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C u r s o : Matemática 
Material N° 38 
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 38 
UNIDAD: GEOMETRÍA 
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO - ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS 
Determinación del plano: 
Un plano queda determinado por: 
 Dos rectas que se intersectan en un punto (fig. 1). 
 Tres puntos no colineales (fig. 2). 
 Por una recta y un punto no perteneciente a ella 
(fig. 3). 
 Por dos rectas paralelas (fig. 4). 
EJEMPLO 
1. ¿Cuál de las siguientes alternativas es FALSA? 
L1 
L2 
P 
A) Un plano está determinado por una recta y un punto perteneciente a la recta. 
B) Un plano está determinado por los cuatro vértices de un cuadrilátero. 
C) Un plano está determinado por dos rectas perpendiculares. 
D) Un plano está determinado por dos lados no consecutivos de un rombo. 
E) Un plano está determinado por los vértices de un triángulo rectángulo. 
fig. 1 
L1 
L2 
P 
fig. 4 
P A 
B C 
fig. 2 
L1 
A 
P 
fig. 3
DEFINICIONES 
POLIEDRO: Cuerpo limitado por cuatro o más polígonos donde cada polígono se denomina cara, 
sus lados son aristas y la intersección de las aristas se llaman vértices. 
Cara 
PRISMA: Poliedro limitado por paralelogramos (caras laterales del prisma) y dos polígonos 
congruentes cuyos planos son paralelos (bases del prisma). 
ÁNGULO DIEDRO: Es el ángulo formado por dos semiplanos P1 y P2, que tienen una arista 
común y su medida es el ángulo formado por dos rectas L1 y L2 perpendiculares a la arista en 
un mismo punto, de modo que L1 pertenezca a P1 y L2 pertenezca a P2. 
Semiplano 
s 
EJEMPLOS 
1. ¿Cuánto mide el ángulo diedro formado por los planos P1 y P2 que se cortan 
2 
perpendicularmente en la figura 1? 
A) 30º 
B) 45º 
C) 54º 
D) 90º 
E) 108º 
2. ¿Cuánto mide el ángulo diedro formado por las caras laterales del prisma de la figura 2, 
cuya base es un pentágono regular? 
A) 30º 
B) 45º 
C) 54º 
D) 90º 
E) 108º 
Arista 
P1 
P2 
fig. 1 
P1 
P2 
Arista 
Vértice 
fig. 2 
Ángulo 
diedro 
P1 
P2
CUERPOS GENERADOS POR ROTACIÓN O TRASLACIÓN DE FIGURAS PLANAS 
CUERPOS DE REVOLUCIÓN 
Los cuerpos de revolución se obtienen haciendo girar una superficie plana alrededor de un eje 
ESFERA CILINDRO CONO TRONCO DE CILINDRO CON 
Prisma triangular Prisma trapezoidal Prisma pentagonal Prisma hexagonal Cilindro circular recto 
C 
A B 
3 
CONO DOS CONOS 
eje de giro 
TRASLACIÓN: Se generan por traslación de una superficie plana: 
EJEMPLOS 
1. Dado un triángulo ABC, rectángulo en C (fig. 1). ¿Cuál es el cuerpo generado por la 
rotación de dicho triángulo en torno a su hipotenusa? 
fig. 1 
A) B) C) D) E) 
2. En la figura 2, se muestra un cuerpo de revolución. Este cuerpo puede ser generado por la 
rotación de la región 
fig. 2 
I) II) III) 
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo I y III
CUADRO RESUMEN DE ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS 
NOMBRE FORMA ÁREA VOLUMEN 
PARALELEPÍPEDO 
RECTANGULAR 2(ab + bh + ah) a · b · h 
CUBO 6a2 a3 
4 
PRISMA RECTO 
RECTANGULAR 
h(a + b + c)+ 2B 
B = área basal 
Bh 
a 
CILINDRO RECTO 
BASE CIRCULAR 2rh + 2r2 r2 · h 
PIRÁMIDE RECTA 
BASE CUADRADA 
2ag + a2 
g = apotema 
lateral 
1 2 
a · h 
3 
CONO RECTO BASE 
CIRCULAR 
rg + r2 
g= generatriz 
1 2 
r · h 
3 
 
h g 
4 
ESFERA 4r2 r 
3 3 
 
h 
b 
a 
a 
a 
a 
 r 
Volumen 
Área de la base 
por la altura 
Volumen 
Área de la base 
por la altura 
dividido por tres 
 r 
h 
b c 
h 
B 
a 
a 
g 
h 
 r
5 
EJEMPLOS 
1. El área de la esfera cuyo radio mide 6 cm es 
A) 288  cm2 
B) 144  cm2 
C) 72  cm2 
D) 36  cm2 
E) 16  cm2 
2. ¿Cuál es el volumen del cono generado por la rotación de un triángulo rectángulo isósceles, 
en torno a uno de sus catetos de longitud 3 cm? 
A) 3  cm3 
B) 6  cm3 
C) 9  cm3 
D) 27  cm3 
E) Se requiere información adicional 
3. ¿Cuál es el área y el volumen del prisma recto de base triangular de la figura 1, cuyas 
aristas miden 2 cm? 
Área Volumen 
A) 6 + 3 cm2 3 cm3 
B) 12 + 3 cm2 3 cm3 
C) 12 + 2 3 cm2 3 cm3 
D) 12 + 2 3 cm2 2 3 cm3 
E) 12 + 2 3 cm2 4 3 cm3 
fig. 1
PUNTOS EN EL ESPACIO 
En la figura 1 observamos tres ejes X(abcisa), Y(ordenada), Z(cota) mutuamente 
perpendiculares que generan también tres planos perpendiculares XY, XZ, y el YZ. 
El paralelepípedo del dibujo, tiene tres de sus vértices en los ejes, en tanto que el punto K está 
en el plano YZ, el punto L, en el plano XZ y el punto M en el plano XY, pero el punto A está 
“suspendido” en el espacio encerrado por los tres planos. Este punto A tiene coordenadas 
(a, b, c). 
c K 
A 
Ax1,y1,z1   B x2,y2,z2 
     
  
  
6 
Observaciones: Dados los puntos 
 Distancia entre dos puntos: 
 Coordenadas del punto medio: x1 x2 y1 y2 z1 z2 
, , 
2 2 2 
 Vector AB:   x2  x1,y2  y1,z2  z1 
EJEMPLOS 
1. ¿Cuál es la distancia entre el origen de coordenadas y el punto (1, 1, 1)? 
A) 1 
B) 3 
C) 2 
D) 3 
E) 3 3 
2. En la figura 2, las coordenadas de los vértices A, B y C del cubo son, respectivamente, 
(3,0,0), (3,3,0) y (0,0,3), entonces ¿cuál son las coordenadas del vértice D? 
A) (3,3,0) 
B) (3,3,3) 
C) (3,0,3) 
D) (0,3,3) 
E) (0,0,3) 
Z 
Y 
X 
M 
L 
b 
a 
fig. 1 
     2 
2 1 
2 
2 1 
2 
dAB  x2  x1  y  y  z  z 
Z 
Y 
X 
D 
B 
C 
fig. 2 
A
3. Las coordenadas de los puntos P, Q y R de la figura 3 está representada por 
7 
A) (5,0,4) , (0,4,7) , (5,7,0) 
B) (5,0,4) , (0,7,4) , (0,5,7) 
C) (5,0,4) , (0,7,4) , (5,7,0) 
D) (5,0,4) , (7,0,4) , (5,7,0) 
E) (0,4,5) , (0,7,4) , (4,0,0) 
4. En el cubo de la figura 4, la arista es 4 cm y un vértice está en el origen (0, 0, 0). Si el 
punto A tiene coordenadas (4, 2, 0) y cada arista se ha dividido en cuatro partes iguales, 
¿cuáles son las coordenadas del punto B? 
A) (3, 3, 3) 
B) (4, 3, 4) 
C) (3, 4, 3) 
D) (3, 4, 4) 
E) (4, 3, 3) 
5. En un cubo de arista a se inscribe un triángulo como muestra la figura 5. Entonces, el 
triángulo es 
A) equilátero. 
B) rectángulo isósceles. 
C) rectángulo escaleno. 
D) isósceles obtusángulo. 
E) escaleno no rectángulo. 
6. En la figura 6, el cubo tiene de arista 4 cm. ¿Cuáles son las coordenadas del centro de 
gravedad (punto de intersección de las diagonales) del cubo? 
A) (0, 0, 0) 
B) (4, 4, 4) 
C) (2, 2, 0) 
D) (0, 0, 2) 
E) (2, 2, 2) 
B 
A 
x 
y 
z 
fig. 4 
x 
y 
z 
fig. 6 
4 
4 
4 
P 
R 
Q 
X 
4 
7 
5 
Z 
Y 
fig. 3 
fig. 5
RESPUESTAS 
8 
DMTRMA38 
Ejemplos 
Págs. 1 2 3 4 5 6 
1 A 
2 D E 
3 A E 
5 B C D 
6 D B 
7 C B A E 
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  • 1. C u r s o : Matemática Material N° 38 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 38 UNIDAD: GEOMETRÍA RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO - ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS Determinación del plano: Un plano queda determinado por:  Dos rectas que se intersectan en un punto (fig. 1).  Tres puntos no colineales (fig. 2).  Por una recta y un punto no perteneciente a ella (fig. 3).  Por dos rectas paralelas (fig. 4). EJEMPLO 1. ¿Cuál de las siguientes alternativas es FALSA? L1 L2 P A) Un plano está determinado por una recta y un punto perteneciente a la recta. B) Un plano está determinado por los cuatro vértices de un cuadrilátero. C) Un plano está determinado por dos rectas perpendiculares. D) Un plano está determinado por dos lados no consecutivos de un rombo. E) Un plano está determinado por los vértices de un triángulo rectángulo. fig. 1 L1 L2 P fig. 4 P A B C fig. 2 L1 A P fig. 3
  • 2. DEFINICIONES POLIEDRO: Cuerpo limitado por cuatro o más polígonos donde cada polígono se denomina cara, sus lados son aristas y la intersección de las aristas se llaman vértices. Cara PRISMA: Poliedro limitado por paralelogramos (caras laterales del prisma) y dos polígonos congruentes cuyos planos son paralelos (bases del prisma). ÁNGULO DIEDRO: Es el ángulo formado por dos semiplanos P1 y P2, que tienen una arista común y su medida es el ángulo formado por dos rectas L1 y L2 perpendiculares a la arista en un mismo punto, de modo que L1 pertenezca a P1 y L2 pertenezca a P2. Semiplano s EJEMPLOS 1. ¿Cuánto mide el ángulo diedro formado por los planos P1 y P2 que se cortan 2 perpendicularmente en la figura 1? A) 30º B) 45º C) 54º D) 90º E) 108º 2. ¿Cuánto mide el ángulo diedro formado por las caras laterales del prisma de la figura 2, cuya base es un pentágono regular? A) 30º B) 45º C) 54º D) 90º E) 108º Arista P1 P2 fig. 1 P1 P2 Arista Vértice fig. 2 Ángulo diedro P1 P2
  • 3. CUERPOS GENERADOS POR ROTACIÓN O TRASLACIÓN DE FIGURAS PLANAS CUERPOS DE REVOLUCIÓN Los cuerpos de revolución se obtienen haciendo girar una superficie plana alrededor de un eje ESFERA CILINDRO CONO TRONCO DE CILINDRO CON Prisma triangular Prisma trapezoidal Prisma pentagonal Prisma hexagonal Cilindro circular recto C A B 3 CONO DOS CONOS eje de giro TRASLACIÓN: Se generan por traslación de una superficie plana: EJEMPLOS 1. Dado un triángulo ABC, rectángulo en C (fig. 1). ¿Cuál es el cuerpo generado por la rotación de dicho triángulo en torno a su hipotenusa? fig. 1 A) B) C) D) E) 2. En la figura 2, se muestra un cuerpo de revolución. Este cuerpo puede ser generado por la rotación de la región fig. 2 I) II) III) A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo I y III
  • 4. CUADRO RESUMEN DE ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS NOMBRE FORMA ÁREA VOLUMEN PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR 2(ab + bh + ah) a · b · h CUBO 6a2 a3 4 PRISMA RECTO RECTANGULAR h(a + b + c)+ 2B B = área basal Bh a CILINDRO RECTO BASE CIRCULAR 2rh + 2r2 r2 · h PIRÁMIDE RECTA BASE CUADRADA 2ag + a2 g = apotema lateral 1 2 a · h 3 CONO RECTO BASE CIRCULAR rg + r2 g= generatriz 1 2 r · h 3  h g 4 ESFERA 4r2 r 3 3  h b a a a a  r Volumen Área de la base por la altura Volumen Área de la base por la altura dividido por tres  r h b c h B a a g h  r
  • 5. 5 EJEMPLOS 1. El área de la esfera cuyo radio mide 6 cm es A) 288  cm2 B) 144  cm2 C) 72  cm2 D) 36  cm2 E) 16  cm2 2. ¿Cuál es el volumen del cono generado por la rotación de un triángulo rectángulo isósceles, en torno a uno de sus catetos de longitud 3 cm? A) 3  cm3 B) 6  cm3 C) 9  cm3 D) 27  cm3 E) Se requiere información adicional 3. ¿Cuál es el área y el volumen del prisma recto de base triangular de la figura 1, cuyas aristas miden 2 cm? Área Volumen A) 6 + 3 cm2 3 cm3 B) 12 + 3 cm2 3 cm3 C) 12 + 2 3 cm2 3 cm3 D) 12 + 2 3 cm2 2 3 cm3 E) 12 + 2 3 cm2 4 3 cm3 fig. 1
  • 6. PUNTOS EN EL ESPACIO En la figura 1 observamos tres ejes X(abcisa), Y(ordenada), Z(cota) mutuamente perpendiculares que generan también tres planos perpendiculares XY, XZ, y el YZ. El paralelepípedo del dibujo, tiene tres de sus vértices en los ejes, en tanto que el punto K está en el plano YZ, el punto L, en el plano XZ y el punto M en el plano XY, pero el punto A está “suspendido” en el espacio encerrado por los tres planos. Este punto A tiene coordenadas (a, b, c). c K A Ax1,y1,z1   B x2,y2,z2          6 Observaciones: Dados los puntos  Distancia entre dos puntos:  Coordenadas del punto medio: x1 x2 y1 y2 z1 z2 , , 2 2 2  Vector AB:   x2  x1,y2  y1,z2  z1 EJEMPLOS 1. ¿Cuál es la distancia entre el origen de coordenadas y el punto (1, 1, 1)? A) 1 B) 3 C) 2 D) 3 E) 3 3 2. En la figura 2, las coordenadas de los vértices A, B y C del cubo son, respectivamente, (3,0,0), (3,3,0) y (0,0,3), entonces ¿cuál son las coordenadas del vértice D? A) (3,3,0) B) (3,3,3) C) (3,0,3) D) (0,3,3) E) (0,0,3) Z Y X M L b a fig. 1      2 2 1 2 2 1 2 dAB  x2  x1  y  y  z  z Z Y X D B C fig. 2 A
  • 7. 3. Las coordenadas de los puntos P, Q y R de la figura 3 está representada por 7 A) (5,0,4) , (0,4,7) , (5,7,0) B) (5,0,4) , (0,7,4) , (0,5,7) C) (5,0,4) , (0,7,4) , (5,7,0) D) (5,0,4) , (7,0,4) , (5,7,0) E) (0,4,5) , (0,7,4) , (4,0,0) 4. En el cubo de la figura 4, la arista es 4 cm y un vértice está en el origen (0, 0, 0). Si el punto A tiene coordenadas (4, 2, 0) y cada arista se ha dividido en cuatro partes iguales, ¿cuáles son las coordenadas del punto B? A) (3, 3, 3) B) (4, 3, 4) C) (3, 4, 3) D) (3, 4, 4) E) (4, 3, 3) 5. En un cubo de arista a se inscribe un triángulo como muestra la figura 5. Entonces, el triángulo es A) equilátero. B) rectángulo isósceles. C) rectángulo escaleno. D) isósceles obtusángulo. E) escaleno no rectángulo. 6. En la figura 6, el cubo tiene de arista 4 cm. ¿Cuáles son las coordenadas del centro de gravedad (punto de intersección de las diagonales) del cubo? A) (0, 0, 0) B) (4, 4, 4) C) (2, 2, 0) D) (0, 0, 2) E) (2, 2, 2) B A x y z fig. 4 x y z fig. 6 4 4 4 P R Q X 4 7 5 Z Y fig. 3 fig. 5
  • 8. RESPUESTAS 8 DMTRMA38 Ejemplos Págs. 1 2 3 4 5 6 1 A 2 D E 3 A E 5 B C D 6 D B 7 C B A E Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web http://www.pedrodevaldivia.cl/