Este documento describe las razones y proporciones aritméticas y geométricas, incluyendo sus definiciones, propiedades y ejemplos ilustrativos. Explica que una razón compara dos cantidades, mientras que una proporción iguala las razones. También cubre la propiedad fundamental de las proporciones geométricas.

1. RAZONES Y PROPORCIONES
• Razón aritmética
• Razón geométrica
• Proporción aritmética
• Proporción geométrica
• Propiedad fundamental de la proporción geométrica
• Ejemplos ilustrativos.

2. ¿Podemos «comparar» la altura de los árboles?
24 – 6 = 18
𝟐𝟒
𝟔
= 4
La altura del primero (A) sobrepasa a la del segundo (B) en 18
(razón aritmética)
La altura del primero (A) es 4 veces la altura del segundo (B)
(razón geométrica)
24 m
6 m
A B
RAZONES

3. RAZÓN
GEOMÉTRICA
RAZÓN
ARITMÉTICA
En matemática, al resultado de comparar dos cantidades se llama razón, las cuales
pueden ser aritméticas o geométricas.
RAZONES
24 – 6
𝟐𝟒
𝟔
antecedente consecuente
antecedente
consecuente

4. En una fiesta, la razón entre el número de mujeres y varones es de 2 a 3. Si hay 40
invitados, ¿cuántas mujeres y varones hay en la fiesta?
Ejemplos
• Por cada 2 mujeres hay 3 varones:
𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟𝑒𝑠
𝑣𝑎𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠
=
2
3
• Número de mujeres: 2𝑘
• Número de varones: 3𝑘
• Total de invitados = 40
2𝑘 + 3𝑘 = 40
5𝑘 = 40
𝑘 = 8
• Número de mujeres:
• Número de varones:
Entonces:
2𝑘 = 2 8 = 𝟏𝟔
3𝑘 = 3 8 = 𝟐𝟒
RAZONES

5. La relación entre la edad de David y Pablo es de 5 a 4. Si ambas edades suman 27
años, ¿qué edad tiene cada uno?
• 5 años de David hacen 4 años de
Pablo:
𝐷𝑎𝑣𝑖𝑑
𝑃𝑎𝑏𝑙𝑜
=
5
4
• Edad de David: 5𝑘
• Edad de Pablo: 4𝑘
• Suma de edades = 27
5𝑘 + 4𝑘 = 27
9𝑘 = 27
𝑘 = 3
• Edad de David:
• Edad de Pablo:
Entonces:
5𝑘 = 5 3 = 𝟏𝟓
4𝑘 = 4 3 = 𝟏𝟐
RAZONES
Ejemplos

6. PROPORCIONES
La proporción aritmética se forma al igualar los valores numéricos de dos razones
aritméticas
Se tiene 4 artículos cuyos precios son S/. 15; S/. 13; S/. 9 y S/. 7
15 – 13 = 9 – 7
Extremos
Medios
«El precio de S/. 15 excede al precio de S/. 13 tanto como el de S/. 9 excede al de S/. 7 »
PROPORCIÓN ARITMÉTICA

7. La proporción geométrica se forma al igualar los valores numéricos de
dos razones geométricas
Se tiene 4 recipientes cuyas capacidades son 21 L, 7 L, 15 L y 5 L .
21
7
=
15
5
«La capacidad de 21 L es a la capacidad de 7 L, como la capacidad de 15 L es a la de 5 L»
Extremos Medios
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA
PROPORCIONES

8. Luego:
Del ejemplo anterior tenemos que:
21
7
=
15
5
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LA PROPORCIÓN GEOMÉTRICA
21 X 5 = 15 X 7 = 21
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
𝑎 × 𝑑 = 𝑏 × 𝑐
PROPORCIONES

9. Ejemplos
Juan cambió 50 dólares por S/. 168. ¿Cuántos nuevos soles recibirá por 72
dólares?
50
168
=
72
𝑥
Sea 𝑥 la cantidad de nuevos soles que recibirá por 72 dólares:
Tenemos que:
Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones:
50
168
=
72
𝑥
50. 𝑥 = (168)(72) 50𝑥 = 12 096
𝑥 = 241,92
PROPORCIONES

10. Ejemplos
Calcula el valor desconocido en las siguientes proporciones:
A.
7,4
𝑥
=
3,7
0,5
B.
2
3
𝑥
=
5
9
1
2
3,7𝑥 = 7,4 0,5 3,7𝑥 = 3,7 𝑥 = 1
5
9
𝑥 =
2
3
∙
1
2
5
9
𝑥 =
1
3
𝑥 =
1 × 9
3 × 5
𝑥 =
3
5
PROPORCIONES