Motor cc

Fundamentos
de
Control Automático
2º G. Ing. Tecn. Industrial

Tema 2:
Representación y
modelado de sistemas
dinámicos

Índice del tema
Tema 2: Representación y modelado de sistemas dinámicos

2.1 Señales y sistemas dinámicos
2.2 Modelado matemático de sistemas dinámicos
2.3 Régimen permanente y transitorio.
Característica estática de un sistema.
2.4 Sistemas dinámicos lineales y no lineales
2.5 Linealización

Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 2

Señales y Sistemas Dinámicos
Señales y sistemas dinámicos

Sistemas: Conjunto de cosas que relacionadas entre sí

ordenadamente contribuyen a determinado objeto.

Señal o variable: toda magnitud que evoluciona con el

tiempo


Señales

• Caudal de vapor
• Desplazamiento del pistón
• Giro del eje
• Velocidad del eje
• Velocidad del regulador
• Desplazamiento del regulador
• Energía cinética del volante
de inercia

Existen infinitas señales (reales o virtuales)
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.

Señales
Clasificación de señales:

Continuas (en el tiempo): definida en todo instante.
Ej: cuerpo que se desplaza a velocidad constante
vel
pos

tiempo
tiempo
Si impactase contra un muro, ¿Es continua la señal de velocidad?

vel
No confundir con continuidad
de la función v(t) respecto a t

tiempo


Señales
Discontinuas (o discretas): definidas sólo en ciertos instantes
Ej. La deuda con el banco al contraer una hipoteca

D

t1 t2 t3 t4 tiempo

Un tipo de señales discretas muy frecuente: señales muestreadas
(muestreo: medida de una magnitud en ciertos instantes)
Ejemplos: Posición de un avión medida con un radar.
Análisis químico de un producto (la medida toma un tiempo)

Las señales son secuencias de valores definidas en secuencias de instantes


Señales
Señales de prueba: (ideales pero bien conocidas)

Impulso Escalón

0 t 0 t

Rampa Senoide

0 t
0 t


Señales
Señales de prueba: Idealizaciones de señales dadas en la realidad

Impulso señal que toma valor
infinito en un tiempo
infinitesimal…
0 t ¿para qué sirve?
Qe Qe ¿Qa? 1m3

h(t) qs(t) h(t) qs(t)


Señales
•Interpretación del impulso:

m3/s m3/s m3/s m3/s
oo
c
4 o(t)

área 1
2

área 1
área 1

1
área 1
t t t t
1 1/2 1/4 1/oo


Señales

Qe 1 m3
Qa = δ (t )
h(t) qs(t)

3
Qe km
Qa = k δ (t )
h(t) qs(t)


Señales
Trayectorias y comportamientos:
Trayectoria de una señal: evolución temporal de una magnitud.

ACELERACIÓN (m/s VELOCIDAD (m/s) POSICIÓN (m)
10

g M 5

0
0 0.5 1 1.5

0

-5

y -10

-15
0 0.5 1 1.5

)
2
0

-5

-10

-15
0 0.5 1 1.5
tiempo

Comportamiento: el conjunto de trayectorias de todas la señales del
sistema
Trayectoria Señal
Comportamiento Sistema


Señales
Estado de un sistema dinámico:
El conjunto de variables que caracterizan el comportamiento del
sistema.
Conocido el estado en t0 , se puede saber la evolución del sistema
t>t0
M
Ejemplo: Cuerpo que cae g

y
variables de estado: posición y velocidad.
Otros ejemplos:
• Circuitos eléctricos: tensión de los condensadores e intensidad en
bobinas.
• Sistemas mecánicos: posición y velocidad por cada grado de
libertad.
Orden: El número mínimo de variables de estado de un sistema.

Es una medida de su complejidad


Señales
Variables y parámetros:
Tipos de variables:
• Entradas: son las causantes de la x x x xx
evolución del sistema. x x x
xx x x
• Salidas: son las señales que x x
interesa
analizar o medir.
• Internas: el resto de las (infinitas)
Estados
señales

Ejemplos:


Señales
Tipos de entradas: (desde el punto de vista tecnológico)
• Entradas manipulables: aquellas cuya evolución se puede fijar o manipular
• Perturbaciones: aquellas entradas que no son manipulables.
• Ejemplos:

Parámetros de un sistema: magnitud que caracteriza al sistema
y que lo distingue de otro semejante.
• Ejemplo:
Distinguir parámetros y señales de los sistemas anteriores


Sistemas Dinámicos
Tipos de señales
• Sistemas continuos: Señales continuas
• Sistemas discretos: Señales discretas

Influencia del exterior
• Sistemas autónomos: No tiene entradas (aislado) M
Evoluciona por las condiciones de las que parte. g
Idealización y
• Sistemas no autónomos: Si tiene entradas

Evoluciona por las entradas y por las condiciones iniciales.

15

Sistemas Dinámicos

Carácter dinámico R

• Sistema estático:
u R y
Las salidas sólo dependen de las
entradas
R
• Sistema dinámicos:
u C
Las salidas dependen de las R y
entradas y de sus valores
pasados (historia)
Variación con el tiempo de los
parámetros

• Sistema variante en el tiempo

m m(t)
• Sistema invariante en el tiempo


Índice del tema

2.3 Régimen permanente y transitorio.
2.5 Linealización


Modelado matemático de sistemas
Modelo: representación de un sistema
Representación matemática: Ecuaciones diferenciales

• Modelo bien planteado:
Nº Ecuaciones=Nº variables independientes implicadas

Modelado a escala

Errores de modelado


Selección del modelo según su utilidad
• Análisis:
Objetivo: estudio cualitativo del comportamiento.
Predecir la evolución del sistema.
Analizar el efecto de la variación de parámetros.
Estudiar el efecto de las entradas sobre la evolución del
sistema.
• Diseño de controlador:
Objetivo: controlar el sistema original a partir de un
modelo simplificado que recoja su dinámica.
• Simulación:
Objetivo: reproducir con fiabilidad la evolución del
sistema
Es una tarea más sencilla (integración numérica)
Preferiblemente modelos con errores pequeños


Identificación de un modelo
Determinación de los parámetros del modelo a partir de
ensayos experimentales.

Muy importante en ingeniería

Exactitud frente a sencillez del modelo
Compromiso

Error
Complejidad


Clasificación de los modelos
Deterministas y no deterministas
Paramétricos y no paramétricos
• Modelado paramétrico se basa en
Modelo de fenómenos elementales
Ecuaciones de balance
• Modelado no paramétrico o caja negra
El modelo se determina a partir de la respuesta del sistema
Parámetros concentrados y distribuidos

R

u C
y


Modelos matemáticos
Sistemas dinámicos en tiempo continuo:
Ecuaciones diferenciales ordinarias.

Sistema

Descripción externa E/S

Descripción interna (estado)


El péndulo invertido F θ>0

mg

F Péndulo

Estado:

Parámetros: m,g,I,l

(Un integrador por cada estado)


Sistemas dinámicos en tiempo discreto:
Ecuaciones en diferencias.

Sistema




Ecuaciones que permiten obtener los modelos
paramétricos:
Ecuaciones de los fenómenos elementales
Ejemplo: un sistema mecánico
• ec. que relaciona el desplazamiento de los extremos de un muelle
con la fuerza aplicada al mismo.
• ec. que relaciona las velocidades de los extremos de un
amortiguador con la fuerza aplicada al mismo.
• ec. que relaciona las aceleraciones que experimenta una masa con
la fuerza aplicada a la misma.
Ecuaciones de balance
• suma de fuerzas igual a cero en cada elemento del sistema.

Sistema de Ecuaciones
Algebráicas
Diferenciales


Elementos ideales
Resistencia i
R

v
Bobina
L
i

Condensador v

C
Ecuaciones de Kirchoff i

v

Nudo: Bucle:



Ejemplo de modelos matemáticos de sistema eléctricos

R R L

u C u C
y y

1.4

1.2

1
1

0.8
0.8

0.6 0.6

0.4 0.4

0.2
0.2

0
0 0 2 4 6 8 10
0 2 4 6 8 10



ve = i1 R1 + v i
dv Ecs. Alebraicas
i1 − i2 = C1 i +
dt Ecs. Diferenciales
v i = i2 R2 + v s
dv s
i2 = C 2
dt


Ec. de balance

dV (t )
= qe (t ) − qs (t )
dt dV (t) = q (t ) − q (t )
e s
dt

dV (t )
= qe (t ) − qs (t )
dt


Ec. de balance

dV (t )
= qe (t ) − qs (t )
dt
Ec. Presión en el depósito

p (t ) = pa + ρ ⋅ g ⋅ h(t )
dh(t )
Volumen en función de h(t),
A = qe (t ) − K h(t )
para un área del depósito A
dt

V = A ⋅ h(t )
Ec. Caudal en tubería de salida

qs = K p p1 − p2 = K p pa + ρgh − pa


Motor de corriente continua:


i R L
vR vL ω
v vce M Jmotor
-
Bmotor

di ⎫
V = VR + VL + Vce = R i + L + Vce ⎪
dt
⎪
Vce = Kce ω ⎪
⎬
T = K par i ⎪
dω ⎪
T = J motor + Bmotor ω ⎪
dt ⎭


R L
i
vR vL

ω
v vce M Jmotor Jcarga
-
Bmotor Bcarga

di ⎫Potencia eléctrica =V i
V = VR + VL + Vce = R i + L + Vce ⎪Potencia
dt mecánica =Tω
⎪
Vce = K ce ω ⎪
⎬
T = K par i ⎪
dω ⎪
T = ( J motor + J carga ) + ( Bmotor + Bcarga ) ω ⎪
dt ⎭

Mecanismos de transferencia de Calor
Conducción: Materiales en contacto a distintas temperaturas

Covección: Fluidos en contacto a distintas temperaturas

Radiación:

Mecanismos combinados:
U Coeficiente global
de transferencia de calor 35



Balance de Energía

(Simplificación)


Simulación de sistemas
Integración numérica de las ecuaciones
Modelo
diferenciales
SIMULADOR salidas
entradas
Discretización del tiempo {t0, t1, t2,…}
• Paso de integración condiciones iniciales

Determinación de las salidas {y0, y1, y2,…}
Ejemplo: método de Euler

Inicio: y0=y(0)
Para k=1 hasta N
tk=k h 1 K
y y h⎛ q p y ⎞
k = k 1 + ⎜ A k 1 − A k 1 ⎟
− ⎜ − − ⎟
⎝ ⎠
⎛1 Kp ⎞ Fin
y (t ) = ⎜ q(t ) −
& ⎜A y (t ) ⎟
⎟
⎝ A ⎠


Índice del tema

2.3 Régimen transitorio y permanente.
2.5 Linealización


Régimen transitorio y permanente
2

Régimen transitorio Régimen
1.5

permanente
1

0.5

0
0 5 10 15 20 25 30 35 40

2

1.5 Régimen transitorio Régimen permanente
1

0.5

0
0 5 10 15 20 25 30 35 40


Punto de equilibrio

dvs
ve = RC + vs
dt
está en equilibrio cuando la derivada de vs es cero, y por tanto, cuando ve = vs


Unicidad del punto de equilibrio para sistemas lineales:

dvs
ve = RC + vs
dt
•Para una entrada dada, por ejemplo ve= 1 voltio, el sistema
evolucionará hasta alcanzar un único punto de equilibrio que
corresponde a una salida vs=1 voltio

•Si se aplican a la entrada, por ejemplo ve= 2 voltios, el sistema
evolucionará hasta conseguir un punto de equilibrio que
corresponde a una salida vs=2 voltios
•Para una entrada dada sólo existe un único punto de equilibrio


Característica Estática

Relación entre la entrada y la salida en régimen
permanente.
vs
Ejemplo:
dvs
ve = RC + vs
dt
en régimen permanente:

ve = v s
ve



La característica estática en muchos casos se puede obtener de
forma experimental:
Por ejemplo: Motor de corriente continua
Entrada: Tensión aplicada V (voltios)
Salida: Velocidad del eje ω (r.p.s.) revoluciones por segundo

_
ω
+
V


Ensayo aplicando distintas tensiones de entrada y midiendo las
revoluciones en régimen permanente: V(v) ωR(r.p.s.)
0 0

1 0

2 0.2

_ ω
R 3 1.3
+
V 4 3.2

5 5.1

6 6.5

7 7.2

ω 8 7.4

9 7.4


Representación gráfica de la característica estática.

ω 9
8
7
6
5
4
3
2
1

1 2 3 4 5 6 7 8 9
V


Índice del tema
2.5 Linealización


Sistemas dinámicos lineales y no lineales
En un sistema lineal se cumple el Principio de Superposición
3.5 3.5

3 3

2.5

2
2.5

2
y1
1.5 u1 1.5

1 1

0.5 0.5

0 0
0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30

3.5 3.5

3 3

2.5 2.5

2 2

1.5 1.5

1

0.5
u2 1

0.5
y2
0 0
0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30

3.5 3.5

3 3

2.5

2
2.5

2
y1+y2
1.5 u1+u2 1.5

1 1

0.5 0.5

0 0
0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30


El Principio de Superposición NO se cumple en un sistema no lineal
3.5 12

3
10

2.5
8
2

1.5 u1 6

4
y1
1

0.5 2

0 0
0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30

3.5 12

3
10

2.5
8

2

6
1.5

1

0.5
u2 4

2
y2
0 0
0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30

3.5 12

3
10

2.5

2
8 yt=y1+y2
/
1.5 ut=u1+u2 6

4
1

0.5 2

0 0
0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30


Descripción externa

Sistema lineal: si f es lineal
d n y (t ) d n −1 y (t ) dy (t ) d mu (t ) d m −1u (t ) du (t )
n
+ a1 n −1
+ ... + an −1 + an y = b0 m
+ b1 m −1
+ ... + bm −1 + bmu (t )
dt dt dt dt dt dt

Sistema no lineal: si f no es lineal


Característica estática
y
Sistema lineal

u
Sistema no lineal ω 9
8
7
6
5
4
3
2
1

1 2 3 4 5 6 7 8 9
V

Índice del tema
Tema 2: Representación y modelado de sistemas
dinámicos
2.5 Linealización


Linealización
Objetivo:
obtener modelos lineales aproximados a partir de modelos no
lineales
Punto de funcionamiento:
Punto de equilibrio en torno al que se linealiza
Propiedades:
Representa bien al sistema en una cierta zona en torno a un punto
de equilibrio.
Fuera de la zona de validez, el modelo linealizado tiene un error
demasiado grande.


Linealización
Aproximación lineal
y y = yo+(dy/dx)odx = yo+f(xo)’dx

dy
y=f(x) no lineal
yo

dx

x
xo

Linealización
Consideraciones sobre la característica estática
Zonas de comportamiento NO lineal
9
R
8
7
6
5
4
3 Zona de comportamiento lineal
2
1

1 2 3 4 5 6 7 8 9
V


Linealización
La ganancia estática permite determinar qué incrementos finales
se producirán en la salida de un sistema como consecuencia de
incrementos dados en la entrada al mismo.

Δy
K estática =
Δu


Linealización
Partiendo de los datos obtenidos de un ensayo sobre un
sistema, ¿cuál es su ganancia estática ?
8 8
7 7
6 6
5 5
4 4
3 3
2 2
1 1
0 0
0 5 10 0 5 10

¿ K est ?

u 8 y8
7 7
6 6
5 5
4 4
3
Δy = 3
3
2
Δu = 1
2
1 Δu = 1 1
0 0
0 5 10 0 5 10

Δy 5 − 2 3 5 5
K est = = = =3 K est ≠ K est ≠
Δu 2 − 1 1 2 1


Linealización
• La característica estática de un sistema permite determinar cuál es su
ganancia estática en cada punto de funcionamiento o equilibrio: es la
pendiente de la tangente de la curva. Δy
K estática =
Δu
9
y
8
7
6
5
4
3
2
1

1 2 3 4 5 6 7 8 9
u

Linealización
• Las zonas lineales de la característica estática de un sistema tienen la
misma pendiente, luego presenta la misma ganancia estática
Zonas de comportamiento NO lineal:
9 Kest varía en cada punto de funcionamiento
y
8
7
6
5
4
Zona de comportamiento lineal:
3
2 misma ganancia estática Kest
1

1 2 3 4 5 6 7 8 9
u

Linealización

dn( t )
A = u( t ) − y( t )
dt

y( t ) = k n( t )
No lineal


Linealización

k
y y( t ) ≈ y0 + dn aprox. lineal válida en
2 n0 el entorno de (n0, y0)

dy
y( t ) = k n( t ) no lineal
yo

dn

no n

Linealización

Punto de Funcionamiento

Definiendo variables incrementales


Linealización

Buena aproximación en torno al punto
de funcionamiento
Para variaciones grandes, el modelo
lineal puede ser erróneo
Todas las señales del sistema
evolucionan en torno a su valor en el
punto de equilibrio


Linealización

Las variables incrementales dependen
del punto de funcionamiento elegido


Linealización


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