El documento presenta las ecuaciones fundamentales para describir problemas de elasticidad en coordenadas polares. Introduce las ecuaciones para pasar de coordenadas rectangulares a polares, y deriva las ecuaciones para calcular tensiones y deformaciones en coordenadas polares. Aplica estas ecuaciones al caso particular de un tubo cilíndrico sometido a presiones internas y externas.

3. De aquí en adelante se realizará un estudio del origen de algunas ecuaciones expresadas en coordenadas polares, tenga en cuenta que al principio solo mostrará copia del texto y luego la demostración de las ecuaciones que son propias de los estudiantes de la maestría, solicitamos paciencia a aquellas personas que no requieren tanto formalismo al escribir paso a paso de donde viene cada ecuación Gracias.

4. Donde σ T es S t El espesor “t” es dr

11. Para los propósitos de esta presentación, como los dos problemas que se expondrán tienen como base común el uso de coordenadas polares para problemas de dos dimensiones, recordemos que la relación entre cambios de coordenadas polares a rectangulares se da por estas ecuaciones: ; De donde por relaciones trigonométricas queda que: ; ; Ahora bien si se deriva todas las ecuaciones anteriores respecto a las variables “ x ” e “ y ” queda:

12. Por lo cual: Ecuaciones 1. Por otro lado, con la regla de la cadena se tiene que en una función de dos variables , donde Si se sustituyen las funciones de las derivadas respecto a “ x ” e “ y ” queda:

13. Aplicando la segunda derivada a las relaciones anteriores queda:

14. Sustituyendo las dos últimas expresiones resulta: Sustituyendo los valores de las parciales de las ecuaciones a en la expresión anterior resulta: Pero las expresiones C y D son: Luego:

15. Con un procedimiento similar se obtiene que: Sumando miembro a miembro ambas ecuaciones queda: Pero si a la ecuación anterior se le aplica la identidad (invariante ó ecuación biarmónica) Queda: Ec. 2. Ecuación base para los problemas de elasticidad en coordenadas polares

16. Caso particular: Distribución de Tensiones simétricas respecto a un eje en coordenadas polares . Supongamos que hay una distribución de tensión que tiene simetría al eje perpendicular al polo y el definido por “ ” y “ “ en este caso las componentes de la tensión no dependen del ángulo sino del radio. En ese caso se tiene que en la ecuación anterior: Por lo cual la ecuación base se reduce a: Pero para cualquier objeto “”, el operador es: Luego Como: y El operador biarmónico queda reescrito así: Con esta última ecuación se calculará f , para ello hay al menos dos formas de resolver esta ecuación diferencial: o se supone una solución o se puede proceder de la siguiente manera (integrando sucesivamente respecto a r ): Si … …Al integrar respecto a r resulta: Si … …Al integrar respecto a r resulta:

17. Si … Al integrar respecto a r resulta: Al redefinir constantes queda: Ec. 3. Ecuación base para el cálculo de las tensiones simétricas respecto a un eje en coordenadas polares Con esta ecuación se hallan las componentes de la tensión tanto en las coordenadas por “ r ” y “  ”. Para esto basta sustituir la función anterior en las ecuaciones 1 y resulta: Ec. 4. Componentes de las tensiones simétricas respecto a un eje en coordenadas polares

18. Distribución de Deformaciones en coordenadas polares . Debido a que el sistema de coordenadas polares es ortogonal, las ecuaciones de la Ley de Hooke pueden ser escritas haciendo un simple cambio de coordenadas “ x ” e “ y ” por “” respectivamente [1] , en las ecuaciones cartesianas. Es decir: Ec. 5. Relaciones de deformación y desplazamiento en coordenadas polares Caso particular: Distribución de Deformaciones simétricas respecto a un eje en coordenadas polares . Al sustituir las ecuaciones 4 en la primera de 5 queda: Integrando la ecuación anterior respecto a “ r ” queda: [1] En problemas en el plano que sean de medios isotrópicos

19. Igual procedimiento se hace con las otras ecuaciones: Pero , por lo cual la queda: Integrando la ecuación anterior respecto a “ ” queda: Lo que queda es determinar las funciones y , para esto se sustituyen las ecuaciones anteriores en la Expresión

20. Pero es cero, la ecuación anterior queda: Por lo que finalmente las expresiones para los desplazamientos son: Ec. 6. Ecuaciones del desplazamiento simétricas respecto a un eje en coordenadas polares

21. Aplicaciones: Tubo Cilíndrico: Tubo cilíndrico con diferencia de presiones en las caras interior y exterior. El caso del tubo cilíndrico es uno donde se aplica la simetría respecto a un eje y tiene numerosas aplicaciones. Supongamos la siguiente situación: hay un tubo cilíndrico en donde la superficie externa e interna del tubo están sometidas a una presión y respectivamente. Por otro lado, la superficie externa tiene un radio y la interna . Matemáticamente se establecen las siguientes condiciones de borde: Determinemos las componentes de las tensiones: Sustituyendo las condiciones de borde o frontera en las ecuaciones 4 resulta: En donde hay dos ecuaciones con tres incógnitas. No obstante con la ecuación: evaluándola para distintos valores del ángulo queda: Resulta que . Luego: Al resolver el sistema anterior queda: Por lo cual al sustituir las constantes anteriores en las ecuaciones de las tensiones resulta: Ecuaciones las tensiones de un cilindro sometido a presión interna y externa (simétrica respecto a un eje en coordenadas polares)

22. Determinemos las deformaciones: Sustituyendo las ecuaciones anteriores en las ecuaciones 5 queda:

23. Vista frontal completa de un cilindro de pared gruesa, presurizado interna y externamente. (a) con los esfuerzos que actúan sobre el cilindro; (b) con los esfuerzos que actúan sobre un elemento (Ecuación 1) Planteando Equilibrio

24. Figure 10.4 Elemento cilíndrico polar, antes y despues de la deformación. Figura Ley de Hooke (Ecuación 3) (Ecuación 2)

25. Presurizados Internamente Presurizados Externamente Aplicando condiciones de frontera: σ r =- P i en r=r i σ r =- P i en r=r o (Ecuación 4) Sustituyendo Ec1 en Ec2 y Ec3 Donde Ec4 se puede expresar como: Integrando y simplificando: Sustituyendo Ec5 y Ec6 en Ecuación3 : (Ec6) (Ec5) De la Ecuación 2 : Integrando de nuevo: