La unidad estudia la derivada y su relación con la variación y el cambio de funciones polinomiales de primero a tercer grado. Se define la derivada como la razón de cambio instantánea y se analiza cómo la pendiente de una función lineal es constante, la concavidad de una función cuadrática, y los cambios de concavidad en una cúbica. Adicionalmente, se presenta un ejemplo para calcular la velocidad usando la derivada.

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UNIDAD II. LA DERIVADA: ESTUDIO DE A VARIACIÓN Y EL CAMBIO.
RESUMEN DE LA UNIDAD
En la segunda unidad, se inicia el estudio de la derivada a partir del análisis de la variación de
funciones polinomiales de primer a tercer grado. Se llega a la derivada como la función que
proporciona la razón de cambio instantánea, así, en la función lineal resalta la invariabilidad de la
pendiente y el porque la derivada es una función constante. En la cuadrática, la segunda variación
permite analizar la concavidad y por último en la cúbica se estudia los cambios de concavidad
asociados con los puntos de inflexión.
Una situación que se modela con una función de grado es la siguiente:
Se sabe que un automóvil recorre por litro, si el tanque tiene una capacidad de litros,
¿cuánto gastará al recorrer 0,2,4,6, etc. Kilómetros?
La función lineal del gasto de gasolina representada algebraicamente es:
en donde representa los kilómetros recorridos.
La representación tabular es la siguiente:
2 4 6 8 10
39.88 39.77 39.66 39.55 39.44
Como se puede ver en la tabla, si efectuamos la diferencia de cualquiera de los valores de y
lo dividimos entre la diferencia de los kilómetros correspondientes recorridos, siempre
obtendremos el mismo valor, es decir, obtendremos el valor de la pendiente, por ejemplo:
De donde concluimos que la variación de la función lineal es siempre constante.
La definición de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en el punto
está dada por el límite siguiente:
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Para ejemplificar lo dicho anteriormente consideremos la función definida por:
Para encontrar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de en el punto encontramos
el límite que define la pendiente:
Una de las razones principales para la invención del cálculo fue la necesidad de encontrar una
manera de estudiar el comportamiento de los objetos en movimiento. Consideremos el problema
de obtener una definición satisfactoria de la velocidad o rapidez de un objeto en un instante dado.
La velocidad media durante un intervalo de tiempo esta dada por la fórmula:
En donde es la distancia recorrida y es el intervalo de tiempo.
Supongamos que un punto se mueve sobre una recta coordenada de manera que su
coordenada en el tiempo es . Entonces la velocidad de en el tiempo está dada por:
Siempre y cuando este límite exista.
Un ejemplo de esto es el siguiente: La posición de un punto sobre una recta coordenada está
dada por donde está medido en metros y en segundos. Encuentre la
velocidad en el tiempo .
Primero calculamos:
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Luego la velocidad en el tiempo es:
En particular en , la velocidad es:
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