1) El documento presenta información sobre la historia y conceptos básicos de las matrices, incluyendo diferentes tipos como matrices cuadradas, triangulares, diagonales y unidad. 2) Explica operaciones como suma, resta, multiplicación por escalares y producto de matrices. 3) Introduce el concepto de potenciación de matrices cuadradas y sus aplicaciones en ecuaciones diferenciales.

1. 1
Tema 1.-Tema 1.- MATRICESMATRICES
MATRICESMATRICES
PRODUCTO DE MATRICESPRODUCTO DE MATRICES
POTENCIAS NATURALES DEPOTENCIAS NATURALES DE
MATRICES CUADRADASMATRICES CUADRADAS

2. 2
Un poco de historiaUn poco de historia
Lord Cayley es uno de los fundadores de la teoría de las matrices,
aunque su amigo Sylvester fue quien acuñó el término matriz (1850),
para distinguir las matrices de los determinantes, que serán estudiados
en el Tema 3. De hecho, la intención era que el término matriz tuviera el
significado de “madre de los determinantes”. Tanto Sylvester como
Cayley son considerados entre los mejores matemáticos de su tiempo.
Sylvester fue el primer profesor del Departamento de Matemáticas en la
Universidad John Hopkins, y fundó la prestigiosa revista American
Journal of Mathematics.
(Sir) Arthur Cayley (1821-1895)(Sir) Arthur Cayley (1821-1895) nació en Surrey, Inglaterra, y estudió en lanació en Surrey, Inglaterra, y estudió en la
Universidad de Cambridge. Ejerció la abogacía y al mismo tiempo escribíaUniversidad de Cambridge. Ejerció la abogacía y al mismo tiempo escribía
aportaciones en matemáticas. Pocos años después de encontrar a su colega Sylvester,aportaciones en matemáticas. Pocos años después de encontrar a su colega Sylvester,
otro licenciado y matemático, dejó la abogacía y se dedicó de tiempo completo a lasotro licenciado y matemático, dejó la abogacía y se dedicó de tiempo completo a las
matemáticas.matemáticas.
James Joseph Sylvester (1814-1897)James Joseph Sylvester (1814-1897) nació en Londres, de padres judíos. Entró en lanació en Londres, de padres judíos. Entró en la
Universidad de Cambridge, pero por su religión no pudo obtener un diploma, sinoUniversidad de Cambridge, pero por su religión no pudo obtener un diploma, sino
hasta varios años después de haber terminado sus estudios. También ejerció lahasta varios años después de haber terminado sus estudios. También ejerció la
abogacía y al mismo tiempo hacía investigaciones en el campo de las matemáticas. Élabogacía y al mismo tiempo hacía investigaciones en el campo de las matemáticas. Él
y Cayley tuvieron una larga y fructífera colaboración en la teoría de los invariantes,y Cayley tuvieron una larga y fructífera colaboración en la teoría de los invariantes,
campo relacionado con el Álgebra Lineal.campo relacionado con el Álgebra Lineal.

3. 3
A continuación veamos un ejemplo de lo que ocupaba a Cayley. Tres sistemas
coordenados (x , y), (x’ , y’) y (x’’ , y’’) están conectados mediante las siguientes
transformaciones:
La relación entre (x , y) y (x’’ , y’’) se describe con la sustitución:
Esta transformación también puede escribirse como sigue: si abreviamos los tres
cambios de coordenadas mediante las matrices de los coeficientes, tenemos:
Ahora es posible calcular C directamente de A y B, mediante la multiplicación
matricial: C = A · B.

4. 4
Sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:Sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:
 incógnitas:incógnitas:
 coeficientes:coeficientes:
 términos independientes:términos independientes:

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La teoría de matrices ofrece la posibilidad de trabajarLa teoría de matrices ofrece la posibilidad de trabajar
cómodamente con modelos de gran dimensión, tanto encómodamente con modelos de gran dimensión, tanto en
número de variables, como de ecuaciones o datos, ya quenúmero de variables, como de ecuaciones o datos, ya que
brinda una notación simple y compacta para designarbrinda una notación simple y compacta para designar
amplios conjuntos de información. Esto redunda a su vez enamplios conjuntos de información. Esto redunda a su vez en
una mayor facilidad a la hora de trabajar con estos conjuntosuna mayor facilidad a la hora de trabajar con estos conjuntos
de datos desde un punto de vista computacional.de datos desde un punto de vista computacional.
La teoría de matrices no sólo debe su importancia a la bondadLa teoría de matrices no sólo debe su importancia a la bondad
de sus cualidades operativas, sino que además tiene grande sus cualidades operativas, sino que además tiene gran
relevancia teórica, ya que una matriz es la representación derelevancia teórica, ya que una matriz es la representación de
determinadas transformaciones vectorialesdeterminadas transformaciones vectoriales (aplicacionesaplicaciones
linealeslineales)

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MATRICESMATRICES
MATRIZ DE ORDEN .-MATRIZ DE ORDEN .-
Toda distribución de elementos dispuestos enToda distribución de elementos dispuestos en m
filas yfilas y n columnascolumnas
Habitualmente se denotan las matrices con letras mayúsculas (Habitualmente se denotan las matrices con letras mayúsculas ( A, B, C,... ) y con... ) y con
minúsculas los elementos que las constituyen. Dado que los elementos estánminúsculas los elementos que las constituyen. Dado que los elementos están
ordenados en filas y columnas, al elemento que en una matriz ocupa el lugar de laordenados en filas y columnas, al elemento que en una matriz ocupa el lugar de la
filafila i-ésima y la columna-ésima y la columna j-ésima se le denotará por-ésima se le denotará por aij . Es decir, con el primer. Es decir, con el primer
subíndicesubíndice i se indica la fila en la que está el elemento y con el segundo subíndicese indica la fila en la que está el elemento y con el segundo subíndice j ,,
la columna.la columna.

7. 7
 Matriz filaMatriz fila::
 Matriz columnaMatriz columna::
 Matriz nulaMatriz nula::
 Matriz opuesta deMatriz opuesta de
Dos matrices del mismo orden yDos matrices del mismo orden y
se dicen iguales, y se escribe si:se dicen iguales, y se escribe si:
todos sus elementos sontodos sus elementos son 0..

8. 8
 Matriz cuadradaMatriz cuadrada de ordende orden n::
forman laforman la diagonal principaldiagonal principal
Mismo número de filasMismo número de filas
que de columnasque de columnas

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 Matriz triangular superiorMatriz triangular superior
Los siguientes conceptos se refieren exclusivamente a matrices cuadradas:Los siguientes conceptos se refieren exclusivamente a matrices cuadradas:
 Matriz triangular inferiorMatriz triangular inferior
Ceros debajo de la diagonal principalCeros debajo de la diagonal principal Ceros encima de la diagonal principalCeros encima de la diagonal principal

10. 10
 Matriz diagonalMatriz diagonal
 Matriz unidadMatriz unidad
Ceros fuera de la diagonal principalCeros fuera de la diagonal principal
Ceros fuera de la diagonal principal,Ceros fuera de la diagonal principal,
unos en la diagonal principalunos en la diagonal principal
 Matriz escalarMatriz escalar
Delta de KroneckerDelta de Kronecker

11. 11
SUMA DE MATRICES.SUMA DE MATRICES.
PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZPRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ
conjunto de todas las matrices de ordenconjunto de todas las matrices de orden
con elementos reales.con elementos reales.
La aritmética para vectores que se describió en el tema anterior admite una
extensión natural a las matrices. Si A y B son matrices , entonces
la suma A + B es la matriz cuyas columnas son las sumas de las
columnas correspondientes de A y B. Puesto que la suma vectorial de las
columnas se hace por entradas, cada entrada en A + B es la suma de las
entradas correspondientes de A y B. La suma A + B está definida sólo
cuando A y B son del mismo tamaño.
Si r es un escalar y A es una matriz, entonces el múltiplo escalar r · A
es la matriz cuyas columnas son r veces las columnas correspondientes de
A. Al igual que con vectores, definimos –A como (–1) · A y escribimos
A – B en vez de A + (–1) · B.

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SUMA DE MATRICES.-SUMA DE MATRICES.- ((Operación interna enOperación interna en ))
Sean ,Sean ,
 AA yy BB tienen que tener el mismo ordentienen que tener el mismo orden


13. 13
PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ.-PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ.-
((Operación externa enOperación externa en con dominio de operadorescon dominio de operadores ))
Sean ,Sean ,



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PRODUCTO DE MATRICESPRODUCTO DE MATRICES
Si es una matriz y es una matriz , seSi es una matriz y es una matriz , se
define ladefine la matriz productomatriz producto ,, en este ordenen este orden, como la, como la
matriz tal que:matriz tal que:
filafila ii dede AA
columnacolumna jj dede BB

15. 15
--Ejemplo.Ejemplo.--
--ATENCIÓN.ATENCIÓN.-- Dos matrices se pueden multiplicar sólo si
el número de columnas de la primera matriz es igual al
número de filas de la segunda matriz.
Propiedades del producto de matrices.Propiedades del producto de matrices.--
1.-1.-
2.-2.-
3.-3.-
4.-4.- El producto de matrices no es necesariamente conmutativoEl producto de matrices no es necesariamente conmutativo

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 se puede hacer este producto, pero
no se puede hacer
 es una matriz
es una matriz


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-OBSERVACIONES.--OBSERVACIONES.-
1.-1.- El producto de matrices no es necesariamenteEl producto de matrices no es necesariamente
conmutativo.conmutativo.
2.-2.- Puede ser con y .Puede ser con y .
3.-3.-
4.-4.- no implica necesariamente .no implica necesariamente .

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POTENCIAS NATURALES DEPOTENCIAS NATURALES DE
MATRICES CUADRADASMATRICES CUADRADAS
Una de las herramientas principales en el estudio de las ecuaciones diferenciales
lineales es el álgebra matricial. En concreto, el cálculo de potencias naturales de
matrices cuadradas resulta de gran interés en el estudio de las ecuaciones
diferenciales.
Además, las potencias de matrices desempeñan un papel importante en diversas
aplicaciones, como por ejemplo en el modelo de Leontief de entrada-salida.
Si y :Si y : -PROPIEDADES.--PROPIEDADES.-
1.-1.-
2.-2.-

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TRASPUESTA DE UNA MATRIZTRASPUESTA DE UNA MATRIZ
Cambiar filas por columnasCambiar filas por columnas
-PROPIEDADES.--PROPIEDADES.-
1.-1.-
2.-2.-
3.-3.-
4.-4.-
5.-5.- AtenciónAtención

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

Sólo para matrices cuadradasSólo para matrices cuadradas
A simétrica si y sólo si , es decir:
A antisimétrica si y sólo si , es decir:
¿Cómo son los elementos de la diagonal¿Cómo son los elementos de la diagonal principalprincipal
de una matriz antisimétrica?de una matriz antisimétrica?
Las matrices (cuadradas) simétricas y antisimétricas se pueden caracterizarLas matrices (cuadradas) simétricas y antisimétricas se pueden caracterizar
utilizando la relación que tienen con sus traspuestas.utilizando la relación que tienen con sus traspuestas.

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

Sólo para matrices cuadradasSólo para matrices cuadradas
A periódica si . Si p es el menor
número natural que satisface , entonces
decimos que A es una matriz periódica de período p.
A idempotente si .
 A nilpotente si . Si p es el
menor número natural que satisface ,
decimos que A es una matriz nilpotente de índice p.
 A involutiva si .
A continuación estudiamos ciertas matrices que deben su peculiaridad alA continuación estudiamos ciertas matrices que deben su peculiaridad al
comportamiento que presentan sus potencias. Las matrices idempotentes, por ejemplo,comportamiento que presentan sus potencias. Las matrices idempotentes, por ejemplo,
desempeñan un papel importante en algunas áreas de la Estadística y la Econometría.desempeñan un papel importante en algunas áreas de la Estadística y la Econometría.

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CONCEPTO DE MATRIZ
RECTANGULAR
ÁLGEBRA DE MATRICES
Casos especiales
Matriz fila
Matriz columna
Matriz nula
Matriz cuadrada
Matriz triangular superior
Matriz triangular inferior
Matriz diagonal
Matriz escalar
Matriz unidad
Igualdad
Suma/Resta
Multiplicación por un escalar
Producto
Potenciación entera
Trasposición Propiedades
Determinante
Inversión
Matrices
especiales
Matriz periódica
Matriz idempotente
Matriz nilpotente
Matriz involutiva
Matriz simétrica
Matriz antisimétrica