Este documento describe la convolución, una operación matemática que transforma una señal de entrada en una señal de salida. La convolución combina dos funciones mediante una integral o suma. Tiene propiedades como la asociatividad, conmutatividad y distributividad. Se utiliza en diversas áreas como estadística, óptica, acústica e ingeniería.

1. República Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del Poder Popular para la Defensa.
Universidad Nacional Experimental Politécnica
de la Fuerza Armada. UNEFA.
Extensión Carabobo Núcleo Guacara.
Convolución
Integrantes:
Fuentes Rosa.
Camacho Naudy
García Johnny
Pineda Yohel
5 to Semestre Ing. Telecomunicaciones

2. Convolución
Convolución es un artificio matemático
representado por una función, que de forma
lineal y continua, transforma una señal de
entrada en una nueva señal de salida.
La función de convolución se representa
por medio de *.

3. Una convolución convierte dos funciones f
y g en una tercera función para representar de
alguna forma la magnitud donde se
superponen f y una versión trasladada e
invertida de g.
En un sistema unidimensional, se dice que
g(x) convoluciona f(x) cuando

4. Uso de la Convolución.
Estadística: un promedio móvil ponderado es
una convolución.
Teoría de la probabilidad: la distribución de
probabilidad de la suma de dos variables
aleatorias independientes es la convolución de
cada una de sus distribuciones de probabilidad.

5. Óptica: muchos tipos de "manchas" se describen con
convoluciones.
Una sombra ( la sombra en la mesa cuando tenemos
la mano entre ésta y la fuente de luz) es la
convolución de la forma de la fuente de luz que crea
la sombra y del objeto cuya sombra se está
proyectando.
Una fotografía desenfocada es la convolución de la
imagen correcta con el círculo borroso formado por el
diafragma del iris.

6. Acústica: un eco es la convolución del sonido
original con una función que represente los
objetos variados que lo reflejan.
Física: allí donde haya un sistema lineal con
un "principio de superposición", aparece una
operación de convolución.

7. Ingeniería eléctrica y otras disciplinas: la
salida de un sistema lineal (estacionario o bien
tiempo-invariante o espacio-invariante) es la
convolución de la entrada con la respuesta del
sistema a un impulso

8. Propiedades de la Convolución

9. Ley Asociativa.
Implicación gráfica de la propiedad de
asociatividad de la convolución.

10. Asociatividad con multiplicación escalar
para todo número complejo o real a.

11. Ley Conmutativa
y(t) = f(t) *h(t)
=h(t) *f(t)
Para probar la ecuación 2, lo único que
tenemos que hacer es un pequeño cambio de
variable en nuestra integral de convolución (o
suma),
y(t) =∫−∞∞f(τ) h(t−τ) dτ

12. Dejando τ=t−τ, podemos mostrar fácilmente que la
convolución es conmutativa:
y(t) = ∫−∞∞f(t−τ) h(τ) dτ
= ∫−∞∞h(τ) f(t−τ) dτ
∫−∞∞h(τ) f(t−τ) dτ
f(t) *h(t) =h(t) *f(t)
La figura muestra que ambas funciones pueden ser vistas como
entradas del sistema mientras lo otro es la respuesta al impulso.

13. Ley Distributiva.

14. Regla de derivación
donde Df denota la derivada de f o, en el caso
discreto, el operador diferencia

15. Propiedad de Desplazamiento
Para c(t) =f(t) *h(t) , entonces
c(t−T) =f(t−T) *h(t)
y
c(t−T) =f(t) *h(t−T)
Demostración Gráfica de la propiedad de desplazamiento

16. Convolución con Impulso Unitario
f(t) *δ(t) =f(t) (9)
Para este demostración, dejaremos que δ(t)
sea el impulso unitario localizado en el origen.
Usando la definición de convolución
empezamos con la integral de convolución
f(t) *δ(t) =∫−∞∞δ(τ) f(t−τ) dτ

17. De la definición del impulso unitario,
conocemos que δ(τ) =0 siempre que τ≠0.
Usamos este hecho para reducir la ecuación
anterior y obtener lo siguiente:
f(t) *δ(t) = ∫−∞∞δ(τ) f(t) dτ
= f(t) ∫−∞∞(δ(τ) ) dτ

18. La integral de δ(τ) solo tendrá un valor
cuando τ=0 (de la definición del impulso
unitario), por lo tanto esa integral será igual a
uno. Donde podemos simplificar la ecuación
de nuestro teorema:
f(t) *δ(t) =f(t) (12)
Las figuras y ecuaciones anteriores, revelan
la función identidad del impulso unitario.

19. Ancho
En tiempo continuo, si la Duración(f1) =T1
y la Duración (f2) =T2 , entonces
Duración(f1*f2) =T1+T2

20. En tiempo continuo, la duración de la convolución resulta
igual a la suma de las longitudes de cada una de las dos
señales convolucionadas
En tiempo discreto si la Duración (f1) =N1 y la Duración
(f2) =N2 , entonces Duración(f1*f2) =N1+N2−1 (14)

21. Causalidad
Si f y h son ambas causales, entonces f*h
también es causal.
Teorema de Convolución
donde denota la Transformada de Fourier de f.
Este teorema también se cumple con la
Transformada de Laplace.