1. Universidad del Valle
Probabilidad y estadística
Problemas con solución
4) La contaminació n de aire en Cali es causada principalmente por la industria y por
los exhaustos de los automotores. Se ha elaborado un plan de cinco años para
controlar la contaminació n. Pero, nada es seguro. Las probabilidades de control
exitoso (en los pró ximos cinco años) de la contaminació n industrial es del 75%. Para
la contaminació n causada por los automotores es del 60%. Los planificadores aceptan
que controlar una sola de estas fuentes, es de por sí un gran logro y creen que si esto
ocurriera (control de una sola de las fuentes) entonces la probabilidad de alcanzar un
nivel aceptable de contaminació n es del 80%. (Adaptado de probabilidad y estadística
para ingenieros civiles)
¿Cuál es la probabilidad de control exitoso de la contaminació n para los pró ximos
cinco años?
2.
3. 1) Un equipo electrónico emite 10 señalespor segundo, independientes, de
dostipos α y β, con probabilidadesrespectivas: r y s (r + s =1). Calcule la
probabilidad de lossiguienteseventos:
A: ‘las tresprimerasseñalessonidénticas’ B: ‘Enlas primerascinco señales
aparecenmásalfas que betas’ C: ‘Sólo aparece una señal beta enel primer
segundo’ D: ‘Enel primer segundo aparecenexactamente 6 alfas’ E: ‘En
las primerascinco décimas de segundo no aparecendosbetasjuntas’ *
(opcional)
Las probabilidadesde los eventos A, B, C, D se pueden calcular por
argumentoscombinatorios tal como lo vimosen clase, permítame
recordarlas:
𝑃( 𝐴) = 𝑟3
+ 𝑠3
𝑃( 𝐵) = 𝑟5
+ (
5
4
)𝑟4
𝑠 + (
5
3
) 𝑟3
𝑠2
𝑃( 𝐶) = 10𝑟𝑠9
𝑃( 𝐷) = (
10
6
) 𝑟6
𝑠4
Para encontrar P(E) no vemosfácil encontrar un argumento
combinatorio; entoncesprocedemoscon el otro tipo deargumentosque
vimosen el curso: los argumentosrecursivos. O sea investigamosque
pasa con 1, 2, 3, …, n señales e intentamos armar unaregla recursiva(no
deben aparecer dosbetas seguidas):
Si n=1 tenemosdosseñales posibles: ( 𝛼, 𝛽)
Si n=2 tenemostres señales: ( 𝛼𝛼, 𝛼𝛽, 𝛽𝛼)
Si n=3 hacemostoda la lista de las 8 posibles señales y encontramosque
cumplen: ( 𝛼𝛼𝛽, 𝛽𝛼𝛽, 𝛼𝛼𝛼, 𝛼𝛽𝛼, 𝛽𝛼𝛼)
Y aquí vieneel argumento recursivo paran: (la parte clave del asunto)
4. Para n copiamos la lista con (n-2) y le agregamos al final ( 𝛼𝛽), y luego
copiamosla lista con (n-1) y le agregamos un ( 𝛼), así paran=3
tendríamos:
( 𝛼, 𝛽) 𝛼𝛽 ∪ ( 𝛼𝛼, 𝛼𝛽, 𝛽𝛼) 𝛼 = ( 𝛼𝛼𝛽, 𝛽𝛼𝛽, 𝛼𝛼𝛼, 𝛼𝛽𝛼, 𝛽𝛼𝛼)
Funcionatambién paran=4 a partir de n=3 y n=2;
Y el argumento recursivo lo podríamosplantear deesta manera:
Sea 𝑝 𝑛 la probabilidad de queen unacadenade n símbolos (alfas y betas)
no haya dosbetas seguidas:
𝑝 𝑛 = { 𝑟 + 𝑠} 𝑠𝑖 𝑛 = 1
𝑟2
+ 2𝑟𝑠 𝑠𝑖 𝑛 = 2
𝑟𝑠𝑝 𝑛−2 + 𝑟𝑝 𝑛−1 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜}
Así, tenemos 𝑝3 = 𝑟𝑠( 𝑟 + 𝑠) + 𝑟 (𝑟2
+ 2𝑟𝑠) = 𝑟3
+ 3𝑟2
𝑠 + 𝑟𝑠2
𝑝4 = 𝑟4
+ 4𝑟3
𝑠 + 3𝑟2
𝑠2
y finalmenteencontramosla respuesta: 𝑝5 = 𝑟5
+ 5𝑟4
𝑠 + 6𝑟3
𝑠2
+ 𝑟2
𝑠3
Aquícaemos en cuenta que podríamoshaber suministrado un argumento
combinatorio: si son cinco señales y no deben ir dosbetas seguidas,
entonces, pueden resultar 0 betas: de 1 manera (todas alfas) ∪ 1 betas (5
maneras) ∪ 2 betas (6 maneras) ∪ 3 betas (1 manera): 𝛽𝛼𝛽𝛼𝛽
2) Se rifa un premio entre A, B, C y D. El árbitro piensa para sí un número
del 1 a 4. Le dice sucesivamente a A que lo adivine, luego si A no tiene éxito
le dice a B y así sucesivamente hasta que llega a D. Son estudiantes de
ingeniería y por lo tanto tienen buena memoria. D protesta al presumir que
lleva una desventaja, entonces: ¿EsDun buen estudiante de probabilidad ?
En el problemadela rifaentre cuatro personas, en clase se explicó porque
todos tienen la mismaprobabilidad cuando escuchan las respuestas
dadaspor los concursantesanteriores. (se puedeexplicar por un árbol de
5. probabilidades) ¿pero, qué pasa cuando el concursantele dice al arbitro
el número en secreto, y la rifa continua ﹣en rondas ﹣ hasta que alguno de
los concursantesgana? ¿AquíD si debería protestar?
Con estas nuevascondiciones calculemosla probabilidad de que gane A:
P(‘GaneA’)=
1
4
+ (
3
4
)
4
(
1
3
) + (
3
4
)
4
(
2
3
)4
(
1
2
) + (
3
4
)
4
(
2
3
)4
(
1
2
)
4
=
100
256
De la mismamanera se pueden calcular las probabilidadesde quelas
otras personasganen: 𝑃( 𝐵) =
70
256
; 𝑃( 𝐶) =
50
256
; 𝑃( 𝐷) =
36
256
Es naturalque D proteste
