Se presenta un problema para resolver por el método de Gauss

1. Resolución de problemas mediante el método de Gauss La suma de las edades de tres hermanas es 20 años. Hace dos años la edad de la mayor era el cuádruple de la diferencia de las otras dos; dentro de 6 años la edad de la menor será la diferencia de la mayor y la mitad de la menor. Se pide: a) Plantear un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar la edad actual de cada hermana. b) Resolver el sistema planteado en el apartado anterior por el método de Gauss.

2. Pondremos nombre a nuestras incógnitas:

3. Estableceremos las relaciones que hay entre las incógnitas mediante ecuaciones:

4. Plantearemos el sistema de ecuaciones:

5. Realizaremos las operaciones algebraicas elementales:

6. El sistema queda:

7. Restamos a la segunda ecuación la primera y a la tercera la primera multiplicada por dos:

8. Realizamos las operaciones elementales y queda así:

9. Para utilizar coeficientes más sencillos sumamos a la última ecuación la segunda y queda así:

10. Multiplicamos a la tercera ecuación por tres y le sumamos la segunda obteniendo:

11. Despejamos la Y en la tercera ecuación :

12. Con ese valor de Y despejamos Z en la segunda ecuación :

13. Con los valores de Z y de Y encontrados despejamos X en la primera ecuación :

14. Por tanto las edades de las tres hermanas son: Edad de la mayor = X = 10 años Edad de la mediana = Y = 6 años Edad de la menor = Z = 4 años