representaci´on integral de Schl¨afli:
Jn(z) =
1
2πi C
e(z/2)(t−1/t)
tn+1
dt (26)
donde el contorno C es de la forma
C
t
En general
Jν(z) =
1
2πi C
e(z/2)(t−1/t)
tν+1
dt (27)
donde con el contorno C es de la forma
t
C

4. Funciones de Bessel – A.Nieto 4
Tambi´en
Jn(z) =
1
2π
π
−π
ei(z sin θ−nθ)
dθ (28)
Jn(z) =
1
π
π
0
cos(z sin θ − nθ) dθ (29)
1.3. Ortogonalidad de la funci´on de Bessel de 1a
especie
Denotemos como xνk el k-´esimo cero de la funci´on de Bessel Jν(x): Jν(xνk) = 0. Denotemos como
xνk el k-´esimo cero de la derivada de la funci´on de Bessel Jν(x): Jν(xνk) = 0.
Consideremos el intervalo 0 ≤ x ≤ a. Entonces, los conjuntos de funciones
Jν
xνk
a
x (30)
y
Jν
xνk
a
x (31)
son ortogonales con peso x en dicho intervalo:
a
0
x Jν
xνk
a
x Jν
xνl
a
x dx =
a2
2
Jν(xνk)
2
δkl (32)
a
0
x Jν
xνk
a
x Jν
xνl
a
x dx =
a2
2
1 −
ν2
(xνk)2
J2
ν (xνk) δkl (33)
2. Funciones de Bessel de 2a
especie: Funciones de Neumann
2.1. Definici´on
Nν(z) ≡



cos(νπ)Jν(z) − J−ν(z)
sin(νπ)
ν = 0, 1, 2, . . .
l´ım
s→ν
cos(sπ)Js(z) − J−s(z)
sin(sπ)
ν = 0, 1, 2, . . .
(34)
2.2. Ecuaci´on de Bessel de Orden Entero
La ecuaci´on de Bessel de orden entero n es
z2
u (z) + zu (z) + (z2
− n2
)u(z) = 0 . (35)
La soluci´on general es de la forma
u(z) = AJn(z) + BNn(z) , (36)
con A y B constantes.
2.3. Propiedades
1. Para ν = n, entero
Nn(z) =
1
π
∂Jν(z)
∂ν
− (−1)n ∂J−ν(z)
∂ν ν=n
(37)
2. Cuando |z| → 0,
N0(z) ≈
2
π
ln
z
2
+ γ (38)
Nν(z) ≈
−Γ(ν)
π
2
z
ν
ν > 0 (39)

5. Funciones de Bessel – A.Nieto 5
3. Para funciones de Bessel de orden entero n:
N−n(z) = (−1)n
Nn(z) (40)
Nn(−z) = (−1)n
Nn(z) (41)
4. Relaciones de recurrencia
Nν−1(z) + Nν+1(z) =
2ν
z
Nν(z) (42)
Nν−1(z) − Nν+1(z) = 2Nν(z) (43)
5. Desarrollos asint´oticos
Nν(z) ∼
2
πz
sen z − ν +
1
2
π
2
|z| → ∞ (44)
Nν(z) ∼ −
2
πν
ez
2ν
−ν
ν → ∞ (45)
6. Algunas f´ormulas wronskianas
Jν(z)Nν(z) − Jν(z)Nν(z) =
2
πz
(46)
Jν(z)Nν+1(z) − Jν+1(z)Nν(z) = −
2
πz
(47)
3. Funciones de Bessel de 3a
especie: Funciones de Hankel
3.1. Definiciones
H(1)
ν (z) ≡ Jν(z) + i Nν(z) (48)
H(2)
ν (z) ≡ Jν(z) − i Nν(z) (49)
3.2. Propiedades
1. Cuando |z| → 0,
H
(1)
0 (z) ≈ 1 +
2 i
π
ln
z
2
+ γ (50)
H(1)
ν (z) ≈
−i Γ(ν)
π
2
z
ν
ν > 0 (51)
H
(2)
0 (z) ≈ 1 −
2 i
π
ln
z
2
+ γ (52)
H(2)
ν (z) ≈
i Γ(ν)
π
2
z
ν
ν > 0 (53)
2. Para funciones de Bessel de orden entero n:
H
(1)
−n(z) = (−1)n
H(1)
n (z) (54)
H(1)
n (−z) = (−1)n
H(1)
n (z) (55)
y
H
(2)
−n(z) = (−1)n
H(2)
n (z) (56)
H(2)
n (−z) = (−1)n
H(2)
n (z) (57)

6. Funciones de Bessel – A.Nieto 6
3. Relaciones de recurrencia para H
(1)
ν y H
(2)
ν
Hν−1(z) + Hν+1(z) =
2ν
z
Hν(z) (58)
Hν−1(z) − Hν+1(z) = 2Hν(z) (59)
4. Desarrollos asint´oticos
H(1)
ν (z) ∼
2
πz
ei[z−(ν+1/2)π/2]
(60)
H(2)
ν (z) ∼
2
πz
e−i[z−(ν+1/2)π/2]
(61)
5. Algunas f´ormulas wronskianas
H(2)
ν H
(1)
ν+1 − H(1)
ν H
(2)
ν+1 =
4
iπz
(62)
Jν−1H(1)
ν − JνH
(1)
ν−1 =
2
iπz
(63)
JνH
(2)
ν−1 − Jν−1H(2)
ν =
2
iπz
(64)
4. Funciones de Bessel Modificadas
4.1. Definiciones
1. Para x ∈ R
Iν(x) ≡ Jν(ix) e−iνπ/2
(65)
Kν(x) ≡
iπ
2
H(1)
ν (ix) eiνπ/2
(66)
2. Para z ∈ C
a) Si −π < arg z < π/2,
Iν(z) ≡ Jν(zeiπ/2
) e−iνπ/2
(67)
Kν(z) ≡
iπ
2
H(1)
ν (zeiπ/2
) eiνπ/2
(68)
b) Si π/2 < arg z < π,
Iν(z) ≡ Jν(ze−iπ/2
) eiνπ/2
(69)
Kν(z) ≡
−iπ
2
H(2)
ν (ze−iπ/2
) e−iνπ/2
(70)
4.2. Ecuaci´on de Bessel Modificada
Las funciones de Bessel modificadas satisfacen la ecuaci´on de Bessel modificada:
z2
u (z) + zu (z) − (z2
+ ν2
)u(z) = 0 . (71)
La soluci´on general es de la forma
u(z) = AIν(z) + BKν(z) , (72)
con A y B constantes.

7. Funciones de Bessel – A.Nieto 7
4.3. Propiedades
1.
Iν(z) =
∞
j=0
1
Γ(j + 1)Γ(j + ν + 1)
z
2
2j+ν
(73)
Kν(z) =
π
2
I−ν(z) − Iν(z)
sen(νπ)
(74)
In(0) = δ0n (75)
2. Cuando |z| → 0,
I0(z) ≈ 1 +
z2
4
(76)
Iν(z) ≈
1
Γ(ν + 1)
z
2
ν
(77)
K0(z) ≈ −γ − ln
z
2
(78)
Kν(z) ≈
Γ(ν)
2
2
z
ν
ν > 0 (79)
3. Para funciones de Bessel de orden entero n:
I−n(z) = In(z) (80)
In(−z) = (−1)n
In(z) (81)
y
K−n(z) = Kn(z) (82)
Kn(−z) = (−1)n
Kn(z) (83)
4. Relaciones de recurrencia
a)
Iν−1(z) − Iν+1(z) =
2ν
z
Iν(z) (84)
Iν−1(z) + Iν+1(z) = 2Iν(z) (85)
b)
Kν−1(z) − Kν+1(z) = −
2ν
z
Kν(z) (86)
Kν−1(z) + Kν+1(z) = −2Kν(z) (87)
5. Desarrollos asint´oticos
Iν(z) ∼
1
2πz
ez
(88)
Kν(z) ∼
π
2z
e−z
(89)
6. F´ormula wronskiana
Iν(z)Kν(z) − Iν(z)Kν(z) =
−1
z
(90)

8. Funciones de Bessel – A.Nieto 8
5. Funciones Esf´ericas de Bessel
5.1. Definiciones
Denotemos mediante Fν(z) las funciones Jν(z), Nν(z), H
(1)
ν (z) y H
(2)
ν (z) y mediante fn(z) las funcio-
nes jn(z), nn(z), h
(1)
n (z) y h
(2)
n (z) respectivamente. Entonces, definimos las funciones esf´ericas de Bessel
como
fn(z) ≡
π
2z
Fn+1/2(z) , (91)
donde n ∈ Z.
5.2. Ecuaci´on Esf´erica de Bessel
Las funciones esf´ericas de Bessel satisfacen la ecuaci´on
z2
u (z) + 2zu (z) + [z2
− n(n + 1)]u(z) = 0 . (92)
La soluci´on general es de la forma
u(z) = A jn(z) + B nn(z) , (93)
donde A y B son constantes. La soluci´on tambi´en se puede escribir
u(z) = A h(1)
n (z) + B h(2)
n (z) . (94)
N´otese que j−n(z) no es una soluci´on de (??), sino de z2
u (z) + 2zu (z) + [z2
− n(n − 1)]u(z) = 0.
5.3. Propiedades
1.
nn(z) = (−1)n+1 π
2z
J−n−1/2(z) (95)
h(1)
n (z) = jn(z) + i nn(z) (96)
h(2)
n (z) = jn(z) − i nn(z) (97)
2. Desarrollos en serie
jn(z) = 2n
zn
∞
k=0
(−1)k
(k + n)!
k!(2k + 2n + 1)!
z2k
(98)
nn(z) =
(−1)n+1
2nzn+1
∞
k=0
(−1)k
(k − n)!
k!(2k − 2n)!
z2k
(99)
h(1)
n (z) = (−i)n+1 eiz
z
∞
k=0
ik
k!(2z)k
(n + k)!
(n − k)!
(100)
h(2)
n (z) = in+1 e−iz
z
∞
k=0
(−i)k
k!(2z)k
(n + k)!
(n − k)!
(101)

9. Funciones de Bessel – A.Nieto 9
3.
j0(z) =
sen z
z
(102)
j1(z) =
sen z
z2
−
cos z
z
(103)
j2(z) =
3
z3
−
1
z
sen z −
3
z2
cos z (104)
n0(z) = −
cos z
z
(105)
n1(z) = −
cos z
z2
−
sen z
z
(106)
n2(z) = −
3
z3
−
1
z
cos z −
3
z2
sen z (107)
h
(1)
0 (z) = −
i
z
eiz
(108)
h
(1)
1 (z) = eiz
−
1
z
−
i
z2
(109)
h
(1)
2 (z) = eiz i
z
−
3
z2
−
3i
x3
(110)
h
(2)
0 (z) =
i
z
e−iz
(111)
4. Relaciones de recurrencia
fn−1(z) + fn+1(z) =
2n + 1
z
fn(z) (112)
nfn−1(z) − (n + 1)fn+1(z) = (2n + 1)fn(z) (113)
5.
d
dz
zn+1
fn−1(z) = zn+1
fn−1(z) (114)
d
dz
z−n
fn(z) = −z−n
fn+1(z) (115)
6. Cuando |z| → 0,
jn(z) ≈
2n
n!
(2n + 1)!
zn
=
zn
(2n + 1)!!
(116)
nn(z) ≈ −
(2n)!
2nn!
z−n−1
= −(2n − 1)!! z−n−1
(117)
7. Desarrollos asint´oticos
jn(z) ∼
1
z
sen z −
π
2
n (118)
nn(z) ∼ −
1
z
cos z −
π
2
n (119)
h(1)
n (z) ∼ (−i)n+1 eiz
z
(120)
h(2)
n (z) ∼ in+1 e−iz
z
(121)
8. Algunas f´ormulas wronskianas
jn(z)nn(z) − jn(z)nn(z) =
1
z2
(122)
h(1)
n (z)h(2)
n (z) − h(1)
n (z)h(2)
n (z) =
−2i
z2
(123)

10. Funciones de Bessel – A.Nieto 10
5.4. Ortogonalidad de la funci´on esf´erica de Bessel
Denotemos como xnk el k-´esimo cero de la funci´on esf´erica de Bessel jn(x): jn(xnk) = 0. Denotemos
como xnk el k-´esimo cero de la derivada de la funci´on esf´erica de Bessel jn(x): jn(xnk) = 0. Los ceros de
las funciones de Bessel J y j se relacionan mediante la expresi´on
xnk = xn+1/2,k , (124)
donde xνk es el k-´esimo cero de la funci´on de Bessel Jν(x).
Consideremos el intervalo 0 ≤ x ≤ a. Entonces, los conjuntos de funciones
jn
xnk
a
x (125)
y
jn
xnk
a
x (126)
son ortogonales con peso x2
en dicho intervalo:
a
0
x2
jn
xnk
a
x jn
xnl
a
x dx =
a3
2
[jn(xnk)]2
δkl (127)
a
0
x2
jn
xnk
a
x jn
xnl
a
x dx =
a3
2
1 −
n(n + 1)
(xnk)2
j2
n(xnk)δkl (128)
Adem´as, las funciones esf´ericas de Bessel son ortogonales respecto de los ´ındices:
+∞
−∞
jn(x)jm(x)dx =
π
2n + 1
δnm (129)