1. El documento presenta varias identidades trigonométricas de ángulos dobles y ángulos mitad, incluyendo fórmulas para seno, coseno y tangente de ángulos dobles y mitad. 2. También presenta problemas propuestos relacionados con estas identidades para que los estudiantes practiquen. 3. El documento contiene 26 problemas propuestos para que los estudiantes resuelvan usando las identidades trigonométricas presentadas.

1. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2018-II
TRIGONOMETRÍA
“IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
DOBLES y ÁNGULOS MITAD’’
Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez
ÁNGULOS DOBLES
Sen2x = 2SenxCosx
Cos2x = Cos2
x − Sen2
x
Tan2x =
2Tanx
1 − Tan2x
También:
Cos2x = 1 − 2Sen2
x
Cos2x = 2Cos2
x − 1
Fórmulas de degradación:
2Sen2
x = 1 − Cos2x
2Cos2
x = 1 + Cos2x
8Sen4
x = 3 − 4Cos2x + Cos4x
8Cos4
x = 3 + 4Cos2x + Cos4x
Propiedades:
I.
Cotx + Tanx = 2Csc2x
Cotx − Tanx = 2Cot2x
Sec2
x + Csc2
x = 4Csc2
2x
II.
(Senx + Cosx)2
= 1 + Sen2x
(Senx − Cosx)2
= 1 − Sen2x
III.
Tan2xTanx = Sex2x − 1
Tan2x
Tanx
= Sec2x + 1
Triángulo del ángulo doble
1+Tan2x
1-Tan2x
2Tanx
2x
Sen2x =
2Tanx
1 + Tan2x
Cos2x =
1 − Tan2
x
1 + Tan2x
ÁNGULOS MITAD
Sen
x
2
= ±√
1−Cosx
2
Cos
x
2
= ±√
1+Cosx
2
Tan
x
2
= ±√
1−Cosx
1+Cosx
Donde el signo (±) dependerá del
cuadrante donde se ubique el ángulo
𝑥
2
.
Tan
x
2
= Cscx − Cotx
Cot
x
2
= Cscx + Cotx
PROBLEMAS PROPUESTOS
1) Si
𝑐𝑜𝑡 (
𝑥
2
) + 𝑛 𝑡𝑎𝑛 (
𝑥
4
) = 2𝑐𝑠𝑐𝑥
Semana Nº 9

2. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo Trigonometría.
2
Calcule 𝑠𝑒𝑐 (
𝑥
2
)
A) n –1 B) – n C) 1– n
D) n E) n+1
2) Si
𝑐𝑠𝑐 𝑦 − 𝑐𝑜𝑡 𝑦 = √2𝑥, 𝑥 > 0
calcule el mínimo valor de la expresión.
1 − 𝐶𝑜𝑠𝑦
1 + cosy
+
1
4𝑥
A) 2√2 B) 2 C) √2 D) 1 E) 5
3) De la siguiente identidad
4𝑐𝑜𝑠𝑥 −
3
cosx
=
𝑀𝑐𝑜𝑠(𝑀𝑥) − 𝑁
𝑐𝑜𝑠(𝑁𝑥)
Calcule M+N.
A) 2 B) 4 C) 5 D) 3 E) 6
4) Simplifique la siguiente expresión.
𝑐𝑜𝑠2
3𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2
3𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠2𝑥
4cos42𝑥
A) csc2 x B) sen2 x C) cos2 x
D) sec2 x E) tan2 x
5) Si
10𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 2𝑠𝑒𝑛 (
5𝜃
2
) 𝑠𝑒𝑛 (
𝜃
2
) = 0
Calcule 𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝑠𝑒𝑐3𝜃
A) 11 B) 12 C) 1/12 D) 2/11 E) 1/11
6) Si
𝜃 = 56º40′
y 𝛼 = 33º20′
Calcule
2(𝑐𝑜𝑠3
𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑠𝑒𝑛3
𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 𝛼 ) +
𝑠𝑒𝑛4𝛼
2
A) 1 B) 0 C) – ½ D) ½ E) 3/2
7) Simplifique la siguiente expresión.
𝑠𝑒𝑛 (𝜃 +
𝜋
4
) + 𝑠𝑒𝑛 (𝜃 −
𝜋
4
) – 𝑠𝑒𝑛 (𝜃 +
3𝜋
4
) − 𝑠𝑒𝑛 (𝜃 −
3𝜋
4
)
(𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)2 − (𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)2
A) √2tan 𝜃 B) √2cos 𝜃 C) cot 𝜃
D)√2sen 𝜃 E) tan 𝜃
8) Simplifique la siguiente expresión.
(𝑆𝑒𝑛2𝑋 − 2)𝐶𝑜𝑠2𝑥
2𝐶𝑜𝑠𝑥(𝑆𝑒𝑛3 𝑥 + 𝐶𝑜𝑠3 𝑥 )(𝑆𝑒𝑐 x − Csc 𝑥)
A) senx B) – cosx C) cosx
D) tanx E) – senx
9) Si
𝑐𝑜𝑡2𝜃 = 3𝑐𝑜𝑠2𝜃– 𝑡𝑎𝑛𝜃
calcule 𝑠𝑒𝑛4𝜃.
A) 2/5 B) ½ C) 2/3 D) ¾ E) 1/3
10) Si
2𝑐𝑜𝑠2
𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 – 1 = 0
Calcule
𝑠𝑒𝑐 (
𝜋
4
+ 2𝜃) + 𝑐𝑠𝑐 (
𝜋
4
+ 2𝜃)
A) − 2 B) 2 2 C) 2 D) −2 2 E) 2
11) Calcule el valor de la siguiente
expresión.
𝑠𝑒𝑛4
3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠4
3𝑥−𝑐𝑜𝑠 6𝑥
𝑠𝑒𝑛26𝑥
−
𝑠𝑒𝑐2
3𝑥
2
A) ½ B) – ¼ C) – ½ D) 4 E) – 2
12) De la siguiente identidad
𝐶𝑠𝑐2
22 º − 𝑆𝑒𝑐2
22 º
𝐶𝑠𝑐223º − 𝑆𝑒𝑐2 23º
= 𝑡𝑎𝑛 𝑛
(𝑚 )º
Calcule
𝑚 + 𝑛 𝑠𝑖 𝑚 ∈ 〈0º; 90º〉.
A) 40 B) 42 C) 36 D) 41 E) 38
13) Calcule el equivalente de
𝐴2
– 𝐵2
Si:
𝐴 = 4𝑠𝑒𝑛𝑎𝑠𝑒𝑛(45º – 𝑎)𝑠𝑒𝑛(45º + 𝑎)
𝐵 = 4𝑐𝑜𝑠𝑎𝑐𝑜𝑠(45º – 𝑎)𝑐𝑜𝑠(45º + 𝑎)
A) 𝑐𝑜𝑠3
2𝑎 B) – 𝑐𝑜𝑠3
2𝑎 C) 4𝑐𝑜𝑠3
2𝑎
D) – 4𝑐𝑜𝑠3
2𝑎 E) 8𝑐𝑜𝑠3
2𝑎
14) Si
5𝑐𝑠𝑐 𝑥 − √11𝑠𝑒𝑐 𝑥 = 12𝑐𝑠𝑐2𝑥
Calcule
𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 1
𝑠𝑒𝑛2𝑥 + cos2x + 1
A) –
√11
5
B)
√13
5
C) –
√11
4

3. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo Trigonometría.
3
D)
√15
2
E) –
√10
5
15) Calcule el valor de la expresión
(𝑡𝑎𝑛2 𝜋
24
− 𝑐𝑜𝑡2 𝜋
24
) (6 + √3)
𝑡𝑎𝑛2 𝜋
24
+ cot2 𝜋
24
A) 2 𝑐𝑜𝑠
𝜋
12
B) 4 𝑐𝑜𝑠
𝜋
12
C) − 2 𝑐𝑜𝑠
𝜋
12
D) −4 𝑐𝑜𝑠
𝜋
12
E) −8 𝑐𝑜𝑠
𝜋
12
16) Si a y b son las raíces de la ecuación
𝑎𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑏𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐
calcule 𝑡𝑎𝑛 (
𝛼
2
) + 𝑡𝑎𝑛 (
𝛽
2
) . _ _
A)
2𝑏
𝑎 +𝑐
B)
2𝑎
𝑏 +𝑐
C)
2𝑐
𝑎 + 𝑏
D)
2𝑎
𝑏 – 𝑐
E)
2𝑏
𝑎 –𝑐
17) Calcule el valor de la siguiente
expresión.
𝑙𝑜𝑔2(𝑠𝑒𝑛6º𝑠𝑒𝑛42º𝑠𝑒𝑛45º𝑠𝑒𝑛66º𝑠𝑒𝑛78º)
A) – 2,5 B) – 0,4 C) –1,2 D) – 4 E) – 4,5
18) De la siguiente igualdad;
4𝑠𝑒𝑛2
𝑥 – 3𝑡𝑎𝑛2
𝑥 + 4𝑡𝑎𝑛𝑥 = 3,
calcule sen2x.
A) 0 B) ½ C) 1 D) ¾ E)
√2
2
19) Si 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑡𝑎𝑛35º y 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 𝑡𝑎𝑛25º,
calcule
𝑡𝑎𝑛2
(
𝜃
2
) +𝑡𝑎𝑛2
(
𝛼
2
) +
√3
3
𝑡𝑎𝑛2
(
𝜃
2
) 𝑡𝑎𝑛2
(
𝛼
2
)
A) √3 B) ½ C) √3 + 2 D)
1
3
E)
√3
3
20) Si
𝑐𝑠𝑐2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑡2𝑥
Calcule
𝑐𝑜𝑠2
2𝑥 + 4𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 3
A) 4 B) 5 C) ½ D) ¼ E) 6
21) Reduzca la siguiente expresión
∏ [
𝐶𝑜𝑠(2 𝑘
𝑥)
cos(2 𝑘 𝑥) + 1
]
𝑛
𝑘=1
A) 𝑡𝑎𝑛𝑥𝑐𝑜𝑡2 𝑛
𝑥 B) 𝑐𝑜𝑡𝑥𝑡𝑎𝑛2 𝑛
𝑥
C) 𝑐𝑜𝑡𝑥𝑐𝑜𝑡2 𝑛
𝑥 D) 𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝑐𝑜𝑡2 𝑛
𝑥
E) 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑛
𝑥
22) Si:
𝑠𝑒𝑛4
𝜃 + 𝑐𝑜𝑠4
𝜃 − 1
𝑠𝑒𝑐2 𝜃 + 𝑐𝑠𝑐2 𝜃
= −
3
32
calcule 𝑐𝑜𝑠4𝜃.
A) 1 − √2 B) √2 − 1 C) √3 − 1
D) 1 − √3 E)
√2
3
23) Simplifique la siguiente expresión.
𝑐𝑜𝑡2
2𝑥 − 𝑡𝑎𝑛2
2𝑥 − 8𝑐𝑜𝑠4𝑥𝑐𝑜𝑡4𝑥
𝑠𝑒𝑛2 (
𝜋
4
− 4𝑥)
A) 8cos4x B) 8cos2x C) 8cot4x.csc4x
D) 4cos4xsec2x E) 4cos4xcsc4x
24) Si
𝑡𝑎𝑛2𝑏 = 𝑠𝑒𝑛2
𝑎𝑐𝑠𝑐2𝑎 – 𝑐𝑜𝑡2𝑎,
calcule
𝑠𝑒𝑛2
𝑎 – 𝑡𝑎𝑛𝑎. 𝑡𝑎𝑛(2𝑏 – 𝑎)(𝑠𝑒𝑛2
𝑎 + 1)
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
25) Si
𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝑐𝑠𝑐𝑦 = 7
𝑐𝑠𝑐𝑥 – 𝑐𝑜𝑡𝑦 = 3
calcule
5𝑡𝑎𝑛2
(
𝑥
2
) + 19 𝑡𝑎𝑛 (
𝑥
2
) .
A) 3 B) 5 C) 1 D) 2 E) 4
26) Calcule el equivalente de la siguiente
expresión.
[(𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)2
– 1](𝑐𝑜𝑠2
𝜃– 𝑠𝑒𝑛2
𝜃)
A) 2𝑠𝑒𝑛4𝜃 B) 𝑠𝑒𝑛2𝜃 C) 2𝑐𝑜𝑠2𝜃
D) 𝑐𝑜𝑠4𝜃 E) 𝑠𝑒𝑛4𝜃
27) Reduzca la siguiente expresión.
1 + 2𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 45º)𝑠𝑒𝑛(45º – 𝑥)
A) 2𝑐𝑜𝑠2
𝑥 B) – 2𝑠𝑒𝑛2
𝑥 C) 2𝑠𝑒𝑛2
𝑥
D) – 2𝑐𝑜𝑠2
𝑥 E) 2𝑐𝑜𝑠2
2𝑥
28) Si
𝐹(𝑥) = 4𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥
Calcule 𝐹(11°15′)

4. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo Trigonometría.
4
A) ½ B) 1 C)
√2
2
D)√2 E) 2
29) Si
𝑠𝑒𝑐2
𝑥 + 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 = 5, 𝑥 ∈ 〈0º; 90º〉
calcule
𝑡𝑎𝑛2𝑥
A)−
√2
4
B)−
√2
2
C) −2√2
D)- √2 E) – 2
30) Calcule el equivalente de la siguiente
expresión.
2 cos
𝑥
2
[cos
𝑥
2
+ 𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
] − 1
𝑐𝑜𝑠𝑥
A) 𝑡𝑎𝑛𝑥 – 1 B) 1 – 𝑡𝑎𝑛𝑥 C) 1 + 𝑐𝑜𝑡𝑥
D) 1 – 𝑐𝑜𝑡𝑥 E) 1 + 𝑡𝑎𝑛𝑥
31) Reduzca la siguiente expresión.
(𝑐𝑜𝑡𝜃 + 𝑡𝑎𝑛𝜃) (𝑐𝑜𝑡 + 𝑡𝑎𝑛2𝜃)
𝑐𝑠𝑐2𝜃
𝐴) 4𝑐𝑠𝑐2𝜃 𝐵) 4𝑠𝑒𝑛4𝜃 𝐶) 4𝑠𝑒𝑛22𝜃
𝐷) 4𝑐𝑠𝑐4𝜃 𝐸) 4𝑐𝑠𝑐2
4𝜃
32) Si 2𝑐𝑠𝑐2𝜃– 𝑐𝑜𝑡𝜃 = 𝑛, calcule 𝑠𝑒𝑐2
𝜃
𝐴) 𝑛2
– 1 𝐵) 𝑛2
𝐶) 1 – 𝑛2
𝐷) 2 𝑛2
𝐸) 1 + 𝑛2
33) Del gráfico, calcule 𝑐𝑜𝑡
𝜃
2
si AB=8.
A) 2 B) 4 C)
3
2
D)
5
2
E)
5
4
34) Reduzca la siguiente expresión.
𝑐𝑠𝑐𝜃 – 𝑐𝑠𝑐2𝜃– 𝑐𝑜𝑡2𝜃
A)𝑡𝑎𝑛 (
𝜃
2
) B)cot(
𝜃
2
) C) tan𝜃D) cot𝜃 E) 1
35) Simplifique la expresión.
𝑐𝑠𝑐4𝜃 + 𝑐𝑠𝑐8𝜃 + 𝑐𝑜𝑡8𝜃
𝑐𝑜𝑡2𝜃
𝐴) 1 𝐵) 𝑐𝑜𝑡2
2𝜃 𝐶) 𝑡𝑎𝑛2𝜃 𝐷) 𝑡𝑎𝑛2
2𝜃 𝐸) 𝑐𝑜𝑡2𝜃
36) Simplifique la siguiente expresión.
1 − 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑡 (
𝜃
2
)
1 + 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑡𝑎𝑛 (
𝜃
2
)
A) 1 B) 𝑡𝑎𝑛2
(
𝜃
2
) C) – 1
D)−𝑡𝑎𝑛2 (
𝜃
2
) E) – 𝑐𝑜𝑡𝜃
37) Si 𝑐𝑠𝑐2𝑥 = 1,5, calcule 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 + 𝑐𝑠𝑐2
𝑥.
A) 3 B) 9 C) 7 D) 6 E) 8
38) Calcule el equivalente de la siguiente
expresión.
(𝑐𝑜𝑡𝜃 + 𝑡𝑎𝑛𝜃)𝑠𝑒𝑛2
2𝜃𝐶𝑜𝑠2𝜃
𝐴) 𝑐𝑜𝑠4𝜃 𝐵) 𝑠𝑒𝑛4𝜃 𝐶) 𝑐𝑜𝑠22𝜃 𝐷) 𝑠𝑒𝑛8𝜃 𝐸) 𝑠𝑒𝑛2𝜃
39) Si
𝑐𝑠𝑐2𝑥 + 𝑐𝑠𝑐2𝑦 + 𝑐𝑠𝑐2𝑧 = 𝑐𝑜𝑡2𝑥 + 𝑐𝑜𝑡2𝑦 + 𝑐𝑜𝑡2𝑧
calcule
𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑦
𝑡𝑎𝑛𝑧
A) 1 B) 2 C) – 2 D) ½ E) – 1
40) Si 𝑐𝑠𝑐2𝛼 + 𝑐𝑠𝑐2𝛽 + 𝑐𝑠𝑐2𝜃 + 𝑐𝑜𝑡2𝛼 +
𝑐𝑜𝑡2𝛽 + 𝑐𝑜𝑡2𝜃 = 0,
Calcule
𝑐𝑜𝑡𝛼+𝑐𝑜𝑡𝛽
cotθ
+
𝑐𝑜𝑡𝛽+𝑐𝑜𝑡𝜃
𝑐𝑜𝑡𝛼
+
𝑐𝑜𝑡𝜃+𝑐𝑜𝑡𝛼
𝑐𝑜𝑡𝛽
A) – 1 B) – 2 C) – 3 D) 3 E) 2
41) Si 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
√5
3
, además 𝜃 ∈ 𝐼𝐼𝐼 𝐶,
calcule 𝑡𝑎𝑛 (
𝜃
2
)
A) −
√3
3
B) −√5 C) −√3 D) −
√5
5
E) −√6
42) Si
𝑆𝑒𝑛𝜃 =
1
3
; 𝜃𝜖〈0º; 90º〉
Calcule 𝑡𝑎𝑛 (45º −
𝜃
2
)
A)
1
√3
B)
1
√2
C)
1
2
D)
1
√5
E)
1
√6
43) Reduzca la siguiente expresión.
𝑐𝑠𝑐𝜃 + 𝑐𝑠𝑐2𝜃 + 𝑐𝑠𝑐4𝜃 + 𝑐𝑠𝑐8𝜃 + 𝑐𝑠𝑐16𝜃
A)𝑐𝑜𝑡
𝜃
2
+ 𝑐𝑜𝑡16𝜃 B) 𝑐𝑜𝑡
𝜃
2
− 𝑐𝑜𝑡16𝜃
C) 𝑐𝑜𝑡𝜃 + 𝑐𝑜𝑡16𝜃 D) 𝑐𝑜𝑡𝜃 − 𝑐𝑜𝑡16𝜃
E) 𝑡𝑎𝑛
𝜃
2
− 𝑐𝑜𝑡16𝜃