Este documento describe medidas de dispersión como la varianza y desviación estándar, y cómo calcularlas con datos agrupados y no agrupados. También explica el Teorema del Límite Central, el cual establece que la media muestral tiende a seguir una distribución normal cuando la muestra es suficientemente grande, y cómo usar una tabla normal para calcular probabilidades relacionadas a valores estandarizados.

1. Muestro, medias de tendencia central y
medidas de dispersión

2. 3.3 Medidas de Dispersión

A diferencia de las medidas de tendencia central, que
miden acumulaciones, mediante un solo punto, las
medidas de dispersión miden el grado de separación o
alejamiento que tiene una variable estadística en torno a
una medida de posición o tendencia central. Dicho
grado de separación nos indica lo representativa que es
la medida de posición con respecto al conjunto total de
datos. A mayor dispersión menor representatividad de
la medida de posición y viceversa.
 Las medidas de dispersión más comunes son: el
recorrido, la varianza y la desviación estándar.

3. 3.3.1 Varianza y Desviación estándar con
datos no agrupados

La varianza mide la mayor o menor dispersión de los
valores de la variable respecto a la media aritmética.
Siempre es mayor o igual que cero y menor que
infinito. Se define como la media de los cuadrados de
las diferencias del valor de los datos menos la media
aritmética de estos.
La desviación estandar es la raíz cuadrada de la
varianza. Se seca la raíz debido a que tenemos que
hablar el mismo luenguaje de la variable de estudio.

4. 3.3.1 Varianza y Desviación estándar con
datos no agrupados

 Así como en las medias de tendencia central se
puede obtener la varianza y desviación estándar
tanto para la muestra y población, como puedes
observar para la muestra utilizamos la letra s y para
la población la letra griega sigma, las fórmulas son
las siguientes:
Muestra Población

5. 3.3.1 Varianza y Desviación estándar con
datos no agrupados

 Para obtener la desviación estándar solo hay que sacar la
raíz cuadrada de la varianza. Las Fórmulas quedan de la
siguiente manera:
 S o Sigma = Desviación estándar de la muestra o de la
población
 Xi o X = Valor de la variable
 X barra o Mu = Media de la muestra o de la población
 n o N = No. total de observaciones

6. 3.3.1 Varianza y Desviación estándar con
datos no agrupados

Ejemplos : Todos los estudiantes en la materia Investigación
de Mercados del grupo 411 son una población. Sus
calificaciones en la materia fueron 92, 96, 61, 86, 79 y 84.
Primero se calcula la media = 83
Utilizaremos la formula de la muestra:
Ahora tomamos cada valor o
variable le restamos la media y elevamos al cuadrado.

7. 3.3.1 Varianza y Desviación estándar con
datos no agrupados

 Por último sacamos la raíz cuadra de 126.87 para
obtener la desviación estándar.
S = 11.25.
Interpretación del resultado.
Podemos observar que nuestro promedio de
calificaciones es 83, sin embargo existen valores que
pueden ir 83 + 11.25 a 83 -11.25, significa que tenemos
calificaciones desde 94.25 a 71.25 puntos.

8. 3.3.2 Varianza y Desviación estándar con
datos agrupados

 Para calcular la varianza y desviación estándar con datos
agrupados debemos de tener nuestros datos agrupados
en una distribución de frecuencias. Las formulas que
utilizaremos son las siguientes:
Población Muestra
En donde Mc = Marca de Clase o punto medio de la clase.
Mu o x barra = media de la población o muestra
n o N = Total de observaciones

9. 3.3.2 Varianza y Desviación estándar con
datos agrupados

Ejemplo: Continuamos con nuestro ejemplo “La información
siguiente ofrece las cantidades invertidas cada semana en
abarrotes en una muestra de 45 familias,” pero ahora deseamos
saber qué tanto los valores se alejan a partir de nuestra media.
Favor de observar los cálculos de la última columna

10. 3.3.2 Varianza y Desviación estándar con
datos agrupados

Ahora solo nos falta sacar la desviación estándar:
472330.58 / 45 = 10516.24 A este valor lo llamaremos
varianza
Se saca raíz cuadrada de 10516.24 = 102.55 a este valor
lo llamamos Desviación Estándar.
Interpretación de resultados.
 Podemos ver que las familiar gastan en promedio
249.38 pesos sin embargo ese gasto puede estar entre
249.38 + 102.55 y 249.38 – 102.55.

11. 3.4 Teorema de límite Central

El teorema central del límite es uno de los resultados
fundamentales de la estadística. Este teorema nos dice que si una
muestra es lo bastante grande (generalmente cuando el tamaño
muestral (n) supera los 30), sea cual sea la distribución de la media
muestral, seguirá aproximadamente una distribución normal. Es
decir, dada cualquier variable aleatoria, si extraemos muestras de
tamaño n (n>30) y calculamos los promedios muestrales, dichos
promedios seguirán una distribución normal. Además, la media
será la misma que la de la variable de interés, y la desviación
estándar de la media muestral será aproximadamente el error
estándar.

12. 3.4 Teorema de límite Central

Una de las fórmulas que se utiliza para resolver problemas de este
tema es:
Z= Es el valor estandarizado, el cual nos ayuda a encontrar la
probabilidad de ocurrencia
X= Valor buscado
Mu = Media de la población, pero también puede ser la media de la
muestra
Sigma = Desviación estándar de la población, pero también puede ser
desviación estándar de la muestra

13. 3.4 Teorema de límite Central

 Una vez que obtengamos el valor z, este hay que
buscarlo en una tabla llamada distribución normal
estandarizada. El valor calculado y buscado en la tabla
nos da la probabilidad de ocurrencia.
 Anexo la liga de la tabla así como algunos ejemplos
de uso de la misma:
http://probabilidadfacil.blogspot.mx
 Anexo la liga de uso de la tabla :
http://www.vadenumeros.es/sociales/manejo-tabla-
normal.htm

14. 3.4 Teorema de límite Central

Ejemplo: Los resultados de la prueba de inteligencia
Stanford-Binet IQ tiene distribución normal con media 100 y
desviación estándar de 16. ¿Cuál es la probabilidad de que
una persona seleccionada al azar obtenga una calificación
Mayor a 138?
Fórmula:
Datos:
X = 138
Media = 100
Desviación Estándar = 16

15. 3.4 Teorema de límite Central

 Calculo:
 Buscamos en la Tabla de Distribución normal el valor 2.37, a dos
decimales
La tabla nos da el valor de 0 al valor estandarizado, nosotros
buscamos que sea mayora al valor encontrado por lo tanto al .5 le
restamos el área encontrada 0.4911.
Por lo tanto la probabilidad de encontrar que una persona
seleccionada al azar obtenga una calificación Mayor a 138, es de 0.0089
o 0.89%

16. 3.4 Teorema de límite Central

 Anexo ligas para reafirmar el conocimiento del uso y
ejemplo del teorema de límite Central
 https://www.youtube.com/watch?v=46DgBP9Vwt
E
 https://www.youtube.com/watch?v=o2afi9BKRIM

17. Referencia bibliográfica

 Montgomery, Douglas C. y George C. Runger (1996).
Probabilidad y Estadística aplicadas a la ingeniería.
Cuarta edición. México: McGraw-Hill.
 Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers et al. (2007).
Probabilidad y Estadística para Ingeniería y ciencias.
Octava edición. México: Pearson Educación.
 Estadística y probabilidad. Consultado 5 de
Diciembre del 2014 en:
http://www.vitutor.com/estadistica.html