Este documento presenta información sobre un curso de probabilidad y estadística dictado por el Ingeniero Hilario Olmedo Jiménez a 5 alumnos. Se detalla el semestre, grupo, especialidad y ciclo escolar al que corresponde el curso. Además, introduce algunos conceptos básicos sobre el origen de la probabilidad y experimentos aleatorios.

1. TITULAR DE LA MATERIA:
Ing. Hilario Olmedo Jiménez.
ALUMNOS:
Benjamín García Vera
Lizneydi Díaz Martínez.
Nilsa Ortiz Zurita.
Eduardo de Jesús Martínez Díaz.
Mario Chávez
IV SEMESTRE GRUPO: “C”
ESPECIALIDAD: TÉCNICO EN INFORMÁTICA.
CICLO ESCOLAR:
AGOSTO 07 - JULIO 08

2. Origen de la Probabilidad…
La probabilidad nació gracias a los juegos de azar.
En el Renacimiento empiezan a surgir inquietudes entorno
a contabilizar el número de posibles resultados de un dado
lanzado varias veces, o problemas más prácticos sobre
cómo repartir las ganancias de los jugadores cuando el
juego se interrumpe antes de finalizar.
A los matemáticos del siglo XVI como Pacioli, Cardano y

3. ejemplo: El lanzamiento de una moneda, el
un dado, extracción de una carta de un mazo d
de la frecuencia con la que se obtiene un result
conjunto de resultados) al llevar a cabo un
torio, del que se conocen todos los resultad
o condiciones
cientemente estables.

5. La probabilidad de un evento es la razón entre el número
de casos (sucesos) favorables y el numero total de casos
(sucesos) posibles, siempre que nada obligue a creer
que algunos de estos sucesos debe tener preferencia a
los demás, lo que hace que sean igualmente posibles.
La probabilidad de un evento A: P (A), es un NÚMERO,
que mide el grado de certeza en el que un evento A
ocurre, y se obtiene con la formula conocida como
REGLA DE LAPLACE:

6. Ejemplo 1 : En la gran final del concurso por TV, la concursante elige un sobre.
Solución:
EA = La concursante
elige un sobre
Ω = {sobre A, sobre B}
A = elegir el sobre A
(para ganar el auto)
P(A)=1/2
B = elegir el sobre B
(para ganar la casa)
P(B)=1/2

7. Si un experimento bien definido se repite n veces (n
grande); sea nA < n el número de veces que el evento A
ocurre en los n ensayos, entonces la frecuencia relativa
de veces que ocurre el evento A “nA /n”, es la estimación
de la probabilidad que ocurra el evento A, o sea:P(A)=
nA /n
OBSERVACIONES:
1. La frecuencia relativa de un evento, esta comprendido entre 0 y 1.
Por lo tanto 0 ≤ P(A) ≤ 1.
En efecto: Desde que 0 ≤ nA ≤ 1, 0/n ≤ nA /n ≤ 1, se tiene que 0 ≤
nA /n ≤ 1.
Luego, 0 ≤ P(A) ≤ 1.
2. nA /n = 0, si solo si, en las n repeticiones del experimento el evento

8. Ejemplo 2: En la siguiente tabla se muestra el resultado de una moneda para un
determinado número de lanzamientos:.
Lanzar
moneda
30 veces 50 veces 70 veces 100 veces
Número de
caras
11 19 32 47
Frecuencia
11/30=
0,366
19/50=0,
38
32/70=0,4
57
47/100=0,
47
Observamos que a medida que se aumenta la cantidad de lanzamientos las
frecuencias relativas de salir cara, se van acercando a un número
determinado muy próximo a la probabilidad.
P(c) = 1/2 = 0,5

9. Dice que la probabilidad de ocurrencia
de un evento es el grado de creencia
por parte de un individuo de que un
evento ocurra, basado en toda la
evidencia a su disposición. Bajo esta
premisa se puede decir que este
enfoque es adecuado cuando solo hay
una oportunidad de ocurrencia del
evento. Es decir, que el evento ocurrirá
o no ocurrirá esa sola vez. El valor de

10. Cada experimento aleatorio tiene varios
resultados posibles y podemos describir
con precisión el conjunto de estos
resultados posibles. Llamaremos Espacio
Muestral asociado a un experimento
aleatorio, al conjunto de todos los
resultados posibles de dicho experimento
aleatorio, y lo denotamos con Ω.
Espacio Muestral ( ):Ω Conjunto de todos los
posibles resultados de un experimento estadístico.

11. Ejemplo 1:
E.A. = Lanzar una moneda.
Ω. = { cara, sello }
Ejemplo 2:
E.A. = Un partido de fútbol entre los equipos:
Rojo y Verde.
Ω = Gana el equipo rojo,
Gana el equipo verde,
Empatan.

12. A uno o más de los resultados
posibles del espacio muestral,
se les denomina Evento o
Suceso, y se simboliza con
las letras mayúsculas: A, B,
C, …
Suceso o Evento: Es un
subconjunto del espacio muestral.

14. Evento elemental: Es cada uno de los
resultados posibles del espacio muestral.
A cada elemento del espacio muestral,
se le conoce con el nombre de evento
elemental, y se simboliza con e1, e2,…

15. Ejemplo 1: En el espacio muestral del partido de
Fútbol entre equipo Rojo y Verde se tienen 3 eventos
elementales:
e2 = gana el equipo rojoe1 = gana el equipo verde e3 = empatan

16. Evento imposible: Evento que no ocurre
nunca en un experimento aleatorio.
Algunos eventos nunca pueden ocurrir
en el experimento aleatorio, y por eso se
llama
imposible. Se simboliza con Ø.

17. Ejemplo 1: EA = Un partido de fútbol entre el equipo Rojo y Verde.
Ω = {e1, e.2, e3}
El evento:
A = Que gane el equipo lila, es un evento imposible.

18. Evento seguro: Evento
que “siempre ocurre” en
un experimento aleatorio.
Los eventos que siempre suceden en el
experimento aleatorio, son llamados
eventos seguros.

19. Ejemplo 1:
En un partido de fútbol entre equipos Rojo y Verde, un evento seguro es que
uno de los equipos inicia el partido.
Ejemplo 2:
En el experimento aleatorio: Sacar una bola roja, de una urna que contiene 6
bolas rojas, el evento B = Sacar una bola roja es un evento seguro, pues todas
son rojas.
Otros ejemplos:
• Al lanzar un dado con las caras numeradas del 1 al 6
obtener un número entero positivo menor que 7,
es un evento seguro.
• Al soltar una piedra ésta caerá., es un evento
seguro.

20. Cuando se considera un evento A, el
evento que contiene todos los eventos
elementales del espacio muestral que no
estén en A se denominara Evento
Complementario. Se simbolizara con Ā.

21. Ejemplo 1:
EA = Lanzar una moneda
Ω = { cara, sello }
A = obtener cara
Ā = obtener sello
Ejemplo 2:
EA = Lanzar un dado
Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Consideremos el evento A: obtener 6 puntos.
A = { 6 }
Ā = {1, 2, 3, 4, 5}, es el complemento del evento A.
Siempre que sumemos el evento A y su complemento Ā,
tendremos el espacio muestral Ω.
A + Ā = Ω

23. En la vida podemos encontrar situaciones que no se pueden predecir, como
cuando se realiza un partido de fútbol, se lanza una moneda, etc. En todos estos
casos no sabemos que resultado se tendrá y por eso a estas situaciones se les
llama "experimentos aleatorios".
Un experimento aleatorio, tiene dos propiedades en común:
• Uno de estas es que cada experimento tiene varios resultados posibles que
pueden especificarse de antemano.
• La segunda propiedad es que estamos inciertos acerca del resultado de cada
experimento.
Experimento Aleatorio (E. A.):
Situación en la que no sabemos que resultado se
tendrá.

24. Un partido de fútbol, se considera un
experimento estadístico pues estamos
inciertos si gana el equipo Verde, el equipo
Rojo o empatarán.
Más ejemplos de experimentos aleatorios:
• Conocer el número de alumnos que faltaran a clases, la próxima semana.
• Recepcionar a un paciente y escribir el nombre del médico con el que será
atendido.
• Preguntar a un profesor de secundaria la especialidad que tiene
(Matemática,
Química, Biología, etc.) y anotarlo.
• Verificar el estado de un foco en un edificio (apagado o prendido).
• Verificar la legalidad de un billete de $100 (legal o falso).
• Realizar una rifa para obtener 3 premios.
• Aplicar una encuesta para conocer opiniones.

25. Son aquellos en donde no hay
incertidumbre acerca del resultado
que ocurrirá cuando éstos son
repetidos varias veces.

27. REGLA DE LA ADICIÓN.
Cuando se tienen dos eventos A
y B, y se desea que ocurra A o
que ocurra B, se suman las
probabilidades de cada evento,
se simboliza:
P (A+B)

28. Dos eventos A y B definidos en
el mismo espacio muestral son
excluyentes si NO PUEDEN
OCURRIR JUNTOS. Es decir,
la ocurrencia de uno EXCLUYE
de la ocurrencia del otro. En
símbolos si P (A B)= Ø∩
Eventos excluyentes
P(A + B)= P(A) + P(B)

29. Ejemplo
:
Ejemplo 1: En el experimento aleatorio lanzar un dado común.
Halle la probabilidad de obtener un nº impar o 6 puntos.
Solución:
EA: Lanzar 1 dado
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = obtener Nº impar = { 1, 3, 5 }
B = obtener 6 puntos = { 6 }
(A ∩ B)= Ø, Probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B.
Luego los eventos son excluyentes.
Aplicamos la Regla de la adición, para eventos excluyentes:
P(A + B)= P(A) + P(B)
Hallamos la probabilidad de cada evento con la Regla de Laplace:
P(A + B)= 3/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3 = 0,66

30. Gráficamente:

31. Dos eventos A y B no son
excluyentes si pueden ocurrir
juntos.
Es decir la ocurrencia de uno no
excluye la ocurrencia del otro.
En símbolos (A ∩ B) ≠ ØP(A + B)= P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

32. Ejemplo 2: En el experimento aleatorio: Lanzar un dado,
hallar la probabilidad de obtener un nº par o 6 puntos.
Solución:
EA: Lanzar 1 dado
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = obtener nº par = { 2, 4, 6 }
B = obtener 6 puntos = { 6 }
A ∩ B = { 6 }, luego los eventos no son excluyentes.
Aplicamos la Regla de la adición ,para eventos excluyentes:
P(A + B)= P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Hallamos la probabilidad de cada evento ,con la Regla de
Laplace:
P(A + B)= 3/6 + 1/6 – 1/6 = 0,5
P(A + B)= 0,5

33. Gráficamente:

34. Regla De La
Multiplicación
Si se consideren
los eventos A y B,
y se quiere obtener
la probabilidad de
que ocurra A y que

35. Dos eventos A y B son dependientes, si un evento
influye en el otro evento
Observamos que el hecho de que suceda el evento
A influye en la probabilidad del suceso B, es decir la
probabilidad del suceso B depende de que A se
haya realizado o no, esto se expresa como P
(B/A).
Cuando ocurre esto, diremos que los sucesos A y B
son dependientes.
P(AB) = P (A) * P (B/A)

36. En una baraja hay 52
cartas de las cuales 4
son ases. Si realizamos
dos extracciones, una a
continuación de otra sin
devolverlas,
¿Cuál es la
probabilidad de obtener
2 ases?

37. Consideremos los siguientes sucesos:
A: Sacar un As en la primera extracción.
B: Sacar un As en la segunda extracción.
A y B son dependientes, pues no se reemplazan las cartas, pues el número de
cartas va disminuyendo, por lo que el evento B tiene menos probabilidades de
ocurrir que A.
Aplicamos la Regla de la multiplicación, para eventos dependientes:
P(AB) = P (A) * P (B/A)
Al sacar un As en la primera extracción sólo quedan 3 ases y un total de 51
cartas, por lo que se tiene: P (B/A) = 3/51.
Hallamos la probabilidad de cada evento con la Regla de Laplace:
P(AB) = (4/52) (3/51) = 12/2652=0,0045.
Respuesta: La probabilidad de obtener 2 ases es 0,0045.

38. Probabilidad
de
Eventos
independientes
Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-
ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de
ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos
independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez
tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se
obtuvo.
Por ejemplo :
Lanzar al aire dos veces una
moneda son eventos
independientes por que el
resultado del primer evento no
afecta sobre las probabilidades
efectivas de que ocurra cara o
sello, en el segundo

39. Se llama probabilidad condicional de A dado B, y se escribe
P (A/B), al cociente que se obtiene dividiendo la probabilidad
de la intersección de A y B entre la probabilidad de B:
Sean A y B dos eventos asociados con un experimento
aleatorio. Consideremos que ya ocurrió el evento B y que
p (B) > 0.
Bajo estas condiciones se establece la siguiente definición:
P(A ∩ B)
P (A / B) =
P(B)

40. Ejemplo 1:
Los resultados presentados por la encuestadora de la Sala de Internet, se presentan
en la siguiente tabla:
Hallar las
probabilidades de
elegir un estudiante
de la sala de
Internet que:
a) Use Internet para
buscar información,
en el supuesto de
que sea hombre
b) Use Internet para
Chat, en el supuesto
que sea mujer.

41. a) Use Internet para buscar información, en el supuest
de que sea hombre

42. b) Use Internet para Chat, en el supuesto que sea
mujer.

43. P (BI/H) =
P (H) = 9/20
P (BI ∩ H) = 5/20
= 100/180
P (C/M) =
P (M) = 11/20
P (C ∩ M) = 3/20
= 60/220

44. Es un ejemplo de distribución de probabilidad discreta. Las
características que debe cumplir una distribución de
probabilidad para considerarse binomial, son:
• El resultado de cada ensayo dentro del experimento
se clasifica en dos categorías mutuamente excluyentes:
éxito o fracaso.
• La variable aleatoria cuenta el número de éxitos en
un número fijo de ensayos.
• La probabilidad de éxito permanece igual para todos
los ensayos. Lo mismo ocurre con la probabilidad de
fracaso.
• Los ensayos son independientes. La ocurrencia de
uno no afecta la probabilidad de ocurrencia de otro.

45. La expresión matemática de este tipo de
distribución es la siguiente:
Donde:
C = denota una combinación
n = es el número de ensayos
x = es el número de éxitos
p = es la probabilidad de cada ensayo
P ( X ) = n
Cx
px
(1 – p) n –
x

46. Un ejemplo en el que se usa la distribución binomial es el siguiente:
Cada día Aeroméxico tiene 5 vuelos México – Colima. Supón que para cada
vuelo, la probabilidad de que este se retrase es de 0.20.
¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los vuelos se retrase?
¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 1 vuelo se retrase?
La probabilidad de que ninguno de los vuelos se retrase es de 0.3277 ó 33%
P ( X ) = nCx px (1 – p) n – x
P ( 0 ) = 5C0 (0.20)0 (1 – 0.20) 5 – 0
P ( 0 ) = (1) (1) (0.3277)
P ( 0 ) = 0.3277
b) La probabilidad de que exactamente un vuelo se retrase es de 0.4096 ó 41%
P ( X ) = nCx px (1 – p) n – x
P ( 1 ) = 5C1 (0.20)1 (1 – 0.20) 5 – 1
P ( 1 ) = (5) (0.20) (0.4096)
P ( 1 ) = 0.4096