Ejercicio 12.19 Métodos dinámicos en Economía de Lomelí y Rumbos (2004)

1. Equipo T-Económica
Lomelí y Rumbos (2003) Métodos Dinámicos en Economía
Problema 12.19 Gasto Gubernamental
1
Sea la función de producción , = . El problema del planeador social
es:
max lim
⟶ 1 −
(1)
sujeto a:
1 − = + ′
a. Encontrar la ecuación que define la evolución del consumo
La función de Lagrange es:
ℒ , , , $
, % =
1 −
+ % $
+ − 1 − (2)
Sean las condiciones de primer orden (Principio del Máximo)
&ℒ
&
= + % = 0 (3)
&ℒ
&
= (
&ℒ
& ′
) ⟹ −% 1 − + 1 − = %′ (4)
&ℒ
&%
= $
+ − 1 − = 0 (5)
a partir de (3) obtenemos que:
% = ⟹ %$
= $
+ , (6)
remplazando (6) en (4) obtenemos la ecuación que define la evolución del con-
sumo:
- =
′
=
1
. 1 − + 1 − ( ) − ,/ (7)
b. Remplazar la restricción presupuestaria del gobierno = , .
Sea =
= ⟺ 1 − = 0
= 0 ∨ 1 − = 1 − ( ) = 0

2. Equipo T-Económica
Lomelí y Rumbos (2003) Métodos Dinámicos en Economía
Problema 12.19 Gasto Gubernamental
2
= = , (8)
y remplazando (8) en (7) se tiene:
- =
′
=
1
3 1 − + 1 − − ,4 (9)
c. Encontrar que maximiza -.
El problema planteado es el siguiente:
max
5
- =
1
3 1 − + 1 − − ,4 (10)
Para simplificar el álgebra haremos el siguiente cambio en la notación 6 =
,
entonces, las condiciones de primer orden son:
-$
=
1
1 − + 7− 8
+ 6 1 − 8
9 = 0
expresión que podemos reducir a:
8
(−1 + 6
1 −
) = 0
como 8
≠ 0 entonces:
−1 + 6
1 −
= 0
despejando tenemos:
∗
=
6
1 + 6
= +
d. Ahora = + + ′.
El nuevo problema a resolver es:
max lim
⟶ 1 −
(11)
sujeto a:
= + + ′
siendo la función de Lagrange:

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Lomelí y Rumbos (2003) Métodos Dinámicos en Economía
Problema 12.19 Gasto Gubernamental
3
ℒ , , , $
, % =
1 −
+ % $
+ + −
y las condiciones de primer orden:
&ℒ
&
= + % = 0 (12)
&ℒ
&
= % 1 − + = 0 (13)
&ℒ
&
= (
&ℒ
& ′
) ⟹ −% 1 − + = %′ (14)
&ℒ
&%
= $
+ + − = 0 (15)
de (12) obtenemos
% = − ⟹ %$
= $
+ , (16)
remplazando (16) en (14) obtenemos la nueva evolución del consumo (17).
- =
′
=
1
. 1 − + ( ) − ,/ (17)
que junto con la ecuación (15) obtenemos el siguiente sistema diferencial:
′ = . 1 − + ( ) − ,/
(18)
$
= − −
e. Obtener como antes - ¿es ésta menor o mayor que la tasa obtenida anterior-
mente? Interpretar.
Por simple inspección, puede observarse que la expresión (17) es mayor que la
obtenida en (7) por la presencia del factor 1 −