Este documento introduce el concepto de división entera en números enteros, describiendo el algoritmo de división, diferentes tipos de división (exacta e inexacta), y cómo alterar los términos de una división al modificar el dividendo o multiplicar el dividendo y divisor. También incluye ejemplos y propiedades de la división entera.

1. 1
División, teoría y practica, hecho en LATEX
Por Whatsmath, contacto: 928873817
En esta sección desarrollamos el concepto de división en los números enteros, el algo-
ritmo de la división entera, los diferentes tipos de división y las formas de alterar los
términos de una división entera
1. DIVISIÓN EN (Z)
La división es la operación inversa a la multiplicación representada por o que con-
siste en dados dos números enteros, el primero llamado dividendo (D 2 Z) y el segundo
diferente de cero llamado divisor (d 2 Z+
) buscamos otros números enteros llamados co-
ciente (q 2 Z) y residuo (r 2 Z), esquemáticamente:
2. ALGORITMO DE LA DIVISIÓN ENTERA
1
En matemáticas, y más precisamente en la aritmética, la división euclidiana (o eu-
clídea), también llamada algoritmo de la división, es un teorema que asegura que "el
proceso habitual de división entre números enteros" puede llevarse a cabo y que se ob-
tiene un cociente y un residuo únicos.
D d
r q
() D = dq + r; (d 6= 0) ; (0 r < d)
2.1. clases de división entera
Podemos clasi…car a las divisones enteras por su residuo.
2.1.1. División entera exacta:
2
Decimos que la división es exacta cuando el residuo es cero (r = 0) ; Así tenemos que:
D d
0 q
() D = dq; (D 2 Z) ; (d 2 Z) ; (q 2 Z)
1
Un algoritmo matemático es una procedimiento de cálculo que resuelve un problema mediante una
sucesión …nita de operaciones lógicas o mátemáticas sencillas y bien de…nidas.
Los ejemplos más típicos y simples son sin duda, el algoritmo de extracción de raíces, el algoritmo de
Euclides, el algoritmo de la división entera, etc.
2
La división entera exacta es una parte muy importante de la aritmética. Razón por la cual vamos a
estudiarla detalladamente en el capítulo de divisibilidad.

2. 2
Ejemplo 1 Dividir 300 entre 25
300 25
0 12
() 300 = 25 12
2.1.2. División entera inexacta:
Decimos que una división es inexacta cuando el residuo es distinto de cero (r 6= 0)
Ejemplo 2 Dividir 418 entre 30
418 30
28 13
() 418 = 30 13 + 28
A su vez la división inexacta se puede subclasi…car en División entera por defecto y
división entera por exceso.
División entera por defecto
3
Dados el dividendo (D 2 Z) y divisor (d 2 Z+
) ; se busca el mayor número entero
llamado cociente por defecto (qd) el cual multiplicado por el divisor es menor que el
dividendo y las unidades que faltan a este producto para igualar al dividendo es llamado
residuo por defecto (rd)
D d
rd qd
() D = dqd + rd
Donde: (D 2 Z) ; (d 2 Z) ; (qd 2 Z) ; (rd 2 Z)
Ejemplo 3 Dividamos por Defecto 61 8
61 8
5 7
() 61 = 8 7 + 5
Notamos que el mayor número que multiplicado por 8 da un producto menor a 61 es 7;
este producto es 56, las unidades que faltan al producto para ser igual a 61 son 61 56 = 5:
Por lo que qd = 7 y rd = 5
División entera por exceso
Dados el dividendo (D 2 Z) y divisor (d 2 Z+
) ; se busca el menor número entero lla-
mado cociente por exceso (qe) el cual multiplicado por el divisor es mayor que el
dividendo y las unidades en que este producto superan al dividendo es llamado residuo
por exceso (rd)
3
La división por defecto, es la división que usualmente realizamos, por tanto si en algún ejercicio no se
especi…ca el tipo de división decimos se entiende que es una división por defecto

3. 3
D d
re qe
() D = dqe re
Donde:
(D 2 Z) ; (d 2 Z) ; (qe 2 Z) ; (re 2 Z)
Ejemplo 4 Dividamos por exceso 61 8
61 8
3 8
() 61 = 8 8 3
Notamos que el menor número que multiplicado por 8 da un producto mayor a 61 es
8; este producto es 64, las unidades en las que este producto supera a 61 es 64 61 = 3:
Por lo que qe = 8 y re = 3
3. Propiedades
1 En una división inexacta, se cumple que
rmax = d 1
rmin = 1
2 Se cumple que:
rd + re = d
qe = qd + 1
Proof. Sean (D 2 Z) y (d 2 Z) luego si dividimos estos números enteros por defecto y
exceso tenemos que:
D = dqd + rd:::(1)
D = dqe re:::(2)
De las ecuaciones (1) y (2) se tiene que:
dqd + rd = dqe re
rd + re = dqe dqd
rd + re = d(qe qd)
rd + re
d
= qe qd:::(3)

4. 4
Como se trata de divisiones enteras tenemos que (qd 2 Z) y (qe 2 Z) por tanto (qe qd) 2
Z; se sigue que
rd + re
d
2 Z:::( )
Por otro lado se sabe que
rd < d ^ re < d =) rd + re < 2d
=)
rd + re
d
< 2
=)
rd + re
d
= 1 [Por ( )]
=) rd + re = d:::(4)
Para …nalizar reemplazando (4) en (3):
1 =
d
d
= qe qd
1 + qd = qe
Aplicación:
Al dividir 9899 entre cierto número entero, el residuo por defecto resulta máximo e igual
al cociente por exceso. Hallese el divisor.
4. Alteraciones de los términos de una división entera
4.1. Alteración de la división por adición de unidades al dividendo
Al sumarle una cierta cantidad de dividendo, dicha cantidad se suma al residuo, la
división se modi…ca de la siguiente manera.
Si la cantidad que se suma al dividendo es menor al divisor, entonces tenemos que
el cociente no varía.
Si la cantidad que se suma al dividendo es igual o mayor al divisor tanto el cociente
como el residuo aumentan.
4.2. Al multiplicar por cierto número al dividendo y divisor
Si el dividendo y divisor de una división entera se multiplica por un mismo número
entero positivo, el cociente entero no varía pero el resto queda multiplicado por dicho
número.
Proof. Consideremos la siguiente división entera:
D d
r q
() D = dq + r:::( )
Ahora multipliquemos ( ) por (k 2 Z+
)

5. 5
Tenemos que:
Dk = dqk + rk
Dk = (dk) q + rk
De aquí se puede observar que ahora el dividendo es Dk; el divisor es dk. Ahora bien,
como
r < d =) rk < dk
Por todo lo anterior se concluye que:
Dk dk
r qk
() Dk = (dk) q + rk
EJERCICIOS DE CLASE N 5
Problema 5 Al dividir mnpqr por 43 se obtiene 4 residuos máximos. Halle el valor de
m + n + p + q + r
a)43 b)42 c)45 d)50 e)39
SOLUCIÓN
Como el divisor es 43 el residuo máximo es 42, luego reproducimos el proceso habitual
de división:
mnpqr 43
abcd
Analizando tenemos que al dividir mn entre 43 obtenemos a como cociente y 42 como
primer residuo parcial. Es decir:
mn = 43 a
#
1
+ 42 ! mn = 85

6. 6
Luego cuando bajamos la cifra p, obtenemos el numeral 42p que se divide entre 43
obtenemos b como cociente y 42 como segundo residuo parcial. Es decir:
42p = 43 b
#
9
+ 42 = 429 ! p = 9
Analogamente bajamos la cifra q con lo que obtenemos el numeral 42q que se divide
entre 43 obtenemos c como cociente y 42 como segundo residuo parcial. Es decir:
42q = 43 c
#
9
+ 42 = 429 ! q = 9
Finalmente bajamos la cifra r con lo que obtenemos el numeral 42r que se divide entre
43 obtenemos d como cociente y 42 como segundo residuo parcial. Es decir:
42r = 43 d
#
9
+ 42 = 429 ! r = 9
Se sigue que:
m + n + p + q + r = 8 + 5 + 9 + 9 + 9 = 40
Problema 6 En una división entera inexacta, la suma de los 4 términos es 744, el menor
valor que puede disminuir el dividendo para que el cociente disminuya en 1, es 49 y el
máximo valor que se aumenta al dividendo para que el cociente aumente en 1 es 67. Halle
la suma de las cifras del dividendo.
a)13 b)16 c)12 d)18 e)9
SOLUCIÓN
Sean (D 2 Z) ; (d 2 Z) ; (q 2 Z) ; (r 2 Z) los términos de la división original, es decir:
D d
r q
() D = dq + r:::( )
Donde 0 r < d:
El menor valor que podemos disminuir al dividendo para que cociente disminuya en 1
es aquel que hace que la división sea exacta. es decir r = 0

7. 7
D 49 d
0 q 1
() D 49 = d (q 1) :::(1)
El menor valor que podemos disminuir al dividendo para que cociente aumenta en 1 es
aquel que hace que la división sea exacta. es decir r = 0
D + 67 d
0 q + 1
() D + 67 = d (q + 1) :::(2)
Ahora resolvemos el siguiente sistema:
D 49 = d (q 1) :::(1)
D + 67 = d (q + 1) :::(2)
" ( )
116 = 2d ! 58 = d
Por dato del problema:
D + d + q + r = 744
(dq + r) + d + q + r = 744
Reemplazando d = 58 :
(58q + r) + 58 + q + r = 744
59 q
#
10
+ 2 r
#
48
= 686
Problema 7 Si en una división inexacta de residuo máximo, al dividendo se le dismin-
uyera 170 unidades, el cociente disminuiría en 3 unidades, su residuo sería mínimo y
seguira siendo inexacta. Halle el triple del producto de las cifras del divisor.
a)48 b)36 c)60 d)45 e)54
Problema 8 En una división inexacta, el residuo por defecto y el residuo por exceso son
iguales a 48. Si el cociente por defecto es 37. Halle el cuadrado de la suma de las cifras
del dividendo.
a)16 b)121 c)9 d)144 e)81

8. 8
Problema 9 En una división el residuo es 13. Si al dividendo se lo multiplica por 4 y
al divisor por 2, el residuo aumentaría en 3 unidades, halle el producto de las cifras del
divisor.
a)6 b)4 c)9 d)16 e)8
Problema 10 En una división entera inexacta, la suma del dividendo, el divisor y el
cociente es 984, el residuo por defecto es 31 y el residuo por exceso es 21. Halle el
cuádruple de la suma de las cifras del dividendo.
a)80 b)16 c)64 d)60 e)32
EJERCICIOS DE EVALUACIÓN N 5
Problema 11 Si a, b y c son dígitos diferentes y si se divide abc por su complemento
aritmético, se obtiene 3 como cociente y como residuo la última cifra del complemento
aritmético. Halle el valor de a + b + c
a)14 b)13 c)12 d)10 e)9
SOLUCIÓN
Por dato del problema a 6= b 6= c. Debemos dividir abc entre su complemento aritmético
es decir: CA abc = 1000 abc, por otro lado el residuo es la última cifra del complemento
aritmético de abc; se sigue que r = 10 c
abc 1000 abc
10 c 3
() abc = 1000 abc 3 + 10 c
Resolvamos esta ecuación teniendo en cuenta que (a 2 Z) ; (b 2 Z) ; (c 2 Z)
abc = 1000 abc 3 + 10 c
abc = 3000 3 abc + 10 c
4 abc + c = 3010
400a + 40b + 5c = 3010
80 a
#
7
+ 8 b
#
5
+ c
#
2
= 602
Finalmente
Problema 12 En una división entera inexacta, al residuo le falta 15 unidades para ser
máximo y si se le resta 18 sería mínimo, además el cociente es el doble del residuo por
exceso. Determine la suma de cifras del dividendo.

9. 9
a)10 b)14 c)12 d)11 e)15
SOLUCIÓN
Por dato si al residuo (residuo por defecto) se le resta 18 el residuo resulta mínimo, es
decir:
r 18 = 1 ! r = 19
También por dato al residuo le falta 15 unidades para ser máximo es decir:
r + 15 = d 1
19 + 15 = d 1
35 = d
Por propiedad:
rd + re = d
19 + re = 35 ! re = 16
Finalmente tambien por dato: el cociente es el doble del residuo por exceso.
q = 2 16 = 32
Se sigue del algoritmo de la división euclidea:
D = dq + r
= 35 32 + 19
= 1139
Por lo que la suma de cifras del dividendo es:
1 + 1 + 3 + 9 = 14
Problema 13 En una división, el cociente es 156 y el residuo es 6, pero si se aumentara
1000 unidades al dividendo, el cociente aumentaría en 17 unidades y el residuo aumentaría
8 veces. Halle el triple de la suma de las cifras del dividendo.
a)60 b)57 c)51 d)54 e)63
Problema 14 Al dividir n y 16n por un mismo divisor se obtuvo como residuos 6 y 19,
respectivamente. Halle la cifra de la decena del divisor.
a)3 b)1 c)5 d)6 e)7
Problema 15 Halle la suma de las cifras de la cantidad de números de tres cifras, de
modo que al ser divididos por cierto número se obtenga 12 como cociente y un residuo
máximo.
a)15 b)13 c)14 d)9 e)16