El documento explica el Teorema de Varignon, el cual establece que si se unen los puntos medios de los lados de un cuadrilátero, se forma un paralelogramo cuya área es la mitad del área original del cuadrilátero. El teorema se demuestra dividiendo el cuadrilátero original en cuatro triángulos y notando que el área total de los triángulos es el doble del área del paralelogramo formado.

1. UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE-L
CARRERA DE INGENIERÍA MECATRÓNICA
Teorema de Varignon
Ing. Diego Proaño
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA ENERGÍA Y MECÁNICA
FISICA CLÁSICA
Luis Alban

2. El segmento que une los puntos medios de dos lados de
un triángulo es paralelo al tercero y tiene la mitad de su
longitud
Teorema del segmento medio

3. Triángulo ABC

4. Lado BY=Ya y el Lado BX=ZA
Trazamos la paralela BC que pasa por A
Sea Z el punto de intersección con la paralela BC
Opuestos por el vértice
∡𝐵𝑌𝑋 = ∡ZYA

5. 𝐶𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝐴𝐿𝐴 △ 𝐵𝑋𝑌 ≅△ YZA

6. Lado BX=XC
Lado XC=ZA
XZ∥ 𝐶𝐴

7. XZ∥ 𝐶𝐴
BC∥ 𝑍𝐴
CAZX es paralelogramo

8. Qué es el teorema de Varignon
El teorema de Varignon tiene sus
bases en la geometría euclidiana.
A través del enunciado se
establece que se puede formar un
paralelogramo a partir de la unión
de los puntos medios de un
cuadrilátero

9. Teorema de Varignon
Si ABCD es un cuadrilátero y P ,Q ,R y S son los puntos medios de
AB,BC,CD y AD respectivamente, entonces PQRS es un paralelogramo
cuya área es la mitad de ABCD

10. Teorema de Varignon
Sea P,Q,R,S los puntos medios de AB ,BC ,CD y
DA respectivamente

11. Teorema de Varignon
Trazamos BD
𝑃𝑆 ∥ 𝐵𝐷
𝑄𝑅 ∥ 𝐵𝐷
𝑃𝑆 ∥ 𝑄𝑅

12. Teorema de Varignon
Trazamos AC
PQ ∥ 𝐴𝐶
SR ∥ 𝐴𝐶
PQ∥ 𝑆𝑅

13. Teorema de Varignon
PQ ∥ 𝑆𝑅 y PS ∥ QR

14. Teorema de Varignon
Trazamos las diagonales AC y BD

15. Teorema de Varignon
Nombramos a los nuevos puntos de
intersección

16. Teorema de Varignon
A1= área de SA'OD’⟹ área∆ 𝐷𝐴𝑂 = 2(𝐴1)
A2= área de A’PB’Q⟹ área∆ 𝐴𝑂𝐵 = 2(𝐴2)
A3= área de OB’QC’⟹ área∆ 𝑂𝐵𝐶 = 2 𝐴3
A4= área de OC’RD’⟹ área∆ 𝑂𝐶𝐷 = 2(𝐴4)

17. Teorema de Varignon
La suma de los paralelogramos SA’OD,A’PB’Q,QB’QC’ y OC’RD'
Área PQRS=A1+A2+A3+A4

18. Teorema de Varignon
La suma de las áreas de los triángulos DAO,AOB,OBC,OCD
Área ABCD=2(A1)+ 2(A2)+ 2(A3)+ 2(A4)
Área ABCD=2(A1+A2+A3+A4)

19. Teorema de Varignon
Área PQRS=A1+A2+A3+A4
Área ABCD=2(A1+A2+A3+A4)
Área ABCD=2(área PQRS)

20. Teorema de Varignon
El momento de la fuerza resultante alrededor del punto puede ser
determinado mediante la suma de cada uno de los momentos de las
fuerzas individuales respecto al mismo punto.