Este documento presenta conceptos fundamentales sobre funciones exponenciales, logarítmicas, igualdad de funciones, composición de funciones y función inversa. Explica que la función exponencial tiene la forma f(x)=a^x, con a>0 y a≠1, y que la función logarítmica tiene la forma f(x)=log_a(x). También describe cómo encontrar la función inversa de una función biyectiva mediante el cambio de variables y dominios.

1. UNIVERSIDAD DE CUENCA
FUNCIÓN EXPONENCIAL, FUNCIÓN LOGARÍTMICA, IGUALDAD DE FUNCIONES,
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Y FUNCIÓN INVERSA
PEDRO FERNANDO VIZHCO SIGUA

2. FUNCIÓN
EXPONENCIAL
Es una función de la forma 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥
, con
𝑎 > 0 𝑦 𝑎 ≠ 1 con “x” perteneciente a ℝ
El rango de esta función es el conjunto de los reales
positivos.
𝑅𝑓 = 𝑦 ∕ 𝑦 ∈ ℝ+
El dominio de esta función es el conjunto de ℝ
𝐷𝑓 = 𝑥 ∕ 𝑥 ∈ ℝ

3. Es
asintótica
en el eje X
Es creciente para
todo valor de a> 1 y
es decreciente para
todo valor de 0 < 𝑎 <
1
Corta al
eje Y en 1

4. FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL
 Posee las mismas
características que la función
exponencial pero se diferencia
por tener como base de la
potencia al número de Euler.

5. FunciónLogarítmica
Es una función f(x) en donde su regla de
correspondencia es un logaritmo de base a.
𝑓 𝑥 = log 𝑎 𝑥
Su dominio es: 𝐷𝑓 = 𝑥 ∕ 𝑥 > 0
Su rango es: 𝑅𝑓 = 𝑦/𝑦 ∈ ℝ

6. Si el valor de 𝑎 > 1,
la función es
creciente
Si el valor de 0 < 𝑎 <
1, la función es
decreciente.
Posee un asíntota
que es el eje Y

7. Función Logaritmo Natural
Se da si la base de la función
logarítmica es el número de Euler. “e”
𝑓 𝑥 = log 𝑒 𝑥 = ln 𝑥
Función Logaritmo Común
Se da si la base de la función logarítmica es
el número 10.
𝑓 𝑥 = log10 𝑥 = log 𝑥

8. IGUALDAD DE FUNCIONES
 Dadas dos funciones f(x) y g(x) podemos decir que estas
funciones son iguales si y solo si 𝐷𝑓 = 𝐷𝑔, 𝑅𝑓 = 𝑅 𝑔
 Ejemplo: Dadas 𝒇 𝒙 =
(𝒙−𝟏)(𝒙+𝟐)
𝒙+𝟏
𝒚 𝒈 𝒙 = 𝒙 + 𝟐
verifique si estas funciones son iguales.
f(x) g(x)

9. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
 La temática de composición de funciones consiste en:
 Tener 2 funciones diferentes 𝑓 𝑥 𝑦 𝑔(𝑥)
 Entra en juego la evaluación de funciones.
 La composición de funciones consiste en evaluar a una
función 𝑓 𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑔 𝑥
 𝑓 𝑔 𝑥 ó (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥)
 Se lee: “f” compuesta de “g”

10. CONSIDERACIONES
IMPORTANTES
Es importante
anotar que 𝒇 ∘ 𝒈
existe, si y solo si
𝑹 𝒈 ⊆ 𝑫 𝑭
La composición
de funciones,
en general no
es conmutativa.

11. EJEMPLO  Si 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟐
− 𝟑𝒙 + 𝟕 𝒚 𝒈 𝒙 = 𝒙 𝟑
− 𝟔 halle
𝒇 ∘ 𝒈 𝒙
𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥3 − 6 = (𝑥3 − 6)2−3 𝑥3 − 6 + 7
𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑥6
− 12𝑥3
+ 36 − 3𝑥3
+ 18 + 7
𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑥6 − 15𝑥3 + 61
f(x)
g(x)
(fog)(x)

12. FUNCIÓN INVERSA
La inversa de una
función no siempre
existe. Pero la inversa de
una función biyectiva
siempre existe.
Son simétricas con
respecto a la función
identidad.
𝑓 𝑥 = 𝑥
Se la conoce como
función inversa o
recíproca de “f” a otra
función 𝑓−1 que
cumple que
Si f(a)=b entonces
𝑓−1 𝑏 = 𝑎

13. ¿Cómo encontrar
la función Inversa?
1) Cambiamos f(x)
por “y”
Despejamos la
variable “x”
Realizamos un cambio
de 𝑦 → 𝑥 ∧ 𝑥 → 𝑦
En nuestra nueva expresión
cambiamos 𝑦 → 𝑓−1(𝑥)

14. EJEMPLO: Encuentre la función inversa de
𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟐
− 𝟑 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟎
1) 𝑦 = 𝑥2
− 3
2) 𝑥2
= 𝑦 + 3 → 𝑥 = 𝑦 + 3
3) Cambio “x” por “y” y viceversa. 𝑦 = 𝑥 + 3
4) Cambio 𝑦 𝑝𝑜𝑟 𝑓−1
𝑥 𝑓−1
𝑥 = 𝑥 + 3

15. Gráficas del Ejemplo
𝑓−1(𝑥)
𝑓(𝑥) 𝒚 = 𝒙

16. Notas
Importantes
para Recordar
Cuando nosotros
encontramos la función
inversa:
El dominio de la
función original se
convierte en rango
de la función
inversa.
El rango de la función
original se convierte
en el dominio de la
función inversa.

17. DESAFÍO Y CRÍTICA
 Dado 𝑓 𝑥 = log2 𝑥 encuentre su función inversa, después
establezca conclusiones mediante la comparación de las
dos funciones.
𝑦 = 𝑥
𝑓(𝑥)
𝑓−1(𝑥)