Este documento contiene un examen de variable compleja con 3 preguntas: 1) Calcular una integral circular y mostrar que otra integral es igual a 2π. 2) Probar que la integral de cos(x2) entre 0 y 1 es igual a √π/2. 3) Demostrar que si una función f(z) es analítica y acotada por M dentro de un disco, sus derivadas cumplen que |f(n)(z)| ≤ MRn!/(R-|z|)n+1 cuando |z| < R.

1. QUIZ DE VARIABLE COMPLEJA
UNIVERSIDAD DE CUNDINAMARCA
SEGUNDO CORTE
03-OCTUBRE-2014
INTEGRANTES
Nury Alejandra Gomez Bola~nos cod: 171209110
1. Calcule
Z
jzj=1
ekzn
z
con n entero positivo. Ahora, muestre que
Z 2
0
ekcos(n)cos(ksen(n))d = 2
.
SOLUCION:
Como jzj = 1 es el circulo unitario entonces:
z = ei
dz = ieid
para 0 2. Tenemos que
Z 2
0
ek(ei)n
ei ieid
= i
Z 2
0
ek(ei)n
d
= i
Z 2
0
ekeni
d
= i
Z 2
0
ek(cos(n)+isen(n)d
= i
Z 2
0
ek(cos(n))eik(sen(n))d
= i
Z 2
0
ek(cos(n)) [cos(ksen(n)) + isen(ksen(n))] d

2. = i
Z 2
0
ek(cos(n))cos(ksen(n))d + i
Z 2
0
ek(cos(n))sen(ksen(n))d
Calculando Z
jzj=1
ekzn
z
Tenemos
f(z0) =
1
2i
Z
jzj=1
ekzn
z z0
= 2i
Entonces
2i = i
Z
ek(cos(n))cos(ksen(n))d
Z
ek(cos(n))sen(ksen(n))d
Por criterio de la integral de Cauchy
2 =
Z
ek(cos(n))cos(ksen(n))d
2 =
Z
ek(cos(n))cos(ksen(n))d
.
2. Pruebe que
Z 1
0
cos(x2)dx =
p
2
p
2
Sugerencia: f(z) = ez2a lo largo de 0 jzj R, 0 arg(z) =4.
SOLUCION:
Sea f(z) parametrizada por
f(z) = e
h
x(
p
2
2
i
p
2
2 )
i2
para x [0;R],
f(z) = e[Rei]2
para [0;R] y
f(z) = e[2Rt]2
para t [R; 2R]
las integrales generadas por la parametrizacion son
Z R
0
e
h
x(
p
2
2
i
p
2
2 )
i2
(
p
2
2
i
p
2
2
)dx +
Z R
0
e[Rei]2
d
Z 2R
R
e[2Rt]2
dt = 0(1)
2

3. solucionando las integrales por separado tenemos
INTEGRAL I:
R h
p
p
R
x(
2
ei
2
0 2
2 )
i2
(
p
2
2 i
p
2
2 )dx
pero (
p
2
2 i
p
2
2 ) = ei
4 = 1
ei4
entonces
=
Z R
0
ex2
hp
2
2
i
p
2
2
i2
1
ei
4
dx
=
1
ei
4
Z R
0
ex2
hp
2
2
i
p
2
2
i2
dx
=
1
ei
4
Z R
0
ex2
h
(
p
2
2 )22(
p
2
2 )(i
p
2
2 )+(
p
2
2 i)2
i
dx
=
1
ei
4
Z R
0
ex2
h
1
2
2(
p
2
2 )2i+(
p
2
2 )2i2
i
dx
=
1
ei
4
Z R
0
ex2[ 1
2
2 )i+(1
2 )(1)]dx
2( 1
=
1
ei
4
Z R
0
ex2[ 1
2
2 ]dx
i1
=
1
ei
4
Z R
0
ex2[i]dx
=
1
ei
4
Z R
0
eix2
dx
INTEGRAL II:
R R
0 e[Rei]2
iRei
d
=
Z R
0
eR2e2i
iRei
d
=
Z R
0
eR2[cos(2)+isen(2)]
iRei
d
=
Z R
0
eR2cos(2)eR2isen(2)
iRei
d
=
Z R
0
eR2cos(2)
iRei
d
cos(R2sen(2)) isen(R2sen(2))
=
Z R
0
eR2cos(2)
iRei
d i
cos(R2sen(2)
Z R
0
eR2cos(2)
iRei
d
sen(R2sen(2))
Como se puede acotar a eR2cos(2) [cos(R2sen(2)]
iRei
entre dos funciones que van para
cero
3

4. eR2cos(2) eR2cos(2)
iRei
cos(R2sen(2)
eR2cos(2)
se puede decir que
Z R
0
eR2cos(2)
iRei
cos(R2sen(2)
d = 0
y por la misma justi

5. cacion anterior
eR2cos(2) eR2cos(2)
iRei
sen(R2sen(2))
eR2cos(2)
Entonces
Z R
0
eR2cos(2)
iRei
sen(R2sen(2))
d = 0
INTEGRAL III:
R 2R
R e[2Rt]2
-
dt = I
x = 2R t
dx = dt
I =
Z 0
R
ex2
dx
I =
Z R
0
ex2
dx
I2 =
Z R
0
ey2
dy
Z R
0
ex2
dx
I2 =
Z R
0
Z R
0
e(x2+y2)dxdy
I2 =
Z
2
0
Z R
0
er2
rdrd'
u = r2
du = 2rdr
I2 =
Z
2
0
Z b
a
eu
2
dud'
4

6. I2 =
1
2
Z
2
0
eu jb
a d'
I2 =
1
2
Z
2
0
er2
jR0
d'
I2 =
1
2
Z
2
0
(eR2
1)d'
I2 =
1
2
(eR2
1)
Z
2
0
d'
I2 =
1
2
Z
2
0
d'
I2 =
1
2
2
0
['] j
I2 =
1
2
(
2
)
I2 =
4
I =
r
4
Recopilando el resultado de las tres integrales de (1) tenemos:
1
ei
4
Z R
0
eix2
dx
r
4
= 0
1
ei
4
Z R
0
eix2
dx =
r
4
Z R
0
eix2
dx = ei
4
r
4
Z R
0
eix2
dx = (
p
2
2
+ i
p
2
2
r
)
4
Z R
0
eix2
dx = (
1
2
+ i
1
2
)
p
p
2
Z R
0
(cos(x2) + isen(x2))dx = (
1
2
+ i
1
2
)
p
p
2
5

7. Z R
0
cos(x2)dx + i
Z R
0
sen(x2)dx =
1
2
p
p
2
+ i
1
2
p
p
2
Por comparacion de partes reales e imaginarias tenemos
Z R
0
cos(x2)dx =
1
2
p
p
2
3. Si f(z) es analitica y acotada por M en jzj R; pruebe que
f(n)(z) MRn!
(Rjzj)n+1 , jzj R.
DEMOSTRACI ON:
Sea
la frontera de D(z0;R). Dada la formula de integral de Cauchy
f(z0) =
1
2i
Z
f(z)
(z z0)
dz
derivamos n veces obtenemos
f(n)(z0) =
n!
2i
Z
f(z)
(z z0)n+1 dz
sacando valor absoluto tenemos
jfn(z0)j =