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- 1. POST-TAREA EVALUACIÓN FINAL SEÑALES Y SISTEMAS – 203042_19 YEISON ALEXANDER ZAMORA GUTIERREZ COD: 1020800180 MARIA ALEJANDRA CAGUA YANQUEN CÓDIGO 1019136850 HECTOR FABIAN APARICIO CÓDIGO 80820246 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA 2019
- 2. INTRODUCCIÓN En el siguiente trabajo se evidencia la aplicación de los diversos conceptos abordados en el curso mediante el desarrollo de un filtro analógico. Para ello, se desarrolla un ejercicio propuesto sobre filtro analógico, haciendo uso de la Función de transferencia. Además, se presenta como requisito del curso de Señales y Sistemas, siendo la Evaluación Final de la misma. El presente informe a nivel de los estudiantes, es útil, para poner en práctica las temáticas aprendidas durante el desarrollo del curso, las cuales fueron: operaciones de señales, sistemas LTI, convolución, análisis de Fourier, transformada de Laplace, Polos y Cero y por último Función de transferencia. Para poder desarrollar a cabalidad con el ejercicio de Función de transferencia , se presentan las fórmulas matemáticas necesarias para el calculo de cada una de las incógnitas, así mismo se evidencia el resultado obtenido mediante el software Matlab.
- 3. OBJETIVOS • Investigar los referentes teóricos relacionados con los filtros analógicos • Aplicar los conceptos abordados en el curso mediante el desarrollo de un filtro analógico. • Realización del ejercicio sobre Filtros analógicos Pasa Alta secundarios. • Evidencia del desarrollo del ejercicio mediante el software Matlab
- 4. Ejercicio 1- Filtro analógico Un filtro analógico se encuentra representado por la siguiente función de transferencia: 𝑎 = 9 𝑏 = 3 𝐻(𝑠) = 100 ∗ 𝑎 ∗ 𝑠2 𝑠2 + 282.8𝑠 + 40000 𝐻 𝑠 = 100 ∗ 9 ∗ 𝑠2 𝑠2 + 282.8𝑠 + 40000 = 900𝑠2 𝑠2 + 282.8𝑠 + 40000 La función de transferencia dada es de segundo orden, exactamente un filtro Pasa Altos, la cual está definida por la siguiente ecuación general: 𝐻(𝑠) = 𝑠2 𝑠2 + 𝑠 𝑤0 𝑄 + 𝑤0 2 a) Encuentre los valores de la frecuencia natural del sistema 𝑤0 y el coeficiente de amortiguamiento 𝛿 A partir de la ecuación se calcula la frecuencia de corte del filtro pasa altos 𝑤0: 𝑤0 2 = 40000 𝑤0 2 = 40000 𝑤0 = 200 𝑟𝑎𝑑 𝑠
- 5. Se calcula el factor de calidad del filtro 𝑄: 𝑤0 𝑄 = 282,8 𝑄 = 𝑤0 282,2 = 200 282,8 = 0,7072 ≈ 1 2 Se calcula el valor del coeficiente de amortiguamiento 𝛿: 2𝛿 = 1 𝑄 𝛿 = 1 2𝑄 𝛿 = 1 2 ∗ 1 2 = 2 2 = 1 2 Se reescribe la función de transferencia: 𝐻(𝑠) = 𝑠2 𝑠2 + 𝑠 𝑤0 𝑄 + 𝑤0 2 𝐻 𝑠 = 900 ∗ 𝑠2 𝑠2 + 200 1 2 𝑠 + 2002 𝐻 𝑠 = 900 ∗ 𝑠2 𝑠2 + 200 2𝑠 + 2002 a) La ganancia máxima del filtro en dB 𝐺 = 900 𝐺𝑑𝐵 = 20𝐿𝑜𝑔 𝐺 𝐺𝑑𝐵 = 20𝐿𝑜𝑔 900 = 59,08 𝑑𝐵 a) Determine la(s) frecuencia(s) en la cual se presenta la ganancia del sistema Como se está analizando un filtro pasa alto de segundo orden, se tiene una única frecuencia de corte, la cual está por debajo de los 3 dB por debajo de la ganancia máxima. Se calcula la frecuencia de corte para el filtro pasa altos: 𝜔 = 2𝜋𝑓 𝑓 = 𝜔 2𝜋 𝑓0 = 𝜔0 2𝜋 = 200 2𝜋 = 31,83 𝐻𝑧
- 6. d) El ancho de banda El ancho de banda del filtro pasa altos va desde la frecuencia de corte hasta el infinito, en este caso el ancho de banda va desde 31,83 Hz ó su equivalente 200 rad/s hasta el infinito. e) La respuesta al impulso del filtro en el dominio del tiempo (ℎ(𝑡)). 𝑌 𝑠 = 𝐻 𝑠 𝑋(𝑠) 𝐻 𝑠 = 900𝑠2 𝑠2 + 282.8𝑠 + 40000 𝑥 𝑡 = 𝛿(𝑥) 𝑋 𝑠 = 𝐿 𝛿(𝑡) = 1 𝑌 𝑠 = 900𝑠2 𝑠2 + 282.8𝑠 + 40000 ∗ 1 Por tanto, 𝐻(𝑠) = 𝑌 𝑠 = 900𝑠2 𝑠2 + 282.8𝑠 + 40000 Por tanto h(t) es: ℎ 𝑡 = 𝑦 𝑡 = 𝐿−1 900𝑠2 𝑠2 + 282.8𝑠 + 40000 a) La respuesta en estado estable para una entrada 𝑥1 𝑡 = 2 cos 0.01𝑡 + 𝑎 𝑥1 𝑡 = 2 cos 0.01𝑡 + 9 Se conoce que: 𝑥 𝑡 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝜑 De allí se reconoce que: 𝐴 = 2 𝜔 = 0,01 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝜑 = 9° ∗ 𝜋 180° = 0,157 𝑟𝑎𝑑 𝑥1 𝑡 = 2 cos 0.01𝑡 + 0,157
- 7. 𝑌1 𝜔 = 𝐻 𝜔 𝑋1(𝜔) 𝜔 = 0,01 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝐻(𝑠) = 900𝑠2 𝑠2 + 282.8𝑠 + 40000 𝑠 = 𝑗𝜔 𝐻(𝑠) = 900(𝑗𝜔)2 (𝑗𝜔)2+282.8(𝑗𝜔) + 40000 𝐻(𝑠) = −900𝜔2 −𝜔2 + 282.8𝑗𝜔 + 40000 𝐻(0,01) = −900(0,01)2 − 0,01 2 + 282.8𝑗(0,01) + 40000 𝐻(0,01) = −0,09 40000 + 2,828𝑗 Se multiplica tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador: 𝐻 0,01 = −0,09 40000 + 2,828𝑗 ∗ 40000 − 2,828𝑗 40000 − 2,828𝑗 𝐻 0,01 = −0,09 40000 + 2,828𝑗 ∗ 40000 − 2,828𝑗 40000 − 2,828𝑗 𝐻 0,01 = −3600 + 0,255𝑗 40000 2 − 2,828𝑗 2 𝐻 0,01 = −3600 + 0,255𝑗 1,6𝑥109 + 8 𝐻 0,01 = −3600 + 0,255𝑗 1,6𝑥109 = −3600 1,6𝑥109 + 0,255𝑗 1,6𝑥109 𝐻 0,01 = −2,25𝑥10−6 + 1,59𝑥10−10 𝑗 𝑌1 𝜔 = 𝐻 𝜔 𝑋1(𝜔) 𝑌1 𝜔 = 𝐻 0,01 𝑋1(𝜔) 𝑌1 𝜔 = −2,25𝑥10−6 + 1,59𝑥10−10 𝑗 𝑋1(𝜔) 𝑌1 𝑡 = 𝐹−1 −2,25𝑥10−6 + 1,59𝑥10−10 𝑗 𝑋1(𝜔) Se saca la constante de la transformada inversa de Fourier: 𝑌1 𝑡 = −2,25𝑥10−6 + 1,59𝑥10−10 𝑗 𝐹−1 𝑋1(𝜔)
- 8. 𝑌1 𝑡 = −2,25𝑥10−6 + 1,59𝑥10−10 𝑗 𝑥1(𝑡) 𝑌1 𝑡 = −2,25𝑥10−6 + 1,59𝑥10−10 𝑗 2 cos 0.01𝑡 + 0,157 𝑌1 𝑡 = 10−6 −2,25 + 1,59𝑥10−4 𝑗 2 cos 0.01𝑡 + 0,157 𝑌1 𝑡 = −2,25 + 1,59𝑥10−4 𝑗 2𝑥10−6 cos 0.01𝑡 + 0,157 Se obtiene la magnitud y la fase del número complejo: 𝑀𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑 = −2,25 2 + 1,59𝑥10−4 2 = 2,25 𝜃 = 𝜋 𝑟𝑎𝑑 − tan−1 1,59𝑥10−4 −2,25 𝜃 = 𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑌1 𝑡 = (2,25)2𝑥10−6 cos 0.01𝑡 + 0,157 + 𝜋 𝑌1 𝑡 = 4,5𝑥10−6 cos 0.01𝑡 + 𝜋 𝐻(0,01) = 2,25𝑥10−6 ∡ = 𝜋 𝑟𝑎𝑑 g) la respuesta en estado estable para una entrada 𝑥2 𝑡 = 2 cos 200𝑡 + 𝑎 𝑥2 𝑡 = 2 cos 200𝑡 + 0,157 𝐻(𝜔) = −900𝜔2 −𝜔2 + 282.8𝑗𝜔 + 40000 𝜔 = 200 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝐻(200) = −900(200)2 − 200 2 + 282.8𝑗(200) + 40000 𝐻 200 = −3,6𝑥107 5,656𝑥104𝑗 = 3,6𝑥107 𝑗 5,656𝑥104 𝐻 200 = 636,5𝑗 𝐻 200 = 636,5 2 = 636,5 ∡𝐻 200 = tan−1 636,5 0 = 𝜋 2 𝑟𝑎𝑑 = 1,57 𝑟𝑎𝑑 𝑦2 𝑡 = 636,5 ∗ 2 cos 200𝑡 + 0,157 + 1,57 𝑦2 𝑡 = 1273 cos 200𝑡 + 1,727
- 9. h) La respuesta en estado estable para una entrada 𝑥3 𝑡 = 2 cos 1000𝑡 𝑥3 𝑡 = 2 cos 1000𝑡 𝐻(𝜔) = −900𝜔2 −𝜔2 + 282.8𝑗𝜔 + 40000 𝜔 = 200 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝐻(200) = −900(200)2 − 200 2 + 282.8𝑗(200) + 40000 𝐻 200 = −3,6𝑥107 5,656𝑥104𝑗 = 3,6𝑥107 𝑗 5,656𝑥104 𝐻 200 = 636,5𝑗 𝐻 200 = 636,5 2 = 636,5 ∡𝐻 200 = tan−1 636,5 0 = 𝜋 2 𝑟𝑎𝑑 = 1,57 𝑟𝑎𝑑 𝑦3 𝑡 = 636,5 ∗ 2 cos 1000𝑡 + 1,57 𝑦3 𝑡 = 1273 cos 1000𝑡 + 1,57
- 11. LINK DEL VIDEO DE YOUTUBE • https://youtu.be/EukMTuFX9QE • https://www.youtube.com/watch?v=EukMTuFX9QE&feature=youtu.be (en caso de que no lo puedan abrir)
- 12. CONCLUSIONES Durante el desarrollo del ejercicio propuesto, se adquirieron conocimiento sobre los filtros analógicos y se repasaron temas como las transformadas y transformadas inversas de Laplace. Los filtros analógicos son indispensables en muchas situaciones. La parte de entrada de muchos dispositivos de procesamiento digital de señales es un filtro analógico antialias, que limita el contenido de frecuencias de la señal de entrada a un intervalo que pueda manejar el filtro digital.
- 13. BIBLIOGRAFÍA Ambardar, A. (2002). Procesamiento de señales analógicas y digitales: Transformada de Laplace. Cengage Learning, (2nd ed, pp. 330-337). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2081/ps/retrieve.do?resultListType=RELATED_DOCUMENT&userGroupNa me=unad&inPS=true&contentSegment=&prodId=GVRL&isETOC=true&docId=GALE|CX4060300114 Valderrama, F. (2016). Curso de Señales y Sistemas Unidad 3. Duitama: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/9578 Quiroga, J. (2007). Análisis de Fourier: Señales. (pp. 83- 128). Recuperado de https://drive.google.com/file/d/0B7IdP8eYshy8ZHloWmxPRW8yZkE/view
- 14. MUCHAS GRACIAS POR SU ATENCION….